例谈高职数学知识在解决经济问题中的应用

焦潍苹

摘 要：高职数学知识在经济问题的解决中应用已十分广泛，培养学生掌握应用所学数学知识解决实际问题是高职数学教育的根本任务，对高职经管专业学生数学教育的根本任务是培养学生将所学的数学知识运用到相关经济专业课学习中去的能力.现结合高职院校经济管理类的专业特点举例讨论高等数学知识在解决经济问题中的应用。

关键词：经济问题 极限 导数 积分

中图分类号：O1-4 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）10（a）-0154-02

现代数学已不再是一门孤立的学科，它已越来越多地应用到现实世界的科学技术、经济生活、文化艺术等各个领域，其中它在经济生活中的应用更是越来越广泛。数学在经济学中的应用可追溯到17世纪90年代，在1690年出版的英国古典政治经济学创始人—— 威廉·配第的经济学论文《政治算术》中首先应用数学方法解决社会经济问题[1-2]，到19世纪变量和函数的概念被引入到经济学中，再到20世纪大批运用数学方法研究经济问题的论著问世，数学已与经济研究密切联系在一起了[1]。而在当今，运用数学方法来研究经济问题已是无处不在，数学已成为研究经济问题的一个重要工具，高职数学教育的根本任务是培养学生的掌握应用数学工具解决实际问题的能力。下面应用微积分知识解决几个具体的实际经济问题，探讨应用数学知识解决经济问题的方法。

1 极限在复利与连续复利问题中的应用

极限是高等数学的基础性概念，极限思想是贯穿高等数学始终的，它在经济问题中最直接的应用就是复利与连续复利问题。假设现有本金p元，存款n年，年利率为r，若每年到期后本金与利息作为本金自动转存，则n年到期时的本利和。若把一年平均分为期计息，每期利率可认为，则n年到期时的本利和为 ，m=nt[2]。

假设计息期无限缩短，即令期权，由此可以得到连续复利的复利公式

[2]。

应用上述公式可很容易解决复利与连续复利问题，下面以一个具体实例来探讨。

例1：王先生用分期付款的方式购买一套价值为100万的商品房，首付为30万，从银行贷款70万，他想20年还完贷款，贷款的年利率为6%，计算王先生20年末还款的本利和。（1）按离散情况计算，每年计息一期；（2）按连续复利计算。

解：本例可以上述分析的公式来计算，本例中

（1）按离散情况计算，

（万元）

（2）按连续复利计算，

（万元）。

由本例可看出，应用连续复利公式可以很容易解决实际生活中的利息计算问题，由本例也可得出，连续复利计息时的本利和要比离散计息的本利和高。

2 导数在经济分析中的应用

导数在经济问题中最广泛的应用是边际分析和弹性分析，下面举例说明这两方面的应用。

2.1 边际分析

在经济学中，经济函数的边际函数定义为该函数的一阶导函数，这样边际成本是总成本函数C（x）的导函数，即MC=（x）[2]，因此际收入是收入函数的导函数R（x），即MR=R（x），边际利润是利润函数L（x）的导函数，即ML=L（x）。下面通过两个例子来说明导数在边际分析中的应用。

例2、某企业生产一种产品，每天的总利润L（x）与产量X（斤）之间的函数关系为L（）x，=-0.01x2+20x-1000，求x=500，1000，1500时的边际利润，并给以适当的经济解释。

解：边际利润函数为ML=L（x）=20- 0.02x。

当x=500斤时，L（500）=10（元）。它表示在每天产量为500斤的基础上，再多生产1斤，总利润将增加10元。

当x=1000斤时，L（1000）=0（元）。它表示每天生产1000斤的基础上，再多生产1斤，总利润没有变化，即这一斤没有产生利润。

当x=1500斤时，L（1500）=-10（元）。它表示在每天生产1500斤的基础上，再多生产1斤，利润会减少10元。这时虽然产量增加了，但利润反而减少了，这说明并非产量越大，利润越高。

例3：若某厂每天生产的产品固定成本为1000元，生产x个单位产品的可变成本为0.01x2+10x，如果每单位产品的售价为30元，设每天生产的产品能全部售出，问每天生产多少单位时，才能获得最大利润。

解：设每天的产量为X单位，因为固定成本C0=1000，可变成本V（x）=0.01x2+10x，所以总成本函数C（x）=C0+V（x）=1000+0.01x2+10x；因为每天生产的产品能全部售出，所以总收益函数R（x）=30x。

