数学教学中如何对待学生学习中的错误

李奇

数学学科是一门逻辑性、推理性很强，概念十分抽象的学科，学生在学习过程中，随着学习内容的不断增多，不仅给学生的心理带来一定压力，而且使学生在学习中存在一定的“认知错误”等现象.因此，学习错误是学生在学习过程中出现的正常而普遍的现象.但令人遗憾的是我们不少教师对学生学习中的错误的处理十分草率、置之不理、想方设法遮掩、叫别的学生重新作答、直接告之答案、埋怨批评学生等等，这样既错失了教学良机，又挫伤了学生学习数学的积极性.那么在高中数学教学中我们应该如何对待学生学习中的错误呢？笔者认为可以从以下几方面探讨.

一、树立正确的错误观，营造一个轻松民主的学习氛围

当前课堂教学中，有些教师认为学生在学习中出现学习错误是自己教学的败笔，往往加以躲避，不允许学生犯错，其实这是一种舍本逐末的教学行为.心理学家盖耶说得好：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻. ”所以出错是学生学习过程中必然经历的一个阶段，是学生的权利.当学生在数学学习中出现错误时，教师应该宽容地对待，要本着以人为本的教育观，尊重、理解、正确对待出错的学生，尽可能地去发现学生出错的合理性，营造出一个宽松民主的课堂气氛.在民主的气氛中学习，学生思维活跃，敢说、敢做、敢问，勇于大胆创新，以健康向上的情感态度投入学习，体会到学习的乐趣.

二、巧妙、合理地将学习中的错误资源作为一种有效的教学资源

教材是实现课程目标，实施教学的重要资源，但不是唯一的资源，而更多的教学资源则是在课堂教学中产生的.其中，课堂教学中的学习错误，就是一种不可忽视的隐性课程资源.叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源.”教师应该用资源的眼光来看待学生学习中的错误，将错误作为一种有效的教学资源，正确地、巧妙地加以利用.

1.尝试错误

让错误成为学生学习新知的切入点，激发学生的学习兴趣.学习错误是一种来源于学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料，它是一种发生在学生身边、学生自己创造出来的宝贵的教学资源，教学时又回到学生的学习活动中，可激发学生的探究兴趣，唤起学生的求知欲.例如，求y=12sin（π3-12x）的单调增区间.错解为将“π3-12x”直接代入y=sinx的单调增区间，从而导致错误.而y=12sin（12x-π2）却可以直接代入y=sinx的单调增区间，答案正确.这是为什么呢？错误引发了学生们对以上问题思考，极大地调动了学生的探讨热情.

2.剖析错误

引发学生认知冲突，培养学生的自主探究的能力.错误是引发认知冲突的重要资源，认知冲突的产生，使学生达到“愤悱”的心理状态，迫使学生产生解决这一冲突的需要，从而激发学生的求知欲和探索心向.因此，认知冲突是教学和学习的最佳契机.如在教学解答“把一块木条锯成5段，每锯一段用4分钟，求多少分钟可以锯完”这道应用题时，同学们一致认为用“4×5=20（分）”来计算，于是我让学生说说你是怎么想的.有些学生还振振有词地说：“因为每段要4分钟，5段就是5个4就是20分钟啊，没错！老师你改错了！”我不给予否定或肯定的回答，而是笑着说：“真是这样吗？”我启发学生独立思考，让他们可以动手操作，进行探究，寻找答案.结果有的拿木条折，有的用粉笔折，有的画图分析，通过各种形式探究活动，学生知道“把一块木条锯成5段，实际上只需要锯4次，所花时间是4个4分钟”.由此可见，充分挖掘错误中的潜在的智力因素，创设探究情境，引导学生用不同方法审视问题，能在纠正错误的同时，深化对知识的理解和掌握，培养学生的自主探究意识.试问如果当时老师直接公布答案，其效果肯定大打折扣.

三、将学习错误化解教学中的疑难点

课堂上学生的质疑问难，不可等闲视之.这是学生从自身经历出发，在解决问题、建构新知中必然会产生的矛盾落差.教师要做的，不是简单地、“跳跃式”地绕过这块“绊脚石”，而是要将错就错，引导学生针对这一错误，巧妙地化解疑难.在三角函数中，有部分学生把sin（x +y）=sinxcosy+cosxsiny误认为是sin（x +y）=sin x +siny.在这种情况下，教师不要直接指出学生的错误，而是让有疑问的同学自己验证一下，给x，y取两个特殊角代入上面两个式子.显然学生很容易判断出哪个式子正确，哪个式子错误.明白了这一点，也就化解了这块知识的疑难点.

