关于可列非齐次马氏链泛函滑动平均的一类强极限定理

吴 玉，崔 影，范爱华

(安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032)

关于可列非齐次马氏链泛函滑动平均的一类强极限定理

吴 玉，崔 影，范爱华

(安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032)

用分析的方法研究可列非齐次马氏链泛函的极限性质。首先利用渐近对数似然比作为连续型随机序列相对独立随机序列的偏差的一种随机性度量，构造几乎处处收敛的上鞅，再由B-C引理，得到关于可列非齐次马氏链泛函滑动平均的一类强极限定理，并推广了经典结果。

可列非齐次马氏链；泛函；B-C引理；强极限定理

马尔科夫过程是随机过程中历史最悠久且最为重要的一类随机过程，它为信息科学、管理科学以及金融决策等各个领域提供了强有力的数学工具。自1907年苏联科学家Markov引出马尔科夫链概念以来，人们对马氏链的研究已经形成了较为完整的理论体系，取得了丰富的研究成果。近年来，关于非齐次马氏链的研究引起了许多学者的广泛的兴趣，如：文献[1]研究了随机环境中马氏链的一类强极限定理，推广了在随机环境中马氏链的泛函极限定理的结果；文献[2]研究关于独立同分布随机序列的极限定理，得到了独立同分布随机序列滑动平均的熵定理和中心极限定理；文献[3]研究非齐次马氏链函数的强大数定律，并且给出了直接加于链和过程样本函数上的充分条件；文献[4-5]研究一类对可列非齐次马氏链普遍成立的强大数定理，且在几乎处处收敛的条件下，给出了任意非齐次马氏链状态序偶出现频率和转移概率的一种关系；文献[6]中给出了可列非齐次马氏链M元状态序组出现频率的一类强极限定理，所得的结论对任意可列非齐次马氏链普遍成立；文献[7]中通过构造新的概率密度函数，在适当的限制条件下建立了几乎处处收敛鞅，得到了关于非负随机序列和的强大数定律和一类随机偏差定理；文献[8-9]研究了可列非齐次马氏链泛函的强大数定律。上述文献利用纯分析的方法讨论了马氏链的极限性质，推广了相关的结论。本文在文献[6]的基础上，用分析的方法研究可列非齐次马氏链的泛函的极限性质，以得到非齐次马氏链泛函滑动平均的一个强大数定律，并对经典强大数定律加以推广。

1 预备知识

定义1随机过程{Xn,n=1,2,…}称为Markov链，若它只取有限或可列个值，并称它们是过程的状态，{1,2,…}或其子集记为S，称为过程的状态空间。对任意的n≥0以及状态i0,i1,…,in-1,in，有

式(1)刻画了Markov链的特性，称为Markov性。

定义2设{Xn,n≥0}是状态空间为S={0,1,2,…}的非齐次马氏链，{fn(x),n≥0}是定义在S上的一列实值函数，称随机过程

为非齐次马氏链{Xn,n≥0}的泛函。

2 主要结论

定理1设{Xn,n≥1}是非齐次马氏链，其初始分布与转移矩阵分别为

其中 pn(i,j)=P(Xn+1=j|Xn=i)。

推论1设{Xn,n≥1}是独立随机变量序列，{an,n≥0}是一列非负有界整数列，若D2为满足下列条件的点ω的全体：

[1]武晓敏，杨卫国.随机环境中马氏链的一类强极限定理[J].安徽工业大学学报：自然科学版，2008,25(1):100-103.

[2]简旭，吴玉，范爱华.关于独立同分布随机序列的若干极限定理[J].安徽工业大学学报：自然科学版，2014,31(2):209-211.

[3]朱成喜，陈俊雅，魏文元.非齐次马氏链函数的强大数定律[J].数学学报，1988,31(4):464-474.

[4]汪忠志，杨卫国.一类对可列非齐次Markov链普遍成立的强大数定律[J].系统科学与数学，2011,28(5):702-706.

[5]Yang W G.Convergence in the Cesàro sense and strong law of large numbers for nonhomogeneous Markov chains[J].Linear Algebra and itsApplications,2002,354(1/2/3):275-288.

[6]金少华.可列非齐次马氏链的一个强极限定理[J].应用数学，1997,10(1):42-45.

[7]Wang Z Z.A class of random deviation theorems for sums of nonnegative stochastic sequences and strong law of large numbers [J].Statistics&Probability Letters,2006,76(18):2017-2026.

[8]Liu W.Relative entropy densities and a class of limit theorems of the sequence of m-valued random variables[J].The Annals of Probability,1990,18(2):829-839.

[9]Liu G X,Liu W.On the strong law of large numbers for functional of countable nonhomogeneous Markov chains[J].Stochastic Processes and theirApplications,1994,50(2):375-391.

责任编辑：丁吉海

Some Limit Theorems on MovingAverage of Functions for Countable Non-homogeneous Markov Chains

WU Yu,CUI Ying,FANAihua
(School of Mathematics&Physics Science and Engineering,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

Based on asymptotic method,some limit properties of non-homogeneous Markov chains are studied.Firstly,asymptotic logarithmic likelihood ratio is used as a random measure of deviation between a sequence of continuous random variables and independent ones.Then,by constructing an almost everywhere convergence super-martingale and Borel-Cantelli lemma,a class of strong limit theorems on moving average of functions for countable non-homogeneous Markov chains are obtained.The classical results are generalized.

non-homogeneous Markov chain;functional;B-C lemma;strong limit theorem

O211.3

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.01.016

2014-05-09

安徽工业大学青年教师科研基金(QZ201314)；安徽工业大学研究生创新基金(2013093)

吴玉(1991-)，女，安徽庐江人，硕士生，研究方向为概率论及其应用。

范爱华(1964-)，女，安徽安庆人，教授，研究方向为概率论极限理论。

1671-7872(2015)-01-0081-04