借力几何直观教学 驱动小学生数学思考

张炎伙（晋江市安海庄头小学，福建 晋江 362200）

借力几何直观教学 驱动小学生数学思考

张炎伙
（晋江市安海庄头小学，福建 晋江 362200）

数学学科具有逻辑性、抽象性极强的特点，而小学数学学习的主体（小学生）却主要以具体形象思维为主，两者的 “不融合”亟需教师为学生的有效数学思考搭建形象与抽象沟通的桥梁，几何直观教学是行之有效的途径。在实际教学中，教师可带领学生寻找数学对象的 “直观模型”，唤醒学生进行数学思考；设计分层动手操作活动，留足时空夯实学生数学思考；并让学生在丰富的数学活动中，感悟数学思想方法，升华数学思考。

小学生；数学思考；直观模型；分层动手操作

《义务教育数学课程标准（2011版）》明确提出把“数学思考”作为小学数学四大目标之一。可见，“数学思考”被凸显和放大，相比显性的“数学知识”，学会从数学的角度思考问题，发现其中蕴含的规律，经历深层“脑动状态”的数学思考、数学建模过程更重要。反观实际的课堂教学，我们却遗憾地发现，学生的数学学习常处于浅学习状态，是什么让儿童的有效思考“悄悄”溜走了？聚焦课堂，笔者观察到一些原因：小学生（特别是中低年级学生）大多以具体形象思维为主，学生的数学思维因缺乏直观模型而无所依附；教师设计的操作活动指向或者层次不明等。这也引发了笔者对“通过几何直观教学促进学生数学思考”的求索。

《义务教育教学课程标准（2011版）》指出“几何直观主要是指运用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果”。如何依靠“几何直观”实现“数学思考”的完善尽美，如何让学生的数学思维滑向深处，笔者做了如下尝试：

一、寻找“数学对象”的直观模型，唤醒数学思考

孔凡哲、史宁中教授指出：数学发展的历程表明，越是高度抽象的数学内容，往往越需要形象直观的模型作为其解释和支撑。借助于恰当的图形、几何模型进行解释，能够启迪思路，使学生从洞察和想象的内部源泉入手，通过自主探索、发现和再创造，经历反思性循环，体验和感受数学发现的过程。［1］可见：面对复杂的、抽象的数学对象，教师首先应该带领学生寻找最有效的与“数学对象”本质关联最大的“直观模型”。

案例1：北师版二年级下册《生活中的大数》，本节课用到最多的直观模型是：小正方体和计数器。教师应带领学生充分感受10，100，1000的直观表象，知道一十是1列，一百是1片，一千成了1个大正方体（如图1左图）。通过小正方体不同的“形”领悟1个一、1个十、1个百、一个千不同数的意义，并通过丰富的操作、交流、分享使这些表象深刻扎根于学生的脑海里，再逐渐抽象为更高级、更具抽象化的直观模型：计数器模型，一十、一百、一千的模型分别是十位上、百位上、千位上有一颗珠子（如图1右图）。至此，新的表象、经验再次汇入学生的认知结构里，形成更为完善的认知网络。这个环节需要教师带领学生经历一次次“慢节奏”满十进一的过程，领悟数以及对应模型的意义。

“形”的直观性以及儿童数学学习中直观形象思维的主导性决定了大部分数学对象的学习都需要这样的“形”作支撑。教学时，教师要向学生提供大量“形”的材料，如在数线中理解数的大小、运算，在等分图形中认识分数、小数，通过点子图、面积图认识乘法分配率等，将数与形完美对应，正如王清宇教师所言：“用数形结合解题的基本途径就是数、形互译。”［2］

二、亲历有序操作，夯实数学思考

美国数学家阿蒂亚言，“在几何中，视觉思维占主导地位，而代数中有序思维占主导作用。”。数学学科螺旋上升和学生渐进思维的特点告诉我们：教师在教学时，要用心领悟教材，明晰学习对象的核心本质，抓住“核心”设计逐层递进的实践操作活动，夯实学生的数学思考，实现纵向数学化过程。

