Matlab在线性代数教学中的应用研究

尹丽,高辉,万莹

摘  要：线性代数是工、管、理科各专业的数学必修课，是学生学习后续专业课的数学工具，同时也是研究生入学必考的科目。把Matlab应用到线性代数的教学中，在课堂上可以吸引同学们的注意力，激发学生学习本门课程的热情，提高教学效果。学生们在后续的专业课学习和工作中可以灵活使用线性代数这门数学工具。笔者结合课堂教学实践，举例说明Matlab在线性代数教学中的作用。

关键词：Matlab应用；线性代数教学；应用研究

中图分类号：O151.2           文献标识码：A

1   引言（Introduction）

线性代数是工、管、理科各专业的数学必修课，是学生学习后续专业课的数学工具，同时也是研究生入学必考的科目。线性代数这门课程的特点是，以我们学校为例，工科教学学时只有32学时，使用的教材是同济大学数学系的第五版的线性代数，教材中的定义，定理证明抽象，忽略实用工具运用，学生不易理解。传统的教学过程中，涉及的数据多，教师在黑板上进行大量数据的计算和推导，有部分同学觉得枯燥无味，容易走神溜号，这种现象大大降低了教学效果。

Matlab是英文Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写。Matlab软件是由美国Mathworks公司开发的，将计算、可视化和编程功能集成在非常便于使用的环境中，是一个交互式的，以矩阵计算为基础的科学和工程计算软件。在欧美高等院校，Matlab已经成为线性代数等高级课程的基本教学工具[1]。线性代数中几乎所有的运算都可以用Matlab简单的编程实现[2]。

把Matlab应用到线性代数的教学中，在课堂上可以吸引同学们的注意力，激发学生学习本门课程的热情，提高教学效果。学生们在后续的专业课学习和工作中可以灵活使用线性代数这门数学工具。

2   Matlab在线性代数教学中的作用（The role of

matlab in linear algebra teaching）

笔者结合课堂教学实践，举例说明Matlab在线性代数教学中的作用。

作用（1）Matlab计算功能强大，耗时短，易于解决线性代数计算中的高阶问题。

行列式的计算问题。教师可以先讲解行列式传统的基本算法，2阶3阶可以用对角线法则，3阶及以上可以转化为上三角行列式，在黑板上手算几个低阶且基础的例题，便于学生们掌握。对于5阶以上的高阶行列式转化为上三角行列式的过程中，由于处理的数据比较多，容易出错。对于高阶行列式的计算，教师可以结合Matlab软件，在计算机上演示，让学生学会使用命令det（）即可。

例1 求行列式

在Matlab的Command window输入命令

》

显示A=

3     1    -1     2

-5     1     3    -4

2     0     1    -1

1    -5     3    -3

再次输入》

显示ans=40        注：算得行列式为40。

同学们会发现程序运行时间非常短，且不容易出错。

作用（2）Matlab使用起来简单，操作性强，可检验线性代数习题计算结果。

Matlab软件易于操作，学生们很容易掌握。线性代数中行列式、矩阵的乘法、矩阵的逆、矩阵的秩、线性方程组的解、方阵的特征值、特征向量以及方阵的对角化等多方面的问题涉及的计算量是非常大的。学生在课后练习笔算以后，可以在计算机上通过Matlab软件来验证自己的笔算结果。让学生利用数学软件来判断自己不能够确定的数学问题或结论，或者是检验自己所进行的数学运算[3]。使现代的计算机运算与传统的笔算集合起来，可以提高学生动手实践能力，为以后专业课的学习和工作中用计算机解决数学问题打下基础，同时大幅提升学生学习线性代数这门课程的热情。

矩阵的乘法。教师先详细介绍传统的笔算方法。两矩阵的乘积，首先需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数，两矩阵方可进行乘法运算。乘积的结果矩阵，行数为左矩阵的行数，列数为右矩阵的列数。，矩阵C的元素C为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积之和，计算量不小。学生掌握了矩阵乘法的定义后，教师再介绍使用Matlab软件，只需先在命令窗口输入两矩阵，再用命令A*B即可。

