均值—CVaR模型在正态条件下风险资产组合的研究

余俊+朱宁

摘 要：条件风险值（CVaR）是指金融资产或其组合的损失额超过VaR的条件均值，它克服了VaR的非一致性，不满足凸性等局限性。给出了在风险证券的预期回报率服从正态分布下的均值-CVaR模型及最小均值-CVaR风险资产组合有解的条件，并在该条件满足下的最小均值-CVaR组合的投资比例向量和最小值。

关键词：均值-CVaR模型;金融资产;正态分布

一、引言

风险价值（Value at Risk ，简称VaR），是一种风险管理与控制的新工具，是指在正常的市场条件下和给定的置信水平上，在给定的持有期内，投资组合或资产所面临的潜在最大损失，其数学表达式为： ，其中 表示组合在持有期内 的价值变动量， 表示指定概率分布的分位数。VaR最大的优点就是其定量标准化，从而营造了一个统一的框架，把金融机构所有资产组合的风险量化为一个简单的数字，VaR的概念虽然简单，但VaR方法在原理和统计估计方面存在一定局限性，如VaR的计算结果不稳定;VaR不满足次可加性，所以不是一致风险度量;VaR不满足凸性，VaR对证券投资组合进行优化时可能存在多个极值，局部最优化解不一定是全局最优解。VaR将注意力集中在一定置信度下的分位点上，而分位点下面的情况则完全被忽略，这使得此方法不能防范某些极端事件，这些极端事件发生的概率虽小，但一旦发生，将给金融机构带来很大的麻烦。

针对VaR的不足，人们提出了各种改进方法，Rockafeller和Uryasev在2000年提出的条件风险价值（CVaR）方法，无论在理论上还是在优化计算上均比VaR有很大进步，CVaR是指金融资产或其组合的损失额超过VaR的条件均值，CVaR满足一致性风险度量标准的四条公理，其优化问题可转化为线性规化，计算简便，结果稳定，而且优化CVaR问题的同时可以得到最优的VaR值。Palmquist给出了均值-CVaR有效前沿的三种等价描述，本文给出了风险证券的预期回报率服从正态分布，最小均值-CVaR风险资产组合有解的条件，并在该条件满足下给出了最小均值-CVaR组合的投资比例向量和最小值。

二、CVaR的定义

设 表示一个投资组合的损失函数，控制向量 为投资组合的可行集，市场因子 为随机向量，代表能影响损失的市场不确定性。

对任意固定 ，损失 是 的函数，设随机向量 的概率安度函数为 ，对任意 ，若分布函数 在任意一点都连续，则：

它是关于 的非增，右连续函数， 在相应的概率置信度 下，损失VaR和CVaR分别定义为：

，

三、正态条件下均值-CVaR模型

设投资者选定种风险证券进行投资组合，令 是第种资产的预期回报率， 是投资组合的权重向量，V是n种资产间的协方差矩阵， 和 分别是投资组合的期望回报率和期望回报率的方差，设R服从正态分布 ，即 ：，则损失函数：

，

即 。其中， 表示标准正态分布， 表示标准正态分布的密度函数， 。现在将 作为目标函数，得到基于 的证券组合优化，即为均值- 模型，则有：        。将 代入上式，则 证券组合优化模型等价于下列模型：

得用Lagrangian乘子法，对于任意证券组合，其回报率的期望与标准差满足： ，其 ， ， 于是对于任意证券组合，其回报率的期望与标准差满足： ， 显然，均值- 边界等价于均值-方差边界的一个变换。

定理1 组合 属于均值- 边界 组合 属于均值-方差边界。

定理2 风险证券的预期回报率服从正态分布， 组合有解  。

证明：

因为， ， ，

，  则有

取 ，可得 ，

则 （1）  （2）则 。因为 ，因此当 时，（1）式是无解的。从 得到 ，是 组合有解的必要条件。当 时，则 ，即 ，因此

综上所述，组合有解，当且仅当。

又因为

则

定理3 如果，的证券组合优化模型的投资比例向量为：及模型的最小值

其中，。证明：

由定理2可得，又根据定理1可得：

参考文献：

[1]J. P. Morgan. Risk Metrics-Technical Document （4 thed.）[M]. New York： Morgan Guaranty Trust Company， 1996：36-38.

[2]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Optimization of Conditional Value at-Risk[J].Joumal of Risk，2000，2：21-24.

[3]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Conditional value-at-Risk for general loss distributions[J]. Jourmal of Banking & Finance，2002，26：1443-1471.

[4]王春峰.金融市场风险管理VaR方法[M].天津：天津大学出版社，2000：56-60.

[5]张卫国，王荫清.无风险投资或贷款下证券组合优化模型及应用[J] .预测，1996，15：65-67.

