基于TOPSIS的直觉模糊多属性群决策方法*

王 超，陈云翔，蔡忠义，潘天峰，罗承昆

（1.空军工程大学装备管理与安全工程学院，西安 710051；2.空军装备部，北京 100843；3.解放军94997部队，北京 100076）

基于TOPSIS的直觉模糊多属性群决策方法*

王 超1，2，陈云翔1，蔡忠义1，潘天峰3，罗承昆1

（1.空军工程大学装备管理与安全工程学院，西安 710051；2.空军装备部，北京 100843；3.解放军94997部队，北京 100076）

针对直觉模糊信息环境下的多属性群决策问题，对专家给出的直觉模糊集决策矩阵进行规范化处理，利用直觉模糊集的相关理论，提出基于直觉模糊熵的属性权重确定方法；为了便于度量任意两个专家之间决策信息的相似度，将各专家给出的直觉模糊集决策矩阵转化决策向量，提出基于直觉模糊相似度的专家权重确定方法；利用逼近于理想解的排序方法（TOPSIS）对专家群的决策信息进行综合集成，给出备选方案优劣排序。结合算例验证方法的有效性。

群决策，直觉模糊集，直觉模糊熵，相似度，理想解

0 引言

Atanassov K.T［1］在对模糊集进行扩展的基础上，提出了直觉模糊集的概念。由于直觉模糊集克服了模糊集的局限性，可以较灵活、方便地描述不确定性，尤其是决策者判断过程中的犹豫程度，受到了国内外学者的广泛关注。在现实管理决策中，许多决策问题本身具有一定的直觉模糊性，而且需要多个决策者参与。因此，直觉模糊集多属性群体决策已成为决策科学、管理科学等交叉学科的一个重要研究领域［2］。

直觉模糊多属性群决策是指通过对各方案属性评价值的综合，以及各决策者给出的直觉模糊判断信息的集结，从而对备选方案进行优选与排序的过程［3］。这一过程中存在着两类矛盾冲突，即同一决策者不同属性之间的矛盾冲突和同一属性不同决策者之间的矛盾冲突。

第1类矛盾主要通过决策者的偏好程度和各属性权重来解决，是一个多属性决策过程，如文献［4-5］；第2类矛盾主要是通过决策群体的直觉模糊集决策信息集结和决策者权重来解决。目前已有不少学者提出了有效集结算法，如直觉模糊有序加权平均（IFOWA）算子［6-7］，逼近于理想解的排序方法（TOPSIS）［8］等；对于群决策中专家权重，主要有熵最大化加权法［9］，非犹豫度的精确加权（AWD）方法［10］。文献［10］忽视了隶属度与非隶属度之间关联关系，隐含了专家判断信息，会导致其评价值与其他专家产生高度冲突，影响到备选方案的排序结果。

基于上述考虑，本文在TOPSIS的基础上，通过对各专家给出的直觉模糊信息进行充分挖掘与综合集成，提出基于TOPSIS的直觉模糊多属性群决策方法。首先，对专家给出的直觉模糊集决策矩阵进行规范化处理；然后，提出基于模糊熵的属性权重确定和基于直觉模糊相似度的专家权重确定；最后，运用TOPSIS的基本思路，对备选方案进行评价与优选，结合算例加以验证。

1 预备知识

定义1 若论域X上的两个映射为：μA∶X→［0，1］和υA∶X→［0，1］，使得x∈X|→μA（x）∈［0，1］和x∈X|→υA（x）∈［0，1］并满足条件：0≤μA（x）+υA（x）≤1，则称μA和υA确定了论域X上的一个直觉模糊集A，可简记为A={＜x，μA（x），υA（x）＞|x∈X}，分别称μA（x）和υA（x）为元素x属于A的隶属度和非隶属度，称πA（x）=1-μA（x）-υA（x）为元素x属于A的犹豫度。

论域X中的元素x属于A的隶属度与非隶属度所组成的有序对＜μA（x），υA（x）＞称为直觉模糊数，直觉模糊集A可以看作是全体直觉模糊数的集合，表示为：

定义2 对于任意zij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）都是直觉模糊数，则矩阵Z=（zij）m×n称为直觉模糊矩阵。

定义3 设ϑ：Ω2→Θ，Ω为X上所用直觉模糊集的集合，且设Ai∈Ω（i=1，2，3），若ϑ（A1，A2）满足以下性质：

①0≤ϑ（A1，A2）≤1；

②ϑ（A1，A2）=1当且仅当A1=A2；

③ϑ（A1，A2）=ϑ（A2，A1）

④若A1⊆A2⊆A3，则ϑ（A1，A3）⊆ϑ（A1，A2）且ϑ（A1，A3）⊆ϑ（A2，A3）

则称ϑ（A1，A2）为A1和A2的直觉模糊相似度。

定义4 设直觉模糊集A的正、负理想解分别为 A+和理想解为 A-，可表示为：A+=＜μA+，υA+＞，A-=＜μA-，υA-＞，其中：

2 基于直觉模糊信息的权重确定

2.1 问题的描述

现有n个可行方案xj（j=1，2，…，n）组成方案集X={x1，x2，…，xn}，由K个专家Pk（k=1，2，…，K）组成一个决策群体对每个方案关于m个属性oi（i=1，2，…，m）组成属性集O={o1，o2，…，om}进行评价。