例2 已知，，求BA、AB。

在Matlab的Command window输入命令

》；

》；

》C=B*A

显示  ？？？ Error using==>；mtimes

Inner matrix dimensions must agree    注：表明矩阵B*A不成立，不能做乘积。

》D=A*Bendprint

显示   D=

9    -2    -1

9     9    11          注：

逆矩阵问题。教师先详细介绍传统的笔算求解方法。传统求方阵的逆矩阵，首先得判断该方阵存在逆矩阵与否，如果对应的行列式不为零，方阵存在逆矩阵，否则不存在。笔算求方阵的逆矩阵有两种，一种是求方阵对应的伴随矩阵，。另一种方法是利用初等行变换得到。这两种笔算的方法都非常基础，计算量不小。学生先掌握上述两种求逆矩阵的笔算法后，教师再介绍使用Matlab软件，只需先在命令窗口输入矩阵，再用命令即可。

例3 设A，，求

。

在Matlab的Command window输入命令

》；

》

显示  Warning： Matrix is close to singular or badly scaled    注：出现了奇异矩阵，奇异矩阵A不可逆。

》B=；

》

显示  ans=

6   3   4

4   2   3

9   4   6                 注：解得B的逆矩阵。

矩阵的秩的问题。教师先详细讲授传统方法有两种：一种是按定义求，求最高阶非零子式的阶数；另一种方法是对矩阵做初等行变换，使矩阵转换成行阶梯型矩阵，其中非零行的行数为矩阵的秩。很明显两种传统方法笔算的计算量都不小。学生掌握求秩的传统算法，教师再介绍使用Matlab软件，只需先在命令窗口输入矩阵，再用命令即可。

例4 设A，求矩阵A的秩。

在Matlab的Command window输入命令

》；

》

显示 ans=3             注：秩为3。

矩阵的特征值与特征向量问题。教师先详细介绍传统方法，首先求得特征多项式的根，由解得对应的特征值；再求所对应的特征向量，由解得，上述两步涉及求行列式，解线性方程组，计算量比较大。学生学会特征值，特征向量的笔算求法，教师再介绍使用Matlab软件，只需先在命令窗口输入矩阵，再用命令即可，其中对角阵D的对角元为矩阵A的特征值，矩阵V的列向量是相应的特征向量。

例5 求矩阵A的特征值和特征向量。

在Matlab的Command window输入命令

》；

》

显示   V=

0.7071    0.5774    0.4082

-0.7071    0.5774    0.4082

0   -0.5774    0.8165

D=

-1.0000         0         0

0   -0.0000         0

0         0    9.0000

注：特征值-1对应的特征向量为矩阵V的第一列向量，特征值0对应的特征向量为矩阵V的第二列向量，特征值9对应的特征向量为矩阵V的第三列向量。

》

显示ans =

1.0000    2.0000    3.0000

2.0000    1.0000    3.0000

3.0000    3.0000    6.0000

注：验证了。

3   结论（Conclusion）

Matlab作为一种实用性很强的数学软件在线性代数教学中发挥了很好的作用，但是也不能忽视传统的笔算做题和概念及理论证明。使用Matlab软件重视实用性，为学生后续的学习和工作做好准备，传统的笔算做题和概念及理论证明培养了学生逻辑思维，两者的结合可以产生创新，大大提高线性代数的教学效果，提升学生动脑动手能力。

参考文献（References）

[1] 李秀珍，庞常词.数学实验[M].北京：机械工业出版社，2008.

[2] 郭文艳，赵凤群.数学建模及Matlab软件在矩阵运算教学中的

应用[J].大学数学，2013，29（4）：87-90.

