复合多层RBF网络及其在偏微分方程数值解中的应用

徐光鲁，庄 健

(安徽工业大学商学院，安徽马鞍山243032)

复合多层RBF网络及其在偏微分方程数值解中的应用

徐光鲁，庄 健

(安徽工业大学商学院，安徽马鞍山243032)

针对多层径向基函数网络具有很高的实函数逼近能力，但每个聚类上的逼近精度不高的特点，通过引进子网络，构造复合多层径向基函数网络。模拟实验表明：这种网络可提高逼近精度，尤其对于实函数逼近精度更高；将该网络应用于偏微分方程的求解,可以克服传统径向基函数插值法因为引入导数边界条件而精度大幅下降的缺点，使得数值解的精度提高3～4个数量级。

子网络；复合多层RBF网络；数值解；偏微分方程

无网格法[1-2]是近20年来发展起来的求偏微分方程数值解的新方法。该方法无需像有限元法那样对区域进行网格化，因此可以用于有限元法失效的场合，如模拟裂缝的随机延生、区域和边界不规则、三维以上空间而难以网格化的场合以及物体动态变形使网格严重扭曲以致误差很大的场合等。

径向基函数的插值法是无网格法的一种，它的最大特点是与维数无关，可以用于高维的场合。该方法首先由Kamsa[3]、Chen和Golberg[4]提出，之后Hon和Wu[5-6]作了许多有益的工作。但该方法的缺点是在许多情况下精度不高[7-8]，导数边界条件难处理以及求逆矩阵时条件数过大等问题。Liu和Gu[1]提出的强式和弱式相结合的方法虽然在一定程度上解决了导数边界条件的问题，但这种方法不是完全意义上的无网格法。

基于径向基函数的插值法的无网法由于其无需网格化，适用于任意区域，任意边界和任意维空间。该方法吸引国内许多研究者[7-10]，其中文献[7]找出MQ拟插值算法中形状参数必须满足的条件，解决了这类插值问题中形状参数难以确定的问题；文献[8]在Wu提出的径向基函数的拟插值方法的基础上提出新的动点算法，其精度比Wu的方法更高；文献[9]对移动最小二乘法的无网格法作了改进，解决这种方法引入边界条件难的问题；文献[10]鉴于有限元法存在色散问题，将基于径向基函数的无网格法用于声学问题，取得良好的效果。本文提出一种复合径向基函数网络，它由多层径向基函数网络[11]和改进的多层径向基函数网络[12]改进而来的，以提高算法的逼近精度。

1 复合多层径向基函数网络

1.1 多层径向基函数网络

(1)网络结构 多层径向基函数网络[11-12]由多个单层径向函数网络构成，其在第1层径向基函数网络的基础上再用第2层径向基函数网络去拟合第1层网络的残差函数，然后将得到的残差函数和第1层的拟合结果相加得到整个网络的总输出；再在2层网络的基础上，用第3层网络去拟合2层网络的拟合残差函数，如此进行下去，得到高精度的多层径向函数网络。

(2)层数的确定给定一个充分小的正数ε。记第k层的广义交叉率为GCVk。如果则计算拟合误差，继续构造第k+1层网络；如果，就放弃这一层网络，保留k-1层网络。广义交叉率GCV按下式计算

权重的确定方法为

1.2 复合多层径向基函数网络

为进一步提高多层径向基函数网络的实函数逼近能力，将聚类中的每个样本皆看成一个径向基函数的中心，这样一个样本对应一个径向基函数，这些径向基函数共同逼近这个聚类上的实函数，精度就会有很大的提高。

1.3 自适应遗传算法

文中采用自适应遗传算法采用浮点数编码，每个染色体具有1个向量，对应宽度系数。自适应遗传算法的目标函数是GCV，适应度函数是GCV的倒数。交叉操作采用均匀交叉，变异操作采用均匀变异，由于均匀交叉和均匀变异操作对样本的“破坏”较大，所以交叉概率和变异概率采用自适应方法，根据适应度值所确定的概率分布选择生存的个体和淘汰的个体。

2 偏微分方程的求解

先构造网络的第1层。将区域内的样本点和边界上的样本点混合，作增广样本，用k-mean法对其进行聚类，得到m1个增广聚类，由增广聚类得到m1个样本聚类。假设第i个样本聚类有个样本，其中区域内样本个，各边界上的样本分别为个。将每个样本作为径向基函数，按上述的用基本多层径向基函数求偏微分方程数值解的方法构造一个子网络。这样共得到m1个子网络。将各子网络综合起来便得到第1层网络。用同样的方法构造其余网络，得到整个复合多层径向基函数网络。当网络的输入为区域或边界上的点时，输出为偏微分方程的解的近似值。

