应用数学手段，解决物理问题

张东

物理是一门精确的科学，与数学有密切的关系。物理是一门基础科学，是整个自然科学技术和现代技术发展的基础，在现代生活、社会生产、科学技术中有广泛的应用。但在应用物理知识解决实际问题时，一般或多或少都运用数学运算进行推理，而且处理的问题越高深，所要应用的数学知识越多。所以能熟练地运用数学处理物理问题，是学好物理的必要条件。近年来高考对考查学生应用数学处理物理问题的能力要求十分明确，即要求学生能根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析和处理问题。应用数学处理物理问题，有时是数字运算，有时是符号运算，即既要重视定量运算，又要重视定性和半定量的分析和推理。笔者从以下方面对这个问题进行分析。

1.向量在物理学中的应用

向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征又有几何特征。通过向量可以解决许多物理问题。

（1）向量的大小：用向量的大小比较判断绳子的受力情况。

例：如图所示，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A、B处，同质量的细绳OC下端系着一个称盘，且使得OB垂直OC，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，判断哪根绳受力最大。

由上图可以看出直角三角形OAC中，OA的长度最大，即向量OA的大小最大。

（2）向量的加法运算。

例：一物体从0点运动到A点，然后又从A点运动到B点，则整个过程的位移是多少？

解：根据向量加法的定义得出的求向量和的方法计算，总位移OB=OA+AB（矢量表示）。

根据位移的定义，位移是由初位置O到末位置B的一个有向线段表示，则OB（矢量表示）为整个过程的位移。

同样，在速度、加速度、力等矢量的合成中，无不用到了矢量的加法运算。

例：一木箱在拉力F的作用下，发生了位移S，拉力与位移的夹角为θ，那么该力对此物体所做的功为多少？

解：根据功的定义，力对物体所做的功W，就是拉力F与在其作用下物体产生的位移S的数量积F·S

3.利用正余弦函数表示物理规律

物理中运用到正余弦函数的地方很多，比如，质点做简谐运动时的位移随时间变化的关系，机械波的波动方程，交变电流的电压随时间变化的关系，做匀速圆周运动的质点的投影规律。笔者以简谐运动为例，对其进行分析。

例：如图所示为一单摆和它的振动图像，O为平衡位置B、C为最大位移处，规定向右为正方向，试回答：

（1）振幅和周期各为多大？

（2）单摆在振动过程中通过哪个位置时，作为起始时刻（即t=0）？

（3）当t=0.75秒时，单摆通过哪个位置？运动的方向向哪里？

（4）在t=0.5秒～0.75秒的时间内，单摆的位移、速度、加速度、动能、势能、机械能的大小分别怎样变化？

4.利用立体几何的空间观解决物理问题

良好的空间观是解决物理问题的基本素质，学好立体几何，树立良好的空间观，会画出各个物理模型的截面分析图，对学好物理有很大的帮助。

例：如图，MN、PQ是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的M、P端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，从静止释放开始沿导轨下滑，求ab棒的最大速度。（已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒电阻不计）

解：对ab棒进行受力分析，画出侧面的受力分析图，

5.数列在物理中的应用

一固定的斜面，倾角为θ=45°，斜面长L=2米。在斜面下端有一与斜面垂直的挡板，一质量为m的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零。质点下滑到斜面最底端与挡板发生弹性碰撞，已知质点与斜面间的滑动摩擦系数μ=0.20，试求此质点从开始运动到发生第11次碰撞的过程中运动的总路程。

在倡导素质教育的今天，学科之间的综合非常重要。高考有理科综合和文科综合，初中还未实行综合考试。为此，在近几年的中考数学试题中，已开始出现数学与物理综合的考题，学科结合型试题是今后中考命题的一个趋势，值得引起大家的注意。数学是物理的基本工具之一，没有数学就不可能得到更深入的物理，就好像没有微积分就没有牛顿力学的繁荣，没有黎曼几何和张量代数就没有爱因斯坦的相对论一样。物理是数学得以向前发展的动力之一，物理总是在给数学提出一个又一个论题，就如数学中的小波分析就是为了实践的需要而产生的一样。应用数学方法有时是解决物理问题的一大捷径。