从而将专家Pk的决策矩阵Dk转化为规范化决策矩阵Dk。

2.2 属性权重的确定

对于直觉模糊数a=＜μA（x），υA（x）＞，其直觉模糊熵表示为

对于任意直觉模糊数aij，由上式可计算其直觉模糊熵，记为eij。若直觉模糊熵越大，说明该直觉模糊数的不确定性越大。

专家Pk关于属性oi（i=1，2，…，m）的直觉模糊熵Eik为

式中：eijk为专家Pk关于于方案j的属性oi的直觉模糊熵；λj为方案j的权重。由于每个方案地位的平等性，故λj=1/n。

专家Pk关于属性oi的直觉模糊熵Eik为：

专家Pk关于属性oi的权重表示为：

2.3 专家权重的确定

为了确定专家的权重值，需要继续挖掘专家给出的直觉模糊决策信息，采用直觉模糊相似度来度量。

为了便于度量任意两个专家之间直觉模糊相似度，需要将专家Pk的规范化决策矩阵Dk转化为决策向量，具体做法如下：

其中：

对于直觉模糊相似度的计算，文献［2］分别给出了汉明相似度、欧几里德相似度和切比雪夫相似度的计算公式。根据研究工作实际，本文选取欧几里德相似度计算公式，如下：

对于任意两个专家Pl和Pk的直觉模糊集决策向量分别为和，可构造两者之间的欧几里德相似度：

则专家Pk的权重φk表示为：

φk反映的是专家Pk提供的决策信息被其他专家所提供的决策信息支持的程度。显然，该专家的决策信息与其他专家决策信息的相似度之和越大，表明该信息被其他专家所提供的决策信息支持的程度越高，该专家赋予的权重应越大。

则专家群权重矩阵Φ表示为：

3 基于TOPSIS的群决策方法

在多属性决策问题中，在理想解和权重已知的条件下，运用TOPSIS算子，可以很好地解决多方案选优的问题。其基本思想是：所选择的满意方案应尽可能接近正理想解（或方案），同时又尽可能远离负理想解。基于此，本文将TOPSIS算子推广运用到多属性群决策问题中。

3.1 理想解的确定

参照定义4，定义专家Pk的直觉模糊集规范化决策矩阵Dk的正理想解为xk+和负理想解为xk-，其直觉模糊集表示为：

3.2 综合评价结果

专家Pk关于方案xj与规范化决策矩阵Dk的正、负理想解的欧几里德距离表示为：

式中：

则专家Pk关于方案xj与直觉模糊集规范化决策矩阵Dk的正理想解的相对贴近度表示为：

专家群关于方案集的相对贴近度矩阵记为F

考虑专家的权重后，专家群关于方案集的最终评价矩阵C，可表示为C=［c1，c2，…，cn］，其中：

3.3 群决策的过程

综上所述，基于直觉模糊信息的多属性群决策过程归纳如下：

Step1:确定K个专家Pk（k=1，2，…，K）组成一个决策群体，待评估方案集X={x1，x2，…，xn}以及属性集oi（i=1，2，…，m）。

Step2:获取专家Pk的直觉模糊集决策矩阵Dk，由式（1）进行规范化处理，得到专家Pk的规范化决策矩阵Dk。

Step3:由式（4），式（5）确定专家Pk关于属性集的权重矩阵Wk。

Step5:由式（10）确定专家Pk的规范化决策矩阵Dk的正、负理想解。

Step6:由式（11）确定专家Pk关于方案xj与规范化决策矩阵Dk的正、负理想解的欧几里德距离dk（xj，xk+）和dk（xj，xk-）。

Step7:由式（12）确定专家Pk关于方案xj与直觉模糊集决策矩阵的正理想解的相对贴近度，得到专家群关于方案集的相对贴近度矩阵F。

Step8:由式（13）确定专家群关于方案集的最终评价矩阵C，从而确定备选方案的优劣排序。

4 算例分析

假设现有3个专家P1，P2，P3组成一个决策群体，对某型老旧机载设备的3个可靠性增长试验方案xj（j=1，2，3）进行评估与选优。经过分析，选择以下4个因素作为评估指标即属性：方案可行性（o1）、方案经济性（o2）、方案风险可承受性（o3）以及预期实施效果（o4）。采用专家咨询的方法，可以得到各个专家Pk（k=1，2，3）对于方案xj（j=1，2，3）关于属性 oi（i=1，2，3，4）给出的满意度、不满意度，具体数据见表1。

