构建充溢数学关联性的深刻课堂

陈金飞

数学教学应是注重“数学联系”的教学，教师要经常有目的地揭示数学知识形成和发展的过程，引导学生挖掘数学知识之间的内在联系，沟通各部分知识之间纵向与横向的联系，提升学生对数学的整体性认识，让学生形成正确的数学观“数学联系”。下面，以“平面图形的面积”的学习为例，谈谈如何构建充溢数学关联性的深刻课堂方面的认识。

一、深究“理解”本义，赋予关联数学更强大的生长力

数学学习中，“理解”无疑是第一位的。实际教学中，公式的记忆往往被视为“理解”的标志：我曾帮助学生回顾长方形的面积计算公式，学生回答：长方形的面积=长×宽。我追问：为什么长乘宽的结果就是长方形的面积？学生面面相觑，感到很困惑。长方形的面积就是这样计算的，哪还有为什么？学生以为熟记长方形的面积计算公式，会做题，就算理解了这部分知识。一个图形的面积，其实质是它所包含的面积单位的个数。度量的本质含义是用单位（长度、面积、体积等）去测量物体。测量图形的面积需要用面积单位，常用的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米。如果学生没有经历度量的过程，没有将度量单位及单位间的换算关系扎实建构，他们就无法理解度量的本质含义，只能死套公式计算，不会随机应变。我在执教《长方形和正方形的面积》一课时，引领学生经历度量过程，在不断的体验中，逐步建构长方形的面积计算公式，获得对计算方法的理解，走进知识的本质。

二、着眼“关联”本质，赋予数学思维更完善的整合力

“数学联系”首先是指数学知识内部的联系，关注内部的联系，才能有效把握数学知识的整体性，利用知识的内在联系解决问题。由于教材对数学概念、数学规律是分段编排的，容易造成知识的割裂。因而，教师要有意识地引导学生对所学知识进行系统整理，比较知识之间的联系与区别，明晰知识的来龙去脉，使各个知识点在脑海中连成线、结成网，形成整体性知识结构。

对学生来说，熟记面积计算公式比明白其所以然更为容易。对教师来说，告诉面积计算公式比引导学生经历探究的过程更经济高效。然而关联式理解将平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式与长方形的面积计算公式联系起来，建立相互关联。这样做，虽然所用的时间较多，不但要学习各个计算公式，还要知道它们彼此之间的关联。但一旦学会了，就会形成整体结构，易于记忆，便于检索，从长远来看，更经济。

1.回忆沟通，呈现内在联系

师：我们已经认识了哪些平面图形？

生：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形。

师：这些平面图形之间有怎样的联系？

生：我可以用集合图来表示学过的图形之间的关系。用一个大圈表示平面图形，里面包含三角形、四边形，四边形包含平行四边形、梯形，平行四边形包含长方形，正方形是特殊的长方形。

2.迁移建构，彰显整体思维

师：我们已学会用面积单位测量图形的面积，知道了长方形的面积计算方法。这是一个长7厘米、宽5厘米的长方形，它的面积是多少？

生：7×5=35（平方厘米）。

师：如果把这个长方形拉成一个平行四边形（高3厘米），这个平行四边形的面积你会算吗？

生：用1平方厘米的小正方形去测量，不满1格的凑成1平方厘米。（该生受长方形的面积计算公式的推导过程的启发，面对新问题，不会束手无策。）

生：我赞同他的想法，只是有一点小小的改动，把不满1格的，通过平移，转化为1格，我算出平行四边形的面积是15平方厘米。

生：我想到了一个好办法，我能上去画吗？把平行四边形沿着高剪开，把剪下的三角形平移到另一边，拼成一个长方形。平移前后，图形的面积不变，只要求出长方形的面积，也就求出了平行四边形的面积。如图1。

图1

师：能听懂这位同学的想法吗？

生1：我们可以不直接用面积单位度量平行四边形的面积，而是沿着高把平行四边形剪开，把左边的三角形平移到右边，拼成一个长方形。长方形的面积等于平行四边形的面积，长等于底，宽等于高，因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。

