课本一系列重大根本错误：将两异图形（数列）误为同一图形（数列）——书中x轴确如朱梧槚等4位数学家所说“是自相矛盾的非集”

黄小宁

（广东 广州510631）

“科学”共识：数学尤其是“非常成熟”的初等数学领域绝不可有颠覆性创新。人类自识自然数5千年来一直认定没最大自然数;自有函数概念几百年来数学一直认定有对应变量y（x）=kx（正常数k≠1）且“可取一切正数”的x≥0的变域与y=kx≥0的变域相等。推翻此中学“常识、定理”的“反科学”的神话般发现分别来自于太浅显的（1）几何常识c：重合相等的图形必全等；（2）集合起码常识d：所谓非空数(点)集A=B是说A的元x与B的元y可一一对应相等即有x↔y=x；显然若无人能证有x↔y=x则A必≠B。

1 集合起码常识推翻百年集论和几百年函数“常识”——有“更无理”正数x的对应x/2是数学以外数

D=[0，1]各元x保序变为2x组成Z≠D是因没人能证Z各元2x与D各元x可一一对应相等。同样各元x≥0均有对应数2x的无穷集A各元x≥0保序变为y=2x组成B各元2x与A各x也不可一一对应相等：显然A各x只可与各2x=x+x∈B中的x一一对应相等而不可与各（x+x）本身一一对应相等；将各（x+x）中加号左边的x都提取出来组成的集就是A，x+x变为x+0.0001x≈x+0，B就≈A——说明A各x变为kx（kffgt;0）组成B，当且仅当k→1时B与A趋于重合相等，这变化趋势说明k=1时才有B与A相等。据常识d（和h定理）“A=B”是几百年直观错觉。同样任一无穷集A各元x保距变为y=x+非0常数c组成B各元x+c与A各x也不可一一对应相等；...。

h定理：可形象化为无穷点集的无穷数集A=B的必要条件之一：A各元x到0的距离|x|=|y|（B各元y到0的距离）即y=±x。

证2（证1见[1]）：集随元的变换而变换。任两无穷集A与B（可=A），B可看成是由A的元的变换而变来的，例A=｛1，2｝中的1变为3，2变为一对数：7和9，A就变换为B=｛3，7，9｝；...。点集B可看成是由点集A的元的变换而变来的，显然若A=B则变换必是保距变换即必有A≌B,因相等的点集（图形）必全等；也就是说A变为B=A不一定是恒等变换，但一定是保距变换。这说明有：A（B）中任两异元x与x+△x（y与y+△y）之间的距离是变量|△x|(|△y|)，显然若A与B是同一集则|△x|与|△y|必是同一变量即|△y|=|△x|，△y=±△x。而变量y=±x和y=±x+非0常数c时才可有△y=±△x，而各x与各对应y=±x+c是不可一一对应相等的。证毕。

L=[0，2]=D∪（1，2]的一部分D=[0，1]各元x保序变为y=2x∈L组成Z～（对等于）D，L各元x≥0到0的距离x-0=x≥0与Z各元2x≥0到0的距离2x≥0不是同一关于x的距离函数，据h定理Z≠L。数学几百年来一直认定Z=L而将两异集误为同一集——使康脱误以为D～L。其实无人能证Z与L的元可一一对应相等就足已说明Z≠L。

L内满足y=2x（x=y/2∈D）的元y的全体组成了Z。包含Z的L≠Z说明Z～D与D一样只是L的真子集——表明L内还有无穷多用而不知的不可纳入Z的“更无理”数x=x0无对应数x0/2∈D，显然若x0/2是正数则其是数学以外的数，详论见[1];其实不必害怕使用这类数，如使用虚数可求出实数一样，使用数学以外的数进行推理同样能得正确的数学内的数。但限于篇幅本文无法详谈。文[1]由h定理证明L有最小正数元x=0′使其对应数x/2等是数学以外的另类正数，正如比普朗克长度短的非0长度是物理学外的长度一样。否认这类“更无理”数使现有数学出现违反真正数学常识的重大自相矛盾。