因此总利润函数L（x）=R（x）-C（x）=20x-0.01x2-1000；

则L′（x）=20-0.02x=0，得x=1000，又L″（x）=-0.01<0；

所以当每天产量为1000单位时，利润最大，最大利润为9000元。

由本例看出，当L′（x）=0时，R（x）=C′（x），即=MC=MR，此时利润最大。这说明厂商为获得最大利润，应将产量调整到边际收益等于边际成本的水平。这也是微观经济学中的一个重要结论。

由以上两例可以看出应用导数可以方便地解决经济中的一些复杂问题，并且也能剖析经济学中的实质。

2.2 彈性分析

在市场经济中，经常要分析一个经济量对另一个经济量变化反应的灵敏程度，这时单靠导数来进行分析是不行的，因而需要引入新的数学工具。在数学中，我们称为函数的相对变化率或弹性，能反映函数f（x）对自变量x变化反应的强烈程度或敏感度[2]。下面应用弹性这个工具来分析商品的需求量对市场价格反应的灵敏程度。一般称某商品的市场需求量Q与该商品的价格p所构成的函数Q（P）为需求函数，如果需求函数Q（p）可导，则该函数的弹性为，常称为需求弹性，记为，即，需求弹性表示某商品的需求量Q对价格p变化的反应程度：当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将减少（或增加）[2]。下面以一个例子来说明导数在弹性分析中的应用。

例4：设某商品的需求函数为Q=1000-50p（Q是需求量，p是价格），求p=5，10，15时的需求弹性，并给以适当的经济解释。

解：需求弹性

。

（1）当p=5时，，此时价格上涨（或下跌）1%，其需求量将减少（或增加） 0.33%，这时需求量的变化小于价格的变化，称为是低弹性的情况。

（2）当p=10时，，此时价格上涨（或下跌）1%，其需求量将减少（或增加）1%，这时需求量的变化与价格的变化相当，称为是单位弹性的情况。

（3）当p=15时，，此时价格上涨（或下跌）1%，其需求量将减少（或增加）3%，这时需求量的变化大于价格的变化，称为是高弹性的情况。

由此可看出，应用需求函数的弹性来分析价格对需求量的影响是很方便的。

3 积分在投资问题中的应用

积分在经济中的一个重要应用是计算投资问题中收入现值与投资回收期。在投资问题中，假若现有资金a万元，投入t年，按年利率r作连续复利计算，则t年后的本息共为aert万元；反之，假若t年后的本息和为a万元，则现应有资金为ae-rt万元，这称之为资本现值[2]。

3.1 总收入现值的计算

设在时间段0到T年内的收入率f（t）（单位时间内的收入）是均匀的，即f（t）=A（A为常数），年利率r也是常数，按连续复利计算，则在[0，T]内的资本现值为

[2]。

3.2 纯收入（贴）现值的计算

投资T年后获总收入现值为，所以投资获得的纯收入（贴）现值为

[2]。

3.3 投資回收期的计算

投资回收期是指用投资项目所得的净收益偿还原始投资所需要的年限，即总收入现值等投资，即有，解之得：[2]。

例4：若某企业投资为500万元，年利率r=10%，预计在10年内的均匀收入率为120万元/年，试求：（1）该投资的纯收入（贴）现值；（2）收回该笔投资的年限是多少。

解：（1）由2知该投资中a=500，A=120，r=10%=0.1，T=10，所以纯收入（贴）现值为

（万元）

（2）由3知投资回收期

（年）。

应用积分得出的结论可以很容易解决投资中的收入现值及投资回收期的计算问题。

4 结论

由上述分析可得出，高职院校学生所学的数学知识在经济问题中的应用是很广泛的，数学知识为解决某些经济问题提供了新的方法，它可从数学的角度去分析解决经济问题，有时还能剖析某些问题的实质。

在高职经济类专业的数学课教学中应注重与专业课的衔接，让学生体会应用数学知识及方法解决经济问题的方便之处，让学生学以致用。

参考文献

[1] 陈坚.浅谈微积分在经济学中的应用[J].科技风，2009（7）：102-103.

[2] 李宏家.激流中的智慧—— 论威廉·配第[D].长春：东北师范大学，2006.

[3] 窦连江，林漪.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2011.