[3] 尹丽，高胜哲.运用数学软件提高高等数学教学质量[J].软件

工程师，2012，12：34-35.

作者简介：

尹  丽（1981-），女，本科，讲师.研究领域：基础教学.

高  辉（1978-），女，硕士，讲师.研究领域：基础教学.

万  莹（1978-），女，本科，讲师.研究领域：基础教学.endprint

显示   D=

9    -2    -1

9     9    11          注：

逆矩阵问题。教师先详细介绍传统的笔算求解方法。传统求方阵的逆矩阵，首先得判断该方阵存在逆矩阵与否，如果对应的行列式不为零，方阵存在逆矩阵，否则不存在。笔算求方阵的逆矩阵有两种，一种是求方阵对应的伴随矩阵，。另一种方法是利用初等行变换得到。这两种笔算的方法都非常基础，计算量不小。学生先掌握上述两种求逆矩阵的笔算法后，教师再介绍使用Matlab软件，只需先在命令窗口输入矩阵，再用命令即可。

例3 设A，，求

。

在Matlab的Command window输入命令

》；

》

显示  Warning： Matrix is close to singular or badly scaled    注：出现了奇异矩阵，奇异矩阵A不可逆。

》B=；

》

显示  ans=

6   3   4

4   2   3

9   4   6                 注：解得B的逆矩阵。

矩阵的秩的问题。教师先详细讲授传统方法有两种：一种是按定义求，求最高阶非零子式的阶数；另一种方法是对矩阵做初等行变换，使矩阵转换成行阶梯型矩阵，其中非零行的行数为矩阵的秩。很明显两种传统方法笔算的计算量都不小。学生掌握求秩的传统算法，教师再介绍使用Matlab软件，只需先在命令窗口输入矩阵，再用命令即可。

例4 设A，求矩阵A的秩。

在Matlab的Command window输入命令

》；

》

显示 ans=3             注：秩为3。

矩阵的特征值与特征向量问题。教师先详细介绍传统方法，首先求得特征多项式的根，由解得对应的特征值；再求所对应的特征向量，由解得，上述两步涉及求行列式，解线性方程组，计算量比较大。学生学会特征值，特征向量的笔算求法，教师再介绍使用Matlab软件，只需先在命令窗口输入矩阵，再用命令即可，其中对角阵D的对角元为矩阵A的特征值，矩阵V的列向量是相应的特征向量。

例5 求矩阵A的特征值和特征向量。

在Matlab的Command window输入命令

》；

》

显示   V=

0.7071    0.5774    0.4082

-0.7071    0.5774    0.4082

0   -0.5774    0.8165

D=

-1.0000         0         0

0   -0.0000         0

0         0    9.0000

注：特征值-1对应的特征向量为矩阵V的第一列向量，特征值0对应的特征向量为矩阵V的第二列向量，特征值9对应的特征向量为矩阵V的第三列向量。

》

显示ans =

1.0000    2.0000    3.0000

2.0000    1.0000    3.0000

3.0000    3.0000    6.0000

注：验证了。

3   结论（Conclusion）

Matlab作为一种实用性很强的数学软件在线性代数教学中发挥了很好的作用，但是也不能忽视传统的笔算做题和概念及理论证明。使用Matlab软件重视实用性，为学生后续的学习和工作做好准备，传统的笔算做题和概念及理论证明培养了学生逻辑思维，两者的结合可以产生创新，大大提高线性代数的教学效果，提升学生动脑动手能力。

参考文献（References）

[1] 李秀珍，庞常词.数学实验[M].北京：机械工业出版社，2008.

[2] 郭文艳，赵凤群.数学建模及Matlab软件在矩阵运算教学中的

应用[J].大学数学，2013，29（4）：87-90.

[3] 尹丽，高胜哲.运用数学软件提高高等数学教学质量[J].软件

工程师，2012，12：34-35.

作者简介：

尹  丽（1981-），女，本科，讲师.研究领域：基础教学.