R⊃V=[0，1]各元x的对应数y=x2的全体组成J，据h定理J≠V（V各元x的绝对值是x本身，J各元y=x2的绝对值是x2。）即定义域是V的y=x2的值域J≠V。同理定义域是V的y=x3、y=x4、...的值域均≠V；自有变域概念几百年来数学一直搞错了y（x）的值域而将两异集误为同一集。用h定理检验知课本上类似这样将两异集误为同一集的错误比比皆是，例R+各元xffgt;0的对应数y=kx（或=x2ffgt;0等等）（正常数k≠1）ffgt;0的全体组成W，据h定理W≠R+。...。真正建立在此重大错误之上的理论必是错上加错的更重大错误，不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。

2 函数常识凸显二千多年初等几何有重大错误

只有追根究底地说到肉眼不可见的“点子”上才能对图形的认识提高到知其所以然的科学程度。有在分子水平上的分子生物学,也应有在“点子”水平上的数学。然而“图形被放大了，但组成图形的点却没增加也没被‘拉扯’大”——这显然不合科学常理。这背后一定隐藏有重大数学奥秘。这反映几何学还不能真正成功地在“点子”水平上来认识与解释图形变化。应有几何科学常识：元点与图形的关系：若各点没移动就没图形的整体移动，若各点没被放大、变形等（点的多少没变）就没图形的整体被放大、变形等。

初等几何一直认定形状与大小相同的图形必可通过平移等而重合使两图的点一一对应重合相等。其实这是肉眼直观错觉。

按“橡皮几何学”观点R2面可看成是橡皮面而可弹性伸缩。两重合相等的点（集）称为二重点（集）。两相等的复平面z=x+yi成二重点集（由一对对二重点（z，z）组成），其中一平面z伸展成平面2z叠压在另一平面z上。显然平面2z≠平面z,正如直线y=x≠直线y=2x一样。理由：①函数常识e：满足某函数关系式的点的全体形成某图形T，T随关系式的改变而改变例关系式y=x变为y=2x，相应的直线y=x也变为y=2x。函数关系f与函数关系f′分别决定的两图形T与T′叠压在一起（肉眼）看起来似二重点集。由T、T′是分别满足f、f′的点t∈T与点t′∈T′的全体组成的图知：若T=T′则f必=f′，若f≠f′则T必≠T′。否则就不合逻辑了,因若T=T′则两图各自的组成成员（点t、t′）与组织结构是完全相同的。因变域为R×R的z与2z不是同一关于z的函数（f（2z）=2z是关于2z的函数）故它们的图形：平面z（满足x、y∈R的点z=x+yi的全体组成的平面）与平面2z，也必非同一平面。缘于它们的组成成员不同：z面由点z组成，而2z面由点2z组成。②二重点集中的z↔z′=z中的z′变为=2z使z↔z′=z变为z↔z′=2z就无人能证点z′=2z与点z能一一对应重合相等了。③伸缩变换是非保距变换，此类变换前后的点集不全等，当然就更不相等。

平面z有圆盘A：|z|≤1以及包含A的圆盘B：|z|≤2。A各点z变为点2z∈平面2z使A伸展成元是点2z的圆盘B′：|2z|=2|z|≤2叠压在B上（读者可作图），数学一直认定B′（～A）=B。其实这是违反函数常识e从而使数学自相矛盾的肉眼直观错觉。理由：①因|z|≤2与|2z|≤2不是同一关于z的函数故据常识e它们的图形：圆盘B与B′也必非同一图形。②无人能证B各点z与B′各点2z能一一对应相等。③B各点z到点z=0的距离是ρ1（z）=|z|≤2,B′各点2z到点2z=z=0的距离是ρ2（z）=|2z|=2|z|≤2;显然若B与B′是同一圆盘则ρ1与ρ2必是同一变量，故由ρ1与ρ2不是同一函数推知B′≠B。

