用一元一次方程解决问题

吴强

（苏科版七年级下册108页问题4）运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的5/3倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，请求出小红与爷爷的速度.

这是一个环形跑道上的追及问题，今天我们就从这个问题出发研究一下行程问题中的追及问题.

拓展一 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，如果小红追上爷爷后立即转身沿相反方向跑，那么几分钟后小红与爷爷再次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

小红跑的路程+爷爷跑的路程=400 m.

解：设x分钟后，小红和爷爷再次相遇.

由教材解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.

根据题意，得120x+200x=400.

解这个方程，得x=1.25.

答：1.25分钟后，小红和爷爷再次相遇.

【点评】 该问题是相遇问题，蕴涵的主要相等关系是：小红和爷爷所跑的路程和等于环形跑道的周长.

拓展二 运动场环形跑道长400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发，5 min后小红第一次追上爷爷，假设爷爷与小红第一次相遇后继续跑，则第______分钟第二次相遇，第______分钟第三次相遇，假想一下，若他们一直这样循环下去，第______分钟后第n次相遇.

【分析】 由题意可知道，小红和爷爷第一次相遇时，小红比爷爷多跑了400 m，第二次相遇时，小红比爷爷多跑了800 m，那么依次类推，第n次相遇时，小红比爷爷多跑了400n m.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

爷爷跑的路程+400n m=小红跑的路程.

解：设第x分钟后第n次相遇.

由教材中解题过程可知道，爷爷的速度是120 m/min，小红的速度是200 m/min.

根据题意，得120x+400n=200x.

解这个方程，得x=5n.

答案：第10分钟爷爷和小红第二次相遇，第15分钟爷爷和小红第三次相遇，第5n分钟爷爷和小红第n次相遇.

【点评】 这几个问题都是追及问题，每增加一次相遇，小红跑的路程都相应地增加一圈.

变式一 甲、乙两人在400 m的环形跑道上练习跑步，甲每秒跑5.5 m，乙每秒跑4.5 m.

（1） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑10 m，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙跑的路程+10 m=甲跑的路程.

解：设甲出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+10=5.5x.

解这个方程，得x=10.

答：甲出发10秒后两人首次相遇.

（2） 甲与乙同地、同向出发，乙先跑4 s，甲出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙前4秒跑的路程+乙4秒后跑的路程=甲跑的路程.

解：设甲出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+4.5×4=5.5x.

解这个方程，得x=18.

答：甲出发18秒后两人首次相遇.

（3） 甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，乙出发后需要多长时间两人首次相遇？

【分析】 由教材中108页问题4解题过程可知道，他们从同一起点沿跑道的同一方向同时出发时，如果他们第一次相遇，小红比爷爷多跑一圈. 本题中，甲与乙同地、同向出发，甲先跑100 m，如果他们第一次相遇，可以看作甲比乙多跑300 m.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

乙跑的路程+300 m=甲跑的路程.

解：设乙出发x秒后两人首次相遇.

根据题意，得4.5x+300=5.5x.

解这个方程，得x=300.

答：乙出发300秒后两人首次相遇.

变式二 甲、乙两人在同一条路上前进，甲每小时行3 km，乙每小时行5 km，甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地，问乙下午几点能追上甲？

【分析】 “甲在中午12点时经过A地，乙在下午2点经过A地”说明当乙到A地时，甲在乙前面3×2=6（km）处.

可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

甲在12点到下午2点走的路程+甲在下午2点后走的路程=乙在下午2点后走的路程.

解：设乙出发x小时后，乙追上甲.

根据题意，得3x+3×2=5x.

解这个方程，得x=3.

2+3=5.

答：乙下午5点能追上甲.

【变式训练1】 汽车以每小时72 km的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷. 驾驶员按一声喇叭，4秒后听到喇叭声，此时汽车距离山谷多少米？（声音的速度是340 m/s）

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

汽车4秒走的路程+汽车4秒后离山谷的距离=声音走的路程-汽车4秒后离山谷的距离.

解：设4秒后汽车距离山谷x米.

每小时72 km=每秒20米.

根据题意，得x+20×4=340×4-x.

解这个方程，得x=640.

答：此时汽车距离山谷640米.

【变式训练2】 甲、乙两人同时以每小时4 km的速度从A地出发到B地办事，走了2.5 km时，甲要回去取一份文件，他以每小时6 km的速度往回走，取了文件后以同样的速度追赶乙，结果他们同时到达B地，已知甲取文件时在办公室耽误了15 min，求A、B两地的距离.

【分析】 可以画出线形示意图：

根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：

甲往回走后乙走的路程+2.5 km=甲往回走到追上乙的路程-2.5 km.

本题如果直接设A、B两地的距离相对较难处理，我们可以采用间接法设未知数.

解：设甲从往回走到追上乙共用了x小时.

15 min=0.25 h.

根据题意，得

2.5+4x=6（x-0.25）-2.5.

解这个方程，得x=3.25.

2.5+4x=15.5.

答：A、B两地的距离是15.5 km.

把实际问题转化为方程，有助于帮助学生感受方程是刻画现实世界的有效的数学模型. 方程的出现源于实际问题，追及问题是实际问题中的一个很重要的部分，用一元一次方程可以很有效地解决追及问题.

（作者单位：江苏省常州外国语学校）