高  辉（1978-），女，硕士，讲师.研究领域：基础教学.

万  莹（1978-），女，本科，讲师.研究领域：基础教学.endprint

显示   D=

9    -2    -1

9     9    11          注：

逆矩阵问题。教师先详细介绍传统的笔算求解方法。传统求方阵的逆矩阵，首先得判断该方阵存在逆矩阵与否，如果对应的行列式不为零，方阵存在逆矩阵，否则不存在。笔算求方阵的逆矩阵有两种，一种是求方阵对应的伴随矩阵，。另一种方法是利用初等行变换得到。这两种笔算的方法都非常基础，计算量不小。学生先掌握上述两种求逆矩阵的笔算法后，教师再介绍使用Matlab软件，只需先在命令窗口输入矩阵，再用命令即可。

例3 设A，，求

。

在Matlab的Command window输入命令

》；

》

显示  Warning： Matrix is close to singular or badly scaled    注：出现了奇异矩阵，奇异矩阵A不可逆。

》B=；

》

显示  ans=

6   3   4

4   2   3

9   4   6                 注：解得B的逆矩阵。

矩阵的秩的问题。教师先详细讲授传统方法有两种：一种是按定义求，求最高阶非零子式的阶数；另一种方法是对矩阵做初等行变换，使矩阵转换成行阶梯型矩阵，其中非零行的行数为矩阵的秩。很明显两种传统方法笔算的计算量都不小。学生掌握求秩的传统算法，教师再介绍使用Matlab软件，只需先在命令窗口输入矩阵，再用命令即可。

例4 设A，求矩阵A的秩。

在Matlab的Command window输入命令

》；

》

显示 ans=3             注：秩为3。

矩阵的特征值与特征向量问题。教师先详细介绍传统方法，首先求得特征多项式的根，由解得对应的特征值；再求所对应的特征向量，由解得，上述两步涉及求行列式，解线性方程组，计算量比较大。学生学会特征值，特征向量的笔算求法，教师再介绍使用Matlab软件，只需先在命令窗口输入矩阵，再用命令即可，其中对角阵D的对角元为矩阵A的特征值，矩阵V的列向量是相应的特征向量。

例5 求矩阵A的特征值和特征向量。

在Matlab的Command window输入命令

》；

》

显示   V=

0.7071    0.5774    0.4082

-0.7071    0.5774    0.4082

0   -0.5774    0.8165

D=

-1.0000         0         0

0   -0.0000         0

0         0    9.0000

注：特征值-1对应的特征向量为矩阵V的第一列向量，特征值0对应的特征向量为矩阵V的第二列向量，特征值9对应的特征向量为矩阵V的第三列向量。

》

显示ans =

1.0000    2.0000    3.0000

2.0000    1.0000    3.0000

3.0000    3.0000    6.0000

注：验证了。

3   结论（Conclusion）

Matlab作为一种实用性很强的数学软件在线性代数教学中发挥了很好的作用，但是也不能忽视传统的笔算做题和概念及理论证明。使用Matlab软件重视实用性，为学生后续的学习和工作做好准备，传统的笔算做题和概念及理论证明培养了学生逻辑思维，两者的结合可以产生创新，大大提高线性代数的教学效果，提升学生动脑动手能力。

参考文献（References）

[1] 李秀珍，庞常词.数学实验[M].北京：机械工业出版社，2008.

[2] 郭文艳，赵凤群.数学建模及Matlab软件在矩阵运算教学中的

应用[J].大学数学，2013，29（4）：87-90.

[3] 尹丽，高胜哲.运用数学软件提高高等数学教学质量[J].软件

工程师，2012，12：34-35.

作者简介：

尹  丽（1981-），女，本科，讲师.研究领域：基础教学.

高  辉（1978-），女，硕士，讲师.研究领域：基础教学.

万  莹（1978-），女，本科，讲师.研究领域：基础教学.endprint