四、利用错误，提高学生的反思能力

建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提.利用学生错误资源，引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决，又培养了学生的反思能力.总之，合理去对待学生在学习中出现的错误，并巧妙地利用好错误这一教学资源，为学生的全面发展服务.有一句话说得好：“没有遗憾，那不是生活.”我想说：“如果没有错误，那就不是数学课堂！”

我在上课的时候常抓住学生纠错时的闪光点，肯定学生在解题中的创新精神，肯定他们的求异思维，让他们找回自信，体会到学习数学的乐趣.课堂教学上让学生主动参与找错、辨错、改错，既能巩固知识又能拓展思维方法，这样的教学既没有对学生一棍子打死，也没有挫伤学生学习的积极性，又能激发学生的斗志，而且学生在获得数学理解的同时，思维能力、口头表达能力、情感态度等多方面都得到了很好地训练，真真切切地体会到了“做”数学的乐趣.

总之，错误的价值有时并不在于错误本身，而在于师生从中获得新的启迪，学生的“出错”是机遇，是挑战，更是教育智慧的折射.教师不仅应该知道学生过去的差错，而且应当医治学生现在的差错、预防学生未来的差错，巧妙、有效地利用“错误”这一教育资源，激励学生扬起奋飞的翅膀，展翅翱翔在知识的海洋中.endprint

数学学科是一门逻辑性、推理性很强，概念十分抽象的学科，学生在学习过程中，随着学习内容的不断增多，不仅给学生的心理带来一定压力，而且使学生在学习中存在一定的“认知错误”等现象.因此，学习错误是学生在学习过程中出现的正常而普遍的现象.但令人遗憾的是我们不少教师对学生学习中的错误的处理十分草率、置之不理、想方设法遮掩、叫别的学生重新作答、直接告之答案、埋怨批评学生等等，这样既错失了教学良机，又挫伤了学生学习数学的积极性.那么在高中数学教学中我们应该如何对待学生学习中的错误呢？笔者认为可以从以下几方面探讨.

一、树立正确的错误观，营造一个轻松民主的学习氛围

当前课堂教学中，有些教师认为学生在学习中出现学习错误是自己教学的败笔，往往加以躲避，不允许学生犯错，其实这是一种舍本逐末的教学行为.心理学家盖耶说得好：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻. ”所以出错是学生学习过程中必然经历的一个阶段，是学生的权利.当学生在数学学习中出现错误时，教师应该宽容地对待，要本着以人为本的教育观，尊重、理解、正确对待出错的学生，尽可能地去发现学生出错的合理性，营造出一个宽松民主的课堂气氛.在民主的气氛中学习，学生思维活跃，敢说、敢做、敢问，勇于大胆创新，以健康向上的情感态度投入学习，体会到学习的乐趣.

二、巧妙、合理地将学习中的错误资源作为一种有效的教学资源

教材是实现课程目标，实施教学的重要资源，但不是唯一的资源，而更多的教学资源则是在课堂教学中产生的.其中，课堂教学中的学习错误，就是一种不可忽视的隐性课程资源.叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源.”教师应该用资源的眼光来看待学生学习中的错误，将错误作为一种有效的教学资源，正确地、巧妙地加以利用.

1.尝试错误

让错误成为学生学习新知的切入点，激发学生的学习兴趣.学习错误是一种来源于学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料，它是一种发生在学生身边、学生自己创造出来的宝贵的教学资源，教学时又回到学生的学习活动中，可激发学生的探究兴趣，唤起学生的求知欲.例如，求y=12sin（π3-12x）的单调增区间.错解为将“π3-12x”直接代入y=sinx的单调增区间，从而导致错误.而y=12sin（12x-π2）却可以直接代入y=sinx的单调增区间，答案正确.这是为什么呢？错误引发了学生们对以上问题思考，极大地调动了学生的探讨热情.