案例2：北师版一年级下册《图书馆》，探索28+4 =？的计算教学。本节课是学生第一次接触两位数加一位数有进位的加法，理解“个位上的8加4等于12，应该满十进一给十位，十位由20变成30”是本课的难点。当然，如果教师能够组织学生准备好直观模型，充分预想每一种直观模型的优劣、层次，依着学生的思维顺序逐层递进设计操作活动的话，教学难点也将迎刃而解。比如我校郑老师的教学实践步骤：

1.观察书本图片模型。学生通过接着往下数的方法，29、30、31、32，得到结果。

2.小棒模型。用小棒替代书本，由实物图片过渡到一般化的数学图形。教学时先请学生说说应该怎么操作，理清：1根小棒代表一本书，28本书要28根小棒，4本书要4根小棒，操作前先把20根捆成2捆，28根摆在一边，4根放一边，一一对应，充分交流之后再进行操作。学生反馈：8+4=12根，10根先捆成1捆，还有2根零散的，加上刚才的2捆，总共3捆又2根，即32根。

3.应用计数器模型。师生共同操作、探索，这个环节（特别是个位的十颗珠子换成十位的一颗珠子的这个小细节）需要教师放慢、再放慢速度，直至学生真正明白算珠所表示的实物、计算的算理之后再进入下一环节。

4.抽象为竖式模型。充分经历上阶段小棒、计数器操作之后，学生再来理解竖式计算这一抽象方法可谓轻而易举。但需注意的是，教师要让学生把竖式计算中“进位的一”和小棒、计数器上“进位的一”一一对应，丰富数的原型，为抽象的数找到形象的支撑，真正理解算理。

让学生经历分层运用直观模型操作探索的过程，有序思考，实现“数”与“形”的相互融合、对应、替换，学生才能明白类似28+4=的算理，从而夯实学生的数学思考，实现有效、高效的数学学习。

三、感悟数学思想方法，升华数学思考

案例3：“2014年晋江市小学数学课堂观摩”中蔡丽圆老师执教《比赛场次》。精彩回放：教师呈现问题：我校有20人要参加象棋比赛，每两个人赛一场，20个人一共要赛几场？学生陷入了沉思，都跃跃欲试，想要找到答案。教师适时点拨：看同学们思考得那么认真，老师想起了一句话：如果方向错了，停下来就是进步。接着，蔡老师引导学生先说说准备用什么方法，以防学生走上思维的“歧途”。再把学生引向简单问题处：尝试探索参赛人数为2、3、4、5人等情形，寻求解决问题的方法和规律。学生自由表达自己的思考过程，汇报如下（如下图）：

每一种方法，蔡老师都通过不断地追问引发学生深度思考，比如表格法，教师问：“表格中的√表示什么、斜线表示什么，空格表示什么，为什么要把表格的一半去掉”“表格是5行、5列，场数为什么不是5×5 ÷2”“每个人赛了几场？”“再增加一个人应该增加几场”……每一个问题都直击知识的内核，学生逐渐认识到当人数为n时，场数为：n×（n-1）÷2。本堂课中，有效的操作，数与形的完美结合，教师的准确引导、追问使“代数式、数形结合、从简单问题入手、画图、列表、连线”等数学思想或方法体现得淋漓尽致，学生不仅知其然，更知其所以然。

数学是思维的体操，顺应数学学科规律和学生的思维特点，找准直观模型，数形结合，分层操作，引学生感悟隐藏其间的数学思想方法，方能实现学生思维涵养的提升。

［1]孔凡哲，史宁中.关于几何直观的含义与表现形式——对《义务教育数学课程标准（2011年版）》的一点认识［J].课程·教材·教法，2012（7）.

［2]徐斌.追寻无痕教育［M].长春：吉林音像出版社，2010.

［3]米山国藏.数学的精神、思想和方法［M].成都：四川教育出版社，1986.

G420

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1673-9884（2015）09-0049-02

2015-07-27

张炎伙（1983-），女，福建宁化人，晋江市安海庄头小学一级教师。