[6]刘小茂，李楚霖，王建华.风险财产组合的均值-CvaR有效前沿（I）[J].管理工程学报，2003，17：29-33.endprint

摘 要：条件风险值（CVaR）是指金融资产或其组合的损失额超过VaR的条件均值，它克服了VaR的非一致性，不满足凸性等局限性。给出了在风险证券的预期回报率服从正态分布下的均值-CVaR模型及最小均值-CVaR风险资产组合有解的条件，并在该条件满足下的最小均值-CVaR组合的投资比例向量和最小值。

关键词：均值-CVaR模型;金融资产;正态分布

一、引言

风险价值（Value at Risk ，简称VaR），是一种风险管理与控制的新工具，是指在正常的市场条件下和给定的置信水平上，在给定的持有期内，投资组合或资产所面临的潜在最大损失，其数学表达式为： ，其中 表示组合在持有期内 的价值变动量， 表示指定概率分布的分位数。VaR最大的优点就是其定量标准化，从而营造了一个统一的框架，把金融机构所有资产组合的风险量化为一个简单的数字，VaR的概念虽然简单，但VaR方法在原理和统计估计方面存在一定局限性，如VaR的计算结果不稳定;VaR不满足次可加性，所以不是一致风险度量;VaR不满足凸性，VaR对证券投资组合进行优化时可能存在多个极值，局部最优化解不一定是全局最优解。VaR将注意力集中在一定置信度下的分位点上，而分位点下面的情况则完全被忽略，这使得此方法不能防范某些极端事件，这些极端事件发生的概率虽小，但一旦发生，将给金融机构带来很大的麻烦。

针对VaR的不足，人们提出了各种改进方法，Rockafeller和Uryasev在2000年提出的条件风险价值（CVaR）方法，无论在理论上还是在优化计算上均比VaR有很大进步，CVaR是指金融资产或其组合的损失额超过VaR的条件均值，CVaR满足一致性风险度量标准的四条公理，其优化问题可转化为线性规化，计算简便，结果稳定，而且优化CVaR问题的同时可以得到最优的VaR值。Palmquist给出了均值-CVaR有效前沿的三种等价描述，本文给出了风险证券的预期回报率服从正态分布，最小均值-CVaR风险资产组合有解的条件，并在该条件满足下给出了最小均值-CVaR组合的投资比例向量和最小值。

二、CVaR的定义

设 表示一个投资组合的损失函数，控制向量 为投资组合的可行集，市场因子 为随机向量，代表能影响损失的市场不确定性。

对任意固定 ，损失 是 的函数，设随机向量 的概率安度函数为 ，对任意 ，若分布函数 在任意一点都连续，则：

它是关于 的非增，右连续函数， 在相应的概率置信度 下，损失VaR和CVaR分别定义为：

，

三、正态条件下均值-CVaR模型

设投资者选定种风险证券进行投资组合，令 是第种资产的预期回报率， 是投资组合的权重向量，V是n种资产间的协方差矩阵， 和 分别是投资组合的期望回报率和期望回报率的方差，设R服从正态分布 ，即 ：，则损失函数：

，

即 。其中， 表示标准正态分布， 表示标准正态分布的密度函数， 。现在将 作为目标函数，得到基于 的证券组合优化，即为均值- 模型，则有：        。将 代入上式，则 证券组合优化模型等价于下列模型：

得用Lagrangian乘子法，对于任意证券组合，其回报率的期望与标准差满足： ，其 ， ， 于是对于任意证券组合，其回报率的期望与标准差满足： ， 显然，均值- 边界等价于均值-方差边界的一个变换。

定理1 组合 属于均值- 边界 组合 属于均值-方差边界。

定理2 风险证券的预期回报率服从正态分布， 组合有解  。

证明：

因为， ， ，

，  则有

取 ，可得 ，

则 （1）  （2）则 。因为 ，因此当 时，（1）式是无解的。从 得到 ，是 组合有解的必要条件。当 时，则 ，即 ，因此

综上所述，组合有解，当且仅当。

又因为

则

定理3 如果，的证券组合优化模型的投资比例向量为：及模型的最小值

其中，。证明：

由定理2可得，又根据定理1可得：

参考文献：

[1]J. P. Morgan. Risk Metrics-Technical Document （4 thed.）[M]. New York： Morgan Guaranty Trust Company， 1996：36-38.

[2]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Optimization of Conditional Value at-Risk[J].Joumal of Risk，2000，2：21-24.

[3]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Conditional value-at-Risk for general loss distributions[J]. Jourmal of Banking & Finance，2002，26：1443-1471.

[4]王春峰.金融市场风险管理VaR方法[M].天津：天津大学出版社，2000：56-60.

[5]张卫国，王荫清.无风险投资或贷款下证券组合优化模型及应用[J] .预测，1996，15：65-67.