2.剖析错误

引发学生认知冲突，培养学生的自主探究的能力.错误是引发认知冲突的重要资源，认知冲突的产生，使学生达到“愤悱”的心理状态，迫使学生产生解决这一冲突的需要，从而激发学生的求知欲和探索心向.因此，认知冲突是教学和学习的最佳契机.如在教学解答“把一块木条锯成5段，每锯一段用4分钟，求多少分钟可以锯完”这道应用题时，同学们一致认为用“4×5=20（分）”来计算，于是我让学生说说你是怎么想的.有些学生还振振有词地说：“因为每段要4分钟，5段就是5个4就是20分钟啊，没错！老师你改错了！”我不给予否定或肯定的回答，而是笑着说：“真是这样吗？”我启发学生独立思考，让他们可以动手操作，进行探究，寻找答案.结果有的拿木条折，有的用粉笔折，有的画图分析，通过各种形式探究活动，学生知道“把一块木条锯成5段，实际上只需要锯4次，所花时间是4个4分钟”.由此可见，充分挖掘错误中的潜在的智力因素，创设探究情境，引导学生用不同方法审视问题，能在纠正错误的同时，深化对知识的理解和掌握，培养学生的自主探究意识.试问如果当时老师直接公布答案，其效果肯定大打折扣.

三、将学习错误化解教学中的疑难点

课堂上学生的质疑问难，不可等闲视之.这是学生从自身经历出发，在解决问题、建构新知中必然会产生的矛盾落差.教师要做的，不是简单地、“跳跃式”地绕过这块“绊脚石”，而是要将错就错，引导学生针对这一错误，巧妙地化解疑难.在三角函数中，有部分学生把sin（x +y）=sinxcosy+cosxsiny误认为是sin（x +y）=sin x +siny.在这种情况下，教师不要直接指出学生的错误，而是让有疑问的同学自己验证一下，给x，y取两个特殊角代入上面两个式子.显然学生很容易判断出哪个式子正确，哪个式子错误.明白了这一点，也就化解了这块知识的疑难点.

四、利用错误，提高学生的反思能力

建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提.利用学生错误资源，引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决，又培养了学生的反思能力.总之，合理去对待学生在学习中出现的错误，并巧妙地利用好错误这一教学资源，为学生的全面发展服务.有一句话说得好：“没有遗憾，那不是生活.”我想说：“如果没有错误，那就不是数学课堂！”

我在上课的时候常抓住学生纠错时的闪光点，肯定学生在解题中的创新精神，肯定他们的求异思维，让他们找回自信，体会到学习数学的乐趣.课堂教学上让学生主动参与找错、辨错、改错，既能巩固知识又能拓展思维方法，这样的教学既没有对学生一棍子打死，也没有挫伤学生学习的积极性，又能激发学生的斗志，而且学生在获得数学理解的同时，思维能力、口头表达能力、情感态度等多方面都得到了很好地训练，真真切切地体会到了“做”数学的乐趣.

总之，错误的价值有时并不在于错误本身，而在于师生从中获得新的启迪，学生的“出错”是机遇，是挑战，更是教育智慧的折射.教师不仅应该知道学生过去的差错，而且应当医治学生现在的差错、预防学生未来的差错，巧妙、有效地利用“错误”这一教育资源，激励学生扬起奋飞的翅膀，展翅翱翔在知识的海洋中.endprint

数学学科是一门逻辑性、推理性很强，概念十分抽象的学科，学生在学习过程中，随着学习内容的不断增多，不仅给学生的心理带来一定压力，而且使学生在学习中存在一定的“认知错误”等现象.因此，学习错误是学生在学习过程中出现的正常而普遍的现象.但令人遗憾的是我们不少教师对学生学习中的错误的处理十分草率、置之不理、想方设法遮掩、叫别的学生重新作答、直接告之答案、埋怨批评学生等等，这样既错失了教学良机，又挫伤了学生学习数学的积极性.那么在高中数学教学中我们应该如何对待学生学习中的错误呢？笔者认为可以从以下几方面探讨.

一、树立正确的错误观，营造一个轻松民主的学习氛围

当前课堂教学中，有些教师认为学生在学习中出现学习错误是自己教学的败笔，往往加以躲避，不允许学生犯错，其实这是一种舍本逐末的教学行为.心理学家盖耶说得好：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富有成效的学习时刻. ”所以出错是学生学习过程中必然经历的一个阶段，是学生的权利.当学生在数学学习中出现错误时，教师应该宽容地对待，要本着以人为本的教育观，尊重、理解、正确对待出错的学生，尽可能地去发现学生出错的合理性，营造出一个宽松民主的课堂气氛.在民主的气氛中学习，学生思维活跃，敢说、敢做、敢问，勇于大胆创新，以健康向上的情感态度投入学习，体会到学习的乐趣.

二、巧妙、合理地将学习中的错误资源作为一种有效的教学资源

教材是实现课程目标，实施教学的重要资源，但不是唯一的资源，而更多的教学资源则是在课堂教学中产生的.其中，课堂教学中的学习错误，就是一种不可忽视的隐性课程资源.叶澜教授在《重建课堂教学过程》一文中提到：“学生在课堂活动中的状态，包括他们的学习兴趣、注意力、合作能力、发表的意见和观点、提出的问题与争论乃至错误的回答等，都是教学过程中的生成性资源.”教师应该用资源的眼光来看待学生学习中的错误，将错误作为一种有效的教学资源，正确地、巧妙地加以利用.

