一种新的双翼和四翼蝴蝶吸引子共存的超混沌系统*

从继成，高纲领

（黄淮学院，河南 驻马店 463000）

一种新的双翼和四翼蝴蝶吸引子共存的超混沌系统*

从继成，高纲领

（黄淮学院，河南 驻马店 463000）

针对现有的四翼超混沌系统在系统参数固定时，不能同时产生双翼和四翼蝴蝶混沌吸引子的问题，提出了一种双翼与四翼蝴蝶混沌吸引子共存的超混沌系统。对系统的平衡点、Lyapunov指数谱和分岔图进行了研究，呈现了系统的超混沌特性。最后，利用主动控制同步法，设计了合适的非线性反馈控制器，实现双翼与四翼吸引子共存的超混沌系统的广义投影同步。

超混沌，双翼蝴蝶混沌吸引子，四翼蝴蝶混沌吸引子，广义投影同步

0 引言

由于混沌系统具有非常复杂的动力学行为，因此，混沌已被广泛地应用于保密通信中，而四翼蝴蝶混沌系统较一般的双翼蝴蝶混沌系统的动力学行为更复杂，因此，在保密通信中使用四翼蝴蝶混沌系统，能使保密通信更安全，信息更难被破译。

2003年，Liu等［1］构造了第1个四翼蝴蝶混沌吸引子，尽管被证明是假的四翼蝴蝶混沌吸引子［2］，但却引起了人们对构造四翼［3-14］蝴蝶混沌系统的兴趣。文献［3-11］通过对双翼蝴蝶混沌系统的修改，构造了能产生四翼蝴蝶混沌吸引子的系统；Wang等［12］构造了一个新的混沌系统，通过改变系统参数，该系统能产生三翼和四翼蝴蝶混沌吸引子；Dadras等也构造了两个混沌系统，通过改变系统参数，这两个系统分别能产生两翼、三翼、四翼蝴蝶混沌吸引子［13］和一翼、两翼、三翼、四翼蝴蝶混沌吸引子［14］。然而，对于上述的混沌系统，其不足之处在于：要产生不同翼数的蝴蝶混沌吸引子，都需要修改系统参数才能实现，而当系统参数固定时，却不能同时产生具有不同翼数的蝴蝶混沌吸引子。针对该问题，本文构造了一种双翼与四翼蝴蝶混沌吸引子共存的超混沌系统。

1 双翼和四翼蝴蝶混沌吸引子共存的超混沌系统

本文构造的具有双翼与四翼蝴蝶混沌吸引子共存的超混沌系统的状态方程为：

其中，x，y，z，w是状态变量，a，b，c，d，m，n为系统参数。令a=25，b=3，c=40，d=10，m=10，n=2，选取初始条件［x，y，z，w］=［0.1，0.2，0.3，0.12］T，取步长为0.001，通过数值仿真，得到系统（1）能同时产生双翼与四翼蝴蝶超混沌吸引子，如图1所示。

从图1可以看出，系统（1）在x～y相平面呈现出双翼蝴蝶超混沌吸引子；在x～z和y～z相平面呈现出四翼蝴蝶超混沌吸引子。由此可见，系统（1）能同时产生双翼和四翼蝴蝶超混沌吸引子。

2 基本动力学分析

2.1 平衡点

把平衡点S0代入特征方程det（J-λI）=0，得到4个特征值分别为 λ1=-3，λ2=-46.49，λ3=20.55，λ4=0.94，由于λ1和λ2为负实数，λ3和λ4为正实数，故平衡点S1为不稳定的鞍点。

把平衡点S2和S3代入特征方程det（J-λI）=0，得到S2和S3有相同的特征值，分别是λ1，2=-3.85± 51.32i，λ3=-20.40，λ4=0.10。由于λ1，2为具有负实部的共轭复数根，λ3为负实数，λ4为正实数，故平衡点S2和S3为不稳定的鞍焦点。

2.2 Lyapunov指数谱和分岔图

令系统参数 a=25，b=3，c=40，d=10，n=2，当0＜m＜20时，系统（1）的Lyapunov指数谱和关于状态变量y的分岔图，如图2所示。

从图 2（a）知，当m∈［4.4，7］，［10，10.9］，［11.2，15.3］和m∈［16.1，17.2］时，系统式（1）最大的两个Lyapunov指数大于0，系统处于超混沌状态；当m取剩余值时，系统（1）只有一个Lyapunov指数大于0，系统处于混沌状态。从图2（b）中的分岔图也可以看出系统始终处于混沌与超混沌状态。分岔图与Lyapunov指数谱相一致。