板书：

长方形的面积=     长 × 宽

↓        ↓   ↓

平行四边形的面积= 底 × 高

生2：他是用转化的方法，我觉得很好，遇上新问题，把它转化为会解决的问题。我还有一种不同的剪拼思路，我是沿着高剪成两个梯形再通过平移拼成长方形。如图2。

图2

显然，引导学生关注数学知识之间的联系，学生在思考数学问题时，头脑中就能形成一个整体的形象，有利于学生思维的发展。

三、注重“变式”迁移，赋予问题解决更宽阔的提升力

在数学知识网络中，每个概念、规律既有相对独立性，又有相互关联性。正因为数学知识之间存有相互关联性，如果将各个分散的知识点建立适当的“联结”，在教学中有意识地进行“变式”，则能帮助学生建构更具适应力的知识体系，提升问题解决力。郭思乐教授认为，人对数学知识的认识，正像人的胚胎发育一样，各个部分是同步生长的。基于这样的认识，如果我们在组织教学活动时，鼓励学生用自己的方法，探求事物之间的本质联系，建立相互之间的关联性，那么必然会促进学生对概念、规律的深刻理解。以三角形的面积计算公式的推导为例。

1.回忆旧知，构筑策略

师：回顾一下，我们已经学习了哪些图形的面积计算公式？

生：我们已经会算长方形、正方形、平行四边形的面积。

师：还记得我们是如何得出长方形、平行四边形的面积计算公式的吗？

生：略。

2.变式迁移，探究学成

师：我们用数方格的方法，推导出长方形的面积计算公式;用剪拼转化的方法，推导出平行四边形的面积计算公式。那你打算用什么方法来研究三角形的面积计算公式呢？以四人小组为单位，设计一个研究方案，推导出三角形的面积计算公式。

学生以四人小组为单位合作探究、反馈。

生1：我们小组借助面积单位度量三角形的面积，如图3，发现不同类型的三角形的面积都等于底乘高的一半。

[底4cm，高

4cm，面积

8cm2][底5cm，高

3cm，面积

7.5cm2][底3cm，高

4cm，面积

6cm2]

图3

生2：我觉得用数方格的方法太麻烦，研究平行四边形的面积时，我们走的是转化之路，所以我们小组也用转化的方法研究三角形的面积。我们发现用两个完全相同的三角形都可以拼成平行四边形，如图4。因为平行四边形的面积=底×高，所以三角形的面积=底×高÷2。

图4

生3：我觉得转化的方法比数方格的方法更具优势，但我有一个疑惑，如果只用一个三角形不知是否可以推导出面积计算公式？

师：多么有价值的问题，赶紧动手试试看。

生1：我有办法。我把三角形沿着底边上的高折出一条折痕，再把左右两个三角形的底边对折，通过旋转，把三角形转化为长方形，如图5。长方形的长等于三角形底的一半，宽等于三角形的高，因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积=底÷2×高=底×高÷2。

生2：受此启发，我还可以把三角形转化为平行四边形，如图6。

生3：如果换个方向，也可以把三角形转化为平行四边形，如图7。

图5               图6             图7

生4：老师（非常激动地喊起来），我不但会计算三角形面积，还会计算梯形的面积。像图4那样把两个相同的梯形拼成平行四边形，算出平行四边形的面积，除以2就成功了，如图8。

生5：我们也可以像图5那样把两个尖角通过旋转，把梯形转化为长方形，如图9。

图8                         图9

生6：我们还可以像图6那样，把梯形转化为平行四边形，如图10。

生7：我们还可以像图7那样，把梯形转化为平行四边形，如图11。

图10                       图11

总之，学习数学的要点不在于记忆大量的法则，而在于构建充满关联性的数学知识结构。当我们以关联方式理解数学，就会主动将新旧知识建立联系，易于把握知识本质，促进理解。

[*本文系江苏省教育科学“十二五”重点规划课题《小学数学智性学习研究》（批准号：B-b/2013/02/352）的研究成果之一。]