1.尝试错误

让错误成为学生学习新知的切入点，激发学生的学习兴趣.学习错误是一种来源于学习活动本身，具有特殊教育作用的学习材料，它是一种发生在学生身边、学生自己创造出来的宝贵的教学资源，教学时又回到学生的学习活动中，可激发学生的探究兴趣，唤起学生的求知欲.例如，求y=12sin（π3-12x）的单调增区间.错解为将“π3-12x”直接代入y=sinx的单调增区间，从而导致错误.而y=12sin（12x-π2）却可以直接代入y=sinx的单调增区间，答案正确.这是为什么呢？错误引发了学生们对以上问题思考，极大地调动了学生的探讨热情.

2.剖析错误

引发学生认知冲突，培养学生的自主探究的能力.错误是引发认知冲突的重要资源，认知冲突的产生，使学生达到“愤悱”的心理状态，迫使学生产生解决这一冲突的需要，从而激发学生的求知欲和探索心向.因此，认知冲突是教学和学习的最佳契机.如在教学解答“把一块木条锯成5段，每锯一段用4分钟，求多少分钟可以锯完”这道应用题时，同学们一致认为用“4×5=20（分）”来计算，于是我让学生说说你是怎么想的.有些学生还振振有词地说：“因为每段要4分钟，5段就是5个4就是20分钟啊，没错！老师你改错了！”我不给予否定或肯定的回答，而是笑着说：“真是这样吗？”我启发学生独立思考，让他们可以动手操作，进行探究，寻找答案.结果有的拿木条折，有的用粉笔折，有的画图分析，通过各种形式探究活动，学生知道“把一块木条锯成5段，实际上只需要锯4次，所花时间是4个4分钟”.由此可见，充分挖掘错误中的潜在的智力因素，创设探究情境，引导学生用不同方法审视问题，能在纠正错误的同时，深化对知识的理解和掌握，培养学生的自主探究意识.试问如果当时老师直接公布答案，其效果肯定大打折扣.

三、将学习错误化解教学中的疑难点

课堂上学生的质疑问难，不可等闲视之.这是学生从自身经历出发，在解决问题、建构新知中必然会产生的矛盾落差.教师要做的，不是简单地、“跳跃式”地绕过这块“绊脚石”，而是要将错就错，引导学生针对这一错误，巧妙地化解疑难.在三角函数中，有部分学生把sin（x +y）=sinxcosy+cosxsiny误认为是sin（x +y）=sin x +siny.在这种情况下，教师不要直接指出学生的错误，而是让有疑问的同学自己验证一下，给x，y取两个特殊角代入上面两个式子.显然学生很容易判断出哪个式子正确，哪个式子错误.明白了这一点，也就化解了这块知识的疑难点.

四、利用错误，提高学生的反思能力

建构主义学习观认为，学生的错误不可能单独依靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，而“自我否定”又以自我反省，特别是内在的“观念冲突”作为必要的前提.利用学生错误资源，引发这种“观念冲突”，能促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，这既有利于问题的解决，又培养了学生的反思能力.总之，合理去对待学生在学习中出现的错误，并巧妙地利用好错误这一教学资源，为学生的全面发展服务.有一句话说得好：“没有遗憾，那不是生活.”我想说：“如果没有错误，那就不是数学课堂！”

我在上课的时候常抓住学生纠错时的闪光点，肯定学生在解题中的创新精神，肯定他们的求异思维，让他们找回自信，体会到学习数学的乐趣.课堂教学上让学生主动参与找错、辨错、改错，既能巩固知识又能拓展思维方法，这样的教学既没有对学生一棍子打死，也没有挫伤学生学习的积极性，又能激发学生的斗志，而且学生在获得数学理解的同时，思维能力、口头表达能力、情感态度等多方面都得到了很好地训练，真真切切地体会到了“做”数学的乐趣.

总之，错误的价值有时并不在于错误本身，而在于师生从中获得新的启迪，学生的“出错”是机遇，是挑战，更是教育智慧的折射.教师不仅应该知道学生过去的差错，而且应当医治学生现在的差错、预防学生未来的差错，巧妙、有效地利用“错误”这一教育资源，激励学生扬起奋飞的翅膀，展翅翱翔在知识的海洋中.endprint