由表1可以获取专家Pk的直觉模糊集决策矩阵，由式（1）规范化处理后得到Dk；由式（4），式（5）确定专家Pk关于属性集O的权重矩阵Wk为

由式（7），式（8）专家群的直觉模糊相似度矩阵：

由式（9）确定专家的权重矩阵Φ：

由式（10）确定专家Pk的直觉模糊集决策矩阵Dk的正理想解Dk+、负理想解Dk-。

由式（11）确定专家Pk关于方案集x与直觉模糊集决策矩阵的正、负理想解的欧几里德距离dk（X，xk+）和dk（X，xk-）。

由式（12）确定专家群关于方案集的相对贴近度矩阵F。

由式（13）确定专家群关于方案集的最终评价矩阵C，即C=［0.557 0.336 0.528］。

因此，备选方案的优劣排序为x1＞x3＞x2，且x1为最满意的方案。

5 结束语

本文在直觉模糊环境下，通过对专家群直觉模糊决策信息进行充分挖掘和综合集成，采用了直觉模糊熵来确定各属性的权重；将专家的直觉模糊集决策矩阵转化决策向量，提出了基于直觉模糊相似度的专家权重确定方法；利用TOPSIS方法对进行专家群决策信息进行综合集结，给出了专家群关于方案集的相对贴近度矩阵，得到了备选方案的优劣排序。结合算例表明，该方法可以有效克服多属性群决策中的两类冲突矛盾，结果可行有效。

［1］Atanassov K T.Intuitionistic Fuzzy Sets［J］.Fuzzy and Systems，1986，20（1）:87-96.

［2］李登峰.直觉模糊集决策与对策分析方法［M］.北京：国防工业出版社，2012.

［3］孙世权，高淑萍，梁原，等.基于数据融合技术的多属性群决策方法［J］.系统工程与电子技术，2012，34（10）: 2094-2097.

［4］徐永杰，孙涛，李登峰.直觉模糊POWA算子及其在多准则决策中的应用［J］.控制与决策，2011，26（1）:129-132.

［5］李鹏，刘思峰，方志耕.基于灰色关联分析和MYCIN不确定因子的直觉模糊决策方法［J］.控制与决策，2011，26（11）:1680-1684.

［6］Liu S P，Dang Y G，Pang Z G.Grey System Theory and its Application［M］.The 5th ed.Beijing:Science Press，2010: l-15.

［7］Zhou S M，Francisco C，John R I，et al.Fuzzification of the OWA Operators for Aggregating Uncertain Information with Uncertain Weights［J］.Theory and Practice Studies in Fuzziness and Soft Computing，2011，265:91:109.

［8］Socorro M，Garcia C.The TOPSIS method and its Application to Linguistic Variables［J］.Preference and Decisions，2010，257:383-395.

［9］戚筱雯，梁昌勇，张恩桥，等.基于嫡最大化的区间直觉模糊多属性群决策方法［J］.系统工程理论与实践，2011，31（10）:1940-1948.

［10］周伟，何建敏，余德建.直觉模糊群决策中专家权重确定的一种精确方法［J］.控制与决策，2013，28（5）: 716-720.

Method on Intuitionistic Fuzzy Multi-attribute Group Decision-making Based on TOPSIS

WANG Chao1，2，CHEN Yun-xiang1，CAI Zhong-yi1，PAN Tian-feng3，LUO Cheng-kun1
（1.School of Equipment Management and Safety Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China；2.Equipment Department of the Air Force，Beijing100843，China；3.Troops 94997 of PLA，Beijing 100076，China）

Aim at multi-attribute group decision-making problem in condition of intuitionistic fuzzy information，the decision matrix of every expert’s intuitionistic fuzzy set is made to be standardized，relevanttheory ofintuitionistic fuzzy setisused，method on attribution-weight determination is put forward based on intuitionistic fuzzy entropy;in order to get the similarity degree of two experts’decision information arbitrary，the decision matrix of every expert’s intuitionistic fuzzy set is converted its decision vector，method on expert-weight determination is put forward based on similarity degree of intuitionistic fuzzy.Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution（TOPSIS）is used to integrate the group decision information，the ordering of alternatives is given.An example is used to verify validity of this method.

group decision-making，intuitionistic fuzzy set，intuitionistic fuzzy entropy，similarity degree，ideal solution

C93

A

1002-0640（2015）09-0011-05

2014-08-07

2014-09-17

“：十二五”国防预先研究基金资助项目（51327020104）

王 超（1984- ），男，河北石家庄人，硕士，工程师。研究方向：装备维修保障。