同理可证平面z的子部直线z=x+xi=x（1+i）伸展成直线2z叠压在原直线z上是≠直线z的,直线2z不是平面z的子部。详论见[1]。

文[1]证明产生上述重大错误的最根本原因是二千多年的“点无大小”公理使书中“无穷点集”确是如朱梧槚、肖奚安、杜国平、宫宁生4位数学家所说“是自相矛盾的非集[2]”（“没大小的点可聚集成有大小的图形”显然是自相矛盾概念），其实点有大小，直线也有因元点变长（短）的伸缩变换——这是“化学变化”：改变了组成线的“分子”。将“分子”点不同的线混为一谈就如将棉线误为铜线那样是根本错误。而平面是直线的集合。文[1]证明了圆盘A各点z均膨胀变大为点2z∈平面2z才使A伸展成元是点2z的圆盘B′——B′各点2z均非组成平面z的元点，正如照相馆将相片放大为原来的2倍的原因是将相片的像素点均放大为原来的2倍一样。不明此真相使人们误以为“图形的部分点可与全部点一样多”。但限于篇幅本文无法详谈。

3 人类由认识自然数到发现{1，2，...，n，...}有末项竟须历时5千多年

x轴一切非负元点x≥0组成的射线x≥0记为A。中学生就须研究定义域为A的X=x+1的值域=？去掉A的子部线段[0，1）就得A的子部：射线x≥1，记其为B（元是点x≥1）；A各元点x≥0沿x轴正向平移距离1成为点X=x+1生成元是点X的射线X=x+1≥1，记其为B′。中学数学一直认定B′=B（即认定定义域为A的X=x+1的值域B′=B）。其实这是重大错误。B′叠压在B上（读者可作图）使两者看似成二重点集，B各元点x≥1到点x=0的距离是ρ3（x）=x-0≥1,B′各元点X=x+1≥1到点x=0的距离是ρ4（x）=X=x+1(x≥0)≥1;显然若B′与B是同一射线则ρ3与ρ4必是同一变量，故由ρ3=x≥1与ρ4=X=x+1(x≥0)≥1不是同一函数（画出两函数的二维图像立刻看出两图不是二重点集）推知B′≠B。平面z(可平移成平面z+1)的射线z=x≥0沿x轴正向平移距离1成射线z+1=x+1≥1（叠压在射线z=x≥1上）与射线z=x≥1显然不相等(z+1≥1与z≥1显然不是同一关于z的函数)，中学一直将这两异线误为同一线。

同理可证射线z=x≥0伸缩为射线kz=kx（正常数k≠1）≥0(叠压在射线z=x≥0上)是≠射线z=x≥0的,中学一直将无穷多各异线误为同一线：射线z=x≥0。同理可证x轴可伸缩平移成X=kx+b轴(叠压在x轴上)≠x轴，其中实常数kffgt;0是伸缩因子，b≠0是平移因子；X（x）轴是由无穷多实数轴组成的一族实数轴中的一元轴；“X轴与x轴重合”是中学解析几何的直观错觉，是搞错X=kx+b的值域的以井代天错误。

x轴上的自然数点序列N={0，1，2，...，n，...}各点n≥0均沿x轴正向平移距离1成为点n的后继点y=n+1ffgt;n生成后继点序列H={1，2，...，n+1，...}(n≥0)～N,数学一直认定H=N的子部H′={1，2，...，n≥1,...};其实这是重大错误。H′各点n≥1到点n=0的距离是ρ5（n）=n≥1,H各点n+1(n≥0)到点n=0的距离是ρ6（n）=n+1(n≥0);显然若H′与H是同一点列则ρ5与ρ6必是同一变量;故由ρ5=n≥1与ρ6=n+1(n≥0)不是同一函数（画出两函数的二维图像立刻...）推知H′≠H。因H′各点n≥1都是点n-1∈N的后继点n∈后继点序列H，故H包含H′。包含H′的H≠H′说明H中必至少有一H′外的正整数点y0=n0+1ffgt;n0∈N，显然n0是数列N的最大数Ω——其后继n0+1=Ω+1是H′外即N外数。若数列N由一切自然数组成则Ω+1等是超自然数。

