一类具有慢变特性的Logistic模型解的合成展开

孙 龙，陈松林

(安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032)

一类具有慢变特性的Logistic模型解的合成展开

孙 龙，陈松林

(安徽工业大学数理科学与工程学院，安徽马鞍山243032)

针对现实自然中Logistic模型中的参数是随着时间变化的特点，研究一类带有慢变特性的单种群的Logistic模型。利用合成法展开法，构造带有慢变特性的Logistic模型的形式渐近解；在一定假定条件下，利用微分不等式上下解理论证明了所构造的形式渐近解的存在性及一致有效性，并给出形式渐近解和精确解之间的误差估计。

慢变特性；Logistic模型；合成展开法；上下解；奇摄动

奇异摄动理论和方法的研究长期以来得到较为普遍的关注，在自然科学的各个领域都得到广泛的应用，常用的奇摄动方法有合成展开法、匹配法、边界层校正法、多重尺度法[1-2]等。近年来，运用奇摄动方法去分析带有小参数生物模型[3]解的渐近性质，得到研究者们的广泛关注，其中Shepherd等[4],Idlango等[5],Grozdanovski[6]在对带有一个或者多个小参数的Logistic模型的研究方面做了大量的工作，Shen等[7-8]在研究带有小参数的非收获Logistic模型和收获的Logistic模型渐近性质中运用了多重尺度法、匹配法。本文对含有慢变特性的非收获Logistic模型，运用合成展开法进行研究。首先构造出形式渐近解，然后在适当条件下，利用微分不等式理论，讨论问题解的一致有效性，并给出误差估计。

描述单生物种群增长的Logistic模型如下

其中：r为种群的内禀增长率；k为环境容纳量；p0是初始状态。

然而由于外部环境的影响或干预，种群的内禀增长率r，环境容纳量k都是随着时间缓慢变化的，即如下具有慢变特性的模型

其中0＜ε≪1为小参数，k(εt)≥K＞0,K为常数，k(εt)，r(εt)充分光滑。

对上述问题，本文构造出形式渐近解，在适当条件下，讨论问题解的一致有效性。

假设

H1：r(∙),k(∙)＞0,且关于其变元连续可微；

定义慢尺度τ=εt，由此式(1)可以表示形式为

即式(1)对应的慢系统。

1 形式渐近解的构造

2 解的存在性及其一致有效性

定理1在假设条件H1，H2下，含有小参数非收获Logistic模型奇摄动问题(1)存在一个解p(τ,ε)，并且渐近展开式(3)一致有效的，即当ε→0时在τ∈[0,T]上一致地有

且精确解和近似解之间的误差可表示为

其中γ＞0。

3 结 语

(1)用合成展开法构造了N次渐近近似解，其关于t的有效区间为，与文献[7]由匹配法所得渐近解的有效区间[0,T]相比，扩大了渐近解的一致有效区间。

(2)文献[7]中渐近解的一致有效性是在假定条件p0＞k(0)下成立，而本文假定条件存在正常数m，使得因此可以看出本文方法适用范围更广。

[1]倪明康，林武忠.奇异摄动问题中的渐近理论[M].北京：高等教育出版社，2009:9-21.

[2]倪明康，林武忠.边界层函数法在微分不等式中的应用[J].华东师范大学：自然科学版，2007(3):1-10.

[3]肖燕妮，周义仓，唐三一.生物数学原理[M].西安：西安交通大学出版社，2012:13-24.

[4]Shepherd J J,Stojkov L.The logistic population model with slowly varying carrying capacity[J].ANZIAM Journal,2007,47: C492-C506.

[5]Idlango M A,Shepherd J J,Nguyrn L,et al.Harvesting a logistic population in a slowly varying environment[J].Applied Mathe matics Letters,2012,25(1):81-87.

[6]Grozdanovski T,Shepherd J J,Stacey A.Multi-scaling analysis of a logistic model with slowly varying coefficients[J].Applied Mathematics Letters,2009,22(7):1091-1095.

[7]Shen J H,Zhou Z Y.Fast-slow dynamics in first-order initial value problems with slowly varying parameters and application to a harvested Logistic models[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2014,19(8):2624-2631.

[8]Shen J H,Zhou Z Y.Fast-slow dynamics in Logistic models with slowly varying parameters[J].Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation,2013,18(8):2213-2221.

[9]周明儒，杜增吉，王广瓦.奇异摄动中的微分不等式理论[M].北京：高等教育出版社，2012:6-18.

[10]叶培培，徐彪，陈松林.具有边界摄动的反应扩散方程奇摄动Robin问题[J].安徽工业大学学报：自然科学版，2011,28(1): 93-96.

责任编辑：丁吉海

Synthesis of Solution to a Class of Logistic Model with Slow Variation

SUN Long,CHEN Songlin
(School of Mathematics&Physics Science and Engineering,Anhui University of Technology,Ma'anshan 243032,China)

In view of the property in real world situation,the parameters in the Logistic models may vary with time,a class of single population Logistic models with slow variation and initial value problems were studied.By using synthetic method,the formal asymptotic solution of the model was constructed.Under certain assumed conditions,that the uniform validity of the asymptotic solution was proved via the way of upper and lower solution.Then the error between the approximate solution and the exact solution was estimated.

slow variation;Logistic models;synthetic method;upper and lower solution;singular perturbation

O175.1

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2015.01.013

2014-06-15

国家自然科学基金项目(50975003)

孙龙(1988-)，男，安徽寿县人，硕士生，研究方向为微分方程的渐近分析。

陈松林(1964-)，男，安徽安庆人，教授，研究方向为微分方程的渐近分析。

1671-7872(2015)-01-0067-05