[6]刘小茂，李楚霖，王建华.风险财产组合的均值-CvaR有效前沿（I）[J].管理工程学报，2003，17：29-33.endprint

摘 要：条件风险值（CVaR）是指金融资产或其组合的损失额超过VaR的条件均值，它克服了VaR的非一致性，不满足凸性等局限性。给出了在风险证券的预期回报率服从正态分布下的均值-CVaR模型及最小均值-CVaR风险资产组合有解的条件，并在该条件满足下的最小均值-CVaR组合的投资比例向量和最小值。

关键词：均值-CVaR模型;金融资产;正态分布

一、引言

风险价值（Value at Risk ，简称VaR），是一种风险管理与控制的新工具，是指在正常的市场条件下和给定的置信水平上，在给定的持有期内，投资组合或资产所面临的潜在最大损失，其数学表达式为： ，其中 表示组合在持有期内 的价值变动量， 表示指定概率分布的分位数。VaR最大的优点就是其定量标准化，从而营造了一个统一的框架，把金融机构所有资产组合的风险量化为一个简单的数字，VaR的概念虽然简单，但VaR方法在原理和统计估计方面存在一定局限性，如VaR的计算结果不稳定;VaR不满足次可加性，所以不是一致风险度量;VaR不满足凸性，VaR对证券投资组合进行优化时可能存在多个极值，局部最优化解不一定是全局最优解。VaR将注意力集中在一定置信度下的分位点上，而分位点下面的情况则完全被忽略，这使得此方法不能防范某些极端事件，这些极端事件发生的概率虽小，但一旦发生，将给金融机构带来很大的麻烦。

针对VaR的不足，人们提出了各种改进方法，Rockafeller和Uryasev在2000年提出的条件风险价值（CVaR）方法，无论在理论上还是在优化计算上均比VaR有很大进步，CVaR是指金融资产或其组合的损失额超过VaR的条件均值，CVaR满足一致性风险度量标准的四条公理，其优化问题可转化为线性规化，计算简便，结果稳定，而且优化CVaR问题的同时可以得到最优的VaR值。Palmquist给出了均值-CVaR有效前沿的三种等价描述，本文给出了风险证券的预期回报率服从正态分布，最小均值-CVaR风险资产组合有解的条件，并在该条件满足下给出了最小均值-CVaR组合的投资比例向量和最小值。

二、CVaR的定义

设 表示一个投资组合的损失函数，控制向量 为投资组合的可行集，市场因子 为随机向量，代表能影响损失的市场不确定性。

对任意固定 ，损失 是 的函数，设随机向量 的概率安度函数为 ，对任意 ，若分布函数 在任意一点都连续，则：

它是关于 的非增，右连续函数， 在相应的概率置信度 下，损失VaR和CVaR分别定义为：

，

三、正态条件下均值-CVaR模型

设投资者选定种风险证券进行投资组合，令 是第种资产的预期回报率， 是投资组合的权重向量，V是n种资产间的协方差矩阵， 和 分别是投资组合的期望回报率和期望回报率的方差，设R服从正态分布 ，即 ：，则损失函数：

，

即 。其中， 表示标准正态分布， 表示标准正态分布的密度函数， 。现在将 作为目标函数，得到基于 的证券组合优化，即为均值- 模型，则有：        。将 代入上式，则 证券组合优化模型等价于下列模型：

得用Lagrangian乘子法，对于任意证券组合，其回报率的期望与标准差满足： ，其 ， ， 于是对于任意证券组合，其回报率的期望与标准差满足： ， 显然，均值- 边界等价于均值-方差边界的一个变换。

定理1 组合 属于均值- 边界 组合 属于均值-方差边界。

定理2 风险证券的预期回报率服从正态分布， 组合有解  。

证明：

因为， ， ，

，  则有

取 ，可得 ，

则 （1）  （2）则 。因为 ，因此当 时，（1）式是无解的。从 得到 ，是 组合有解的必要条件。当 时，则 ，即 ，因此

综上所述，组合有解，当且仅当。

又因为

则

定理3 如果，的证券组合优化模型的投资比例向量为：及模型的最小值

其中，。证明：

由定理2可得，又根据定理1可得：

参考文献：

[1]J. P. Morgan. Risk Metrics-Technical Document （4 thed.）[M]. New York： Morgan Guaranty Trust Company， 1996：36-38.

[2]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Optimization of Conditional Value at-Risk[J].Joumal of Risk，2000，2：21-24.

[3]R. Tyrrell，Rockafellar and Stanislav Uryasev. Conditional value-at-Risk for general loss distributions[J]. Jourmal of Banking & Finance，2002，26：1443-1471.

[4]王春峰.金融市场风险管理VaR方法[M].天津：天津大学出版社，2000：56-60.

[5]张卫国，王荫清.无风险投资或贷款下证券组合优化模型及应用[J] .预测，1996，15：65-67.

[6]刘小茂，李楚霖，王建华.风险财产组合的均值-CvaR有效前沿（I）[J].管理工程学报，2003，17：29-33.endprint