3 广义投影同步

设驱动系统：

响应系统：

式中，u1～u4是要设计的同步控制器。对于驱动系统（2）和响应系统（3），任取初始值，若使

成立，则称系统（2）和系统（3）获得广义投影同步。常数α称为比例因子。

定义系统（2）与系统（3）的同步误差为e1=x1-αy1，e2=x2-αy2，e3=x3-αy3，e4=x4-αy4。

根据主动控制的思想，设计控制器

可使式（4）成立。

下面证明控制器（5）能使式（4）成立。

对V求导，得

其中，

选择反馈系数k=46，比例因子α=0.5，取驱动系统（2）与响应系统（3）的初始值，x=［0.1，0.01，0.2，0.1］T，y =［0.2，0.12，0.12，0.3］T，步长为0.001，通过数值仿真得系统（2）和系统（3）的同步误差曲线如图3所示。从图3可见，系统（2）和系统（3）达到同步状态，表明所设计的控制器的有效性和理论推导的正确性。

4 结束语

本文提出了一种产生双翼与四翼蝴蝶吸引子共存的超混沌系统。通过数值仿真，在x～y相平面得到了双翼蝴蝶超混沌吸引子，在x～z和y～z相平面得到了四翼蝴蝶超混沌吸引子。利用主动控制同步法，设计了非线性控制器，实现了该系统的广义投影同步。由于该系统同时存在双翼和四翼超混沌吸引子，表明了该系统具有更复杂、更丰富的动力学特性，同时该系统又能实现广义投影同步，因此，在保密通信中具有巨大的应用价值。

［1］Liu W B，Chen G R.A New Chaotic System and Its Generation［J］.Int.J.Bifurcation and Chaos，2003，13（1）:261-267.

［2］Liu W B，Chen G R.Can a Three-dimensional Smooth Autonomous Quadratic Chaotic System Generate a Single Four-scroll Attractor［J］.Int.J.Bifur.Chaos，2004，14（4）: 1395-1403.

［3］王繁珍，齐国元，陈增强，等.一个四翼混沌吸引子［J］.物理学报，2007，56（6）:3137-3144.

［4］Dong E Z，Chen Z P，Chen Z Q，et al.A Novel Four-wing Chaotic Attractor Generated from a Three-dimensional Quadratic Autonomous System［J］.Chin.Phys.B，2009，18（7）:2680-2689.

［5］乔晓华，包伯成.三维四翼广义增广Lü系统［J］.物理学报，2009，58（12）:8152-8159.

［6］Wang Z H，Qi G Y，Sun Y X，et al.A New Type of Four-wing Chaotic Attractors in 3-D Quadratic Autonomous Systems［J］.Nonlinear Dynamics，2010，60（3）:443-457.

［7］陈昌川.一种多翼超混沌系统及其FPGA实现［J］.微电子学，2011，41（4）:562-566.

［8］褚衍东，湛宁，安新磊，等.一个具有四翼混沌吸引子的新系统及其参数辨识［J］.兰州大学学报（自然科学版），2012，48（2）:136-140.

［9］屈双惠，容旭巍，吴淑花，等.一个四翼超混沌系统的电路实现及其同步控制［J］.华中师范大学学报（自然科学版），2013，47（2）:189-194.

［10］余飞，王春华，尹晋文，等.一个具有完全四翼形式的四维混沌［J］.物理学报，2012，61（2）:020506.

［11］黄沄，张鹏，赵卫峰.一个新的四翼超混沌系统及其FPGA实现［J］.西南大学学报（自然科学版），2013，35（6）: 127-130.

［12］Wang L.3-scroll and 4-scroll Chaotic Attractors Generated from A New 3-D Quadratic Autonomous System［J］.Nonlinear Dynamics，2009，56（4）:453-462.

［13］Dadras S，Momeni H R.A Novel Three-dimensional Autonomous Chaotic System Generating Two，Three and Four-scroll Attractors［J］.Phys.Lett.A，2009，373（40）: 3637-3642.

［14］Dadras S，Momeni H R.Generating One-，Two-，Threeand Four-scroll Attractors from a Novel Four-dimensional Smooth Autonomous Chaotic System［J］.Chin.Phys.B，2010，19（6）:60-62.

A New Hyper-chaotic System Generating Two-wing and Four-wing Butterfly Attractors Simultaneously

CONG Ji-cheng，GAO Gang-ling
（Huanghuai University，Zhumadian 463000，China）

Considering the issue of the four-wing hyper-chaotic system cannot produce two-wing and four-wing hyper-chaotic attractors simultaneously when the parameters of the system are fixed，a novel hyper-chaotic system is presented，in which the two-winged and four-winged attractors can coexist in this paper.Through the study of the equilibrium points，the Lyapunov exponent spectrums and bifurcation diagrams，itshowsthedynamiccharacteristicsofthehyper-chaoticsystem. Furthermore，with an active control method，the proper nonlinear feedback controllers are designed to achieve the generalized projective synchronization of the hyper-chaotic system.

hyper-chaotic，two-wing butterfly chaotic attractors，four-wing butterfly chaotic attractors，generalized projective synchronization

TP391

A

1002-0640（2015）09-0085-03

2014-08-25

2014-09-27

河南省教育厅科学技术研究重点基金资助项目（13A520786）

从继成（1979- ），男，河南驻马店人，硕士，实验师。研究方向：计算机应用。