3 计算仿真

在区域内取1 600个样本点，在4条边界线上各取100个样本点。每层网络的聚类个数为40。遗传算法的种群个数取40，最大进化代数取100。训练结果每层的训练误差（均方根误差）及其对比见表1。

由表1可以看出，随着层数的增加，方根误差逐渐减小。特别是第2层，误差比第1层减小一个数量级。复合多层径向基函数网络要比未改进的多层径向基函数网络小3～4个数量级。

表1 每层的训练误差均方根误差及其对比Tab.1 Comparison of every layer of RMSE

数值解和解析解的相对误差，按下式计算

表2给出了几种方法的相对误差结果比较，PPCM模型结果引自参考文献[13]，可见复合多层径向基函数网络的有效性。

表2 解析解与数值解的相对误差对比Tab.2 Comparison of numerical solution and analytic solution

4 结 论

本文提出复合多层径向基函数网络并将其用于求偏微分方程的边值问题的数值解。仿真计算结果表明，用该网络求解偏微分方程的边值问题，具有更高的精度，其精度要比基本多层径向基函数网络高3～4个数量级，比PPCM方法高5个数量级，且不存在导数边界条件问题，因而这是一种有效的求偏微分方程数值解的无网格法方案。

[1]Liu G R,Gu YT.无网格法理论及程序设计[M].王建明，周学军，译.济南：山东大学出版社，2007:137-143.

[2]张雄，刘君.无网格法[M].北京：清华大学出版社，2004:241-256.

[3]Kansa E J.Multiquadrics—a scattered data approximation scheme with applications to computational fluid-dynamics—I surface approximations and partial derivative estimates[J].Computers and Mathematics withApplications,1990,19(8/9):127-145.

[4]Golberg M A,Chen C S,Bowman H.Some recent results and proposals for the use of radial basis functions in the BEM[J].EngineeringAnalysis with Boundary Elements,1999,23(4):285-296.

[5]Hon Y C,Schaback.On unsymmetric collocation by radial basis functions[J].Applied Mathematics and Computation,2001,119 (2/3):177-186.

[6]Hon Y C,Wu Z M.A quasi-interpolation method for solving still ordinary differential equations[J].International Journal for Numerical Methods in Engineering,2000,48(8):1187-1197.

[7]马利敏.径向基函数逼近中的若干理论、方法及其应用[D].上海：复旦大学，2009.

[8]高钦娇.利用径向基函数进行微分方程数值解的动点算法研究与应用[D].上海：复旦大学，2012.

[9]王双.基于径向基配点型无网格方法的内部声学问题研究[D].武汉：华中科技大学，2013.

[10]任红萍.插值型无网格方法研究[D].上海：上海大学，2010.

[11]Zhuang J,Jiang H F,Wu R L.Multi layer RBF network for real functions approximation and nonlinear regression[C/CD]// Scientific Research Public Proceedings of 2011 International Symposium on Statistics and Management Science,Chongqing: Scientific Research Public,2011.

[12]盛飞，庄健.多层RBF网络的自适应遗传算法及其在实函数逼近中的应用[J].安徽工业大学学报：自然科学版，2013, 30(2):192-202.

[13]Lin X,Liu G R,Tai K,et al.Radial point interpolation collocation method for the solution of partial differential equations[J].Computers and Mathematics withApplications,2005,19(2):1034-1047.

责任编辑：丁吉海

Compound Multilayer RBF Network and ItsApplication to Numerical Solution to Partial Differential Equations

XU Guanglu,ZHUANG Jian
(School of Business,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

Multilayer radial basis function network has high ability for real function approximation.But approximation accuracy of each cluster is not high.By introducing sub-RBF network,compound multilayer radial basis function network was constructed.Computer simulation experiment confirmed that with this constructed compound multilayer RBF network the approximation accuracy is improved,especially for real function approximation.When used to solve the numerical solution of partial differential equations,it can overcome the defect of inaccuracy of traditional radical RBF with introducing derivative boundary conditions,and the accuracy of numerical solution is improved by 3-4 orders of magnitude.

subnetwork;compound multilayer RBF network;numerical solution;partial differential equations

O241.82

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.01.015

2014-09-18

徐光鲁(1990-)，男，山东聊城人，硕士生，研究方向为数理统计。

庄健(1957-)，男，上海市人，博士，研究员，研究方向为数理统计与机器学习。

1671-7872(2015)-01-0076-05