5千年数学一直不知H={1，2，...，n+1，...}(n的变域是N)中“深藏”有数列N外数从而一直误以为其是N的子部H′。所以给H增添新首项0得

与N似是而非。人类由认识自然数到发现此推翻百年自然数公理的假N竟须历时5千多年！发现的异常艰难性由此可见一斑。但其实y=n+1ffgt;n=0,1，2，…（数列N）一目了然地表达y必可ffgt;N的一切n,因式中n可一个不漏地遍取N一切数n使代表后继数的y必可一个不漏地遍比N一切n都大而代表（取）N外数。但为了考试人们不得不扼杀自己的正常思维能力。这是个“光身皇帝”是否光身的问题。语文常识表明“对R+从小到大一个不漏的每一元x（全称量词）都有同属R+的对应数y=x+1ffgt;xffgt;0”是病句：R+至少有一数yffgt;R+一切元x；y=x+1ffgt;xffgt;0表示y必可ffgt;x的变域R+一切元x而取R+外正数。可见书中“对加法封闭”的“R轴”确是如朱梧槚等4位数学家所说“是自相矛盾的非集”。以非集为集的理论必是错上加错的更重大错误。

所以中学几百年“定义域均为N的无穷多函数y（n）=n+k（k=1，2，…）及=kn，…所能取的值y都∈N”是一系列搞错y的变域的重大错误而将无穷多根本不是N的一部分的集误为其一部分。

5千年数学一直不识Ω和其它无穷大自然数Ω-1（相应有无穷数列0，1，2，...，Ω-1）等使初等数学对无穷数列的认识一直存在极重大缺陷与错误：将无穷多各异数列误为同一数列。据h定理等也得上述各结论。详论见[1][3][4][5]。

4 结束语

育人课本一系列重大根本错误能否及时纠正与每一人的切身利益息息相关。有了“测距仪”使人一下子测知有后继点n+1ffgt;n突破了N的“框框”而远在N={n}外。深入到“点”这一层次上来看问题使人一下子洞察到被举世公认二千多年的“圆盘B=B′”其实是直观错觉。真正站在前人肩膀上的人必能见前人所不能见。停留在“肉眼”阶段的数学认识就不能消除上述违反常识c、d、e的重大自相矛盾。学习前人知识是为了见前人所不能见以创造前所未有的知识（杰出人才的特征），而非为了简单重复前人认识和应付考试。应试教育摧残人的智力与学力。有过人科学洞察力的钱学森与众不同地清醒认为应试教育和有关科研方面的思想路线（例“外国科学家都未能有此发现，中国人就更不能有此发现。”）、方针政策上的问题使中国总“冒”不出杰出人才，钱老对此十分焦虑，热切希望能尽早改变此现状。

［1］黄小宁.著名数学家朱梧槚的发现揭示课本有一系列重大错误——发现最小、大正数推翻百年集论破解2500年芝诺著名世界难题[J].科技视界,2014(10).

［2］朱梧槚,肖奚安,杜国平,宫宁生.关于无穷集合概念的不相容性问题的研究[J].南京邮电大学学报：自然版,2006(6).

［3］黄小宁.数学课本一系列重大错误使康脱误入百年歧途——让“深藏”5千年的最大自然数一下子暴露出来[J].科技视界,2013(31).

［4］黄小宁.证明数偶集{(1,2)(3,4)...(2n-1,2n)...}有最大数元——反复论证集有奇、偶型之分纠正课本重大错误[J].科技视界,2014(24).

［5］黄小宁.中学极重大根本错误：无穷数列必无末项——“一对一”常识推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J].科技信息,2011(1).