关于矩阵等价标准形的解题研究

戴娟 邱雁

摘 要： 矩阵的等价标准形是矩阵理论中最基本的一个概念，利用这一概念能够帮助我们解决许多问题，例如：证明秩的不等式，线性方程组的求解，以及矩阵方程的讨论，等等.矩陣的等价标准形解决问题的核心思想是删繁就简，通过合适的方式使问题得到简化.掌握好数学中的这种“转化”思想对我们学好代数课，解决代数问题很有帮助.本文就是以讨论矩阵的等价标准形为主，通过具体实例讨论等价标准形的应用，在讨论中充分利用转化思想简化问题，最终解决问题.

关键词： 矩阵 等价标准形 线性方程组

一、矩阵的等价标准形

下面先介绍矩阵标准形的概念和求法.

矩阵A作初等行变换相当于对A左乘一个初等矩阵，对A作初等列变换相当于对A右乘一个初等矩阵；经过一系列的初等变换后，由矩阵A总能够得到它的标准形式.

二、有关矩阵等价标准形的解题研究

下面利用矩阵标准形，解决矩阵秩，线性方程组，矩阵逆等方面的问题.

1.关于矩阵秩的不等式证明

2.等价标准形在解线性方程组中的使用

3.等价标准形在矩阵求逆中的应用

例6：从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法.

参考文献：

[1]周杰.矩阵分析及应用[M].四川：四川大学出版社，2008.

[2]杨明，刘先忠.矩阵论[M].湖北：华中科技大学出版社，2010.

[3]贾周.矩阵的等价标准性及其应用[J].南阳师范学院学报，2005.