解答学生关于隐函数的二阶导数计算中的疑问

沈兆益

摘 要 在高等职业学校高等数学多元函数微积分教学内容中，多元隐函数二阶导数的求解由于并没有沿用该章节隐函数的一阶导数求解方法，学生在学习中会产生一些疑问，这是由于对函数的复合理解不够深入，甚至导致对二阶偏导数求解出现错误。本文针对学生在这一内容的学习中出现的问题，挖掘根源，找到学生理解的不足。并进行知识与方法总结，对高等教学提供具有参考意义的教学方法和学习参照。

关键词 多元函数微分 隐函数 二阶偏导

中图分类号：G424 文献标识码：A

Answer Students' Doubt about the Second Derivative

Calculation of the Implicit Function

SHEN Zhaoyi

（Wuxi City College of Vocational Technology， Wuxi， Jiangsu 214153）

Abstract Higher Mathematics at higher vocational schools teaching multi-function calculus content， multiple implicit function solving the second derivative does not follow that section because of the implicit function of the first order derivative solution method， the students in the study will produce some doubt that this is due to the understanding of the complex function is not deep enough， and even lead to solving second order partial derivative errors. In this paper， the students appearing in learning the content of this problem， digging roots find enough students to understand. And summarize the knowledge and methods of higher education to provide a reference meaningful teaching methods and learning reference.

Key words multi-function differential; implicit function; second order partial derivatives

在教学过程中，教师需要随时应对学生出现的问题，进行答疑解惑。高职微积分的教学内容中，多元函数微积分的学习阶段，由于对知识掌握不够透彻，学生在学习过程中常会产生这样一个问题。这就是在“多元隐函数求导”内容学习过程中，对于隐函数的二阶偏导数遇到的困难。

学生学习产生的困惑的具体表现，可以使用一个简单的例子进行说明：已知隐函数： +  = 1，求解二阶偏导数。

学生能做到迅速正确地求解这一问题的前半部分，即求解出一阶偏导数，依据多元函数微积分这一章节中刚学习的方法，设（） =  +  1 = 0，则 = 2，  = 2，得到 =  =  = 。但接下来求解二阶导数，学生就产生了一系列疑问。第一个问题就是：此时，令 =  = ，则原先的一阶导函数变为 = 。而后， = 对于求偏导，得到 = 。这显然与正确的求解： =  =  = 不符。但学生辨别不出自己解法中的错误，需要教师进行详细解释与指导，向学生提出其错误所在。第二个问题是：在多元函数微积分章节，新学习的求解隐函数的方法，并没有在求解二阶导过程中加以继续使用，反倒是使用了函数复合类型的隐函数求解方法，是老的方法。新方法为什么不沿用？在此，教师需要通过向学生解释在此处改变求导方法的理由，并加深学生对于复合函数求导的原理的理解。

学生的这两个问题，其根源是对于函数复合的理解不够明确，由此对于多元函数微分中，隐函数的求解公式理解有偏差。在之前例子中，求的二阶导数，令 =  = 。得到 = 是可以的，但这时 = 对于求导，需要注意是的函数。即 = 不正确，而应该注意到是的函数，这一函数复合的求导过程不可或缺。即：

=  =  =

但是这一解释，往往还不能使得学生明了自己的知识性缺失，在了解了之前的解释之后，学生提出了第三个疑问：“如果是这样，之前求解函数一阶导数的过程中，设（） =  +  1 = 0，则求偏导 = 2就有问题，因为同样没有将看作的函数，对求导结果为0，这又是为什么？究竟什么时候需要将看作的函数，什么时候又将其视为两个不同的变量呢？

而且，学生对这一知识点的疑问，是在接触到了更为复杂的练习题而产生的，更为复杂的题目加重了学生的迷惑。如笔者遇到学生列举了2007年7月高等教育自学考试全国卷高等数学（一）试题第20题：“设函数 = 是由方程++ = 所确定的隐函数，求”。更为复杂的多元隐函数的二阶偏导加大了学生对于问题的理解难度。

要解答学生这一系列的迷惑，需要教师从学生对于复合函数求导理解不够深入这一根源入手。使得学生了解到，两种隐函数的求解方法是相通的，都是基于复合函数求导计算的变形，只是第一种方法体现得更明确，而多元函数微积分这一章节中介绍的方法似乎隐藏了这一特征。因此需要详细介绍这一方法的由来： = （）的函数关系是由方程（） = 0确定的，确实是的函数。于是对（） = 0求的导数得到的是 = 0。这是体现出了复合函数求导的特征的。而在此之后将这一等式变形为隐函数求导的公式，将和分开了，似乎不再具有函数复合求导的特征，只是推导出学生经常使用而并未深层次理解的 = 。

向学生讲解求出隐函数的二阶导数求解原理，在前面讲解的基础上，可以通过类比的方法，进行类似的变换。将一阶导函数形式视为 = （），然后将移项，得到（） = 0。设方程（） = （） = 0，即得到由“”、“”、“”三个变量构成的方程，其中，“”和“”都是“”的函数。并提请学生注意，在求导过程中是存在复合函数求导的要求的。对方程求解的导数，得到 +  +  = 0。因为（） = （） = 0，所以上式继续变形为 +    = 0，特别需要学生注意到 = 。而也就是。因此， +    = 0也就可以变形为 =  + 。这与 = （）直接进行二阶导数计算，得到的结果是一致的。

基于向学生展示这一类比过程，就能解开学生之前的疑问。首先是第二个问题，该章节介绍的隐函数一阶偏导的公式，是以复合函数求导为基础并加以变形的，在本质上并没有将函数复合的性质抹去。而学生认为的“”和 “”不再具有函数关系这一思想是片面的。只是同样的变形过程使用在二阶偏导的计算中，并没有形成与求隐函数一阶导数类似的公式。其化简后得到的结果与直接利用函数复合进行二阶求导（之前的方法）一致。因此隐函数的二阶导数或偏导数不再有类同于 = 或 = 的公式。

然后，因为函数复合的事实，学生的第一个问题中，由于 “”依然是 “”的函数。 = 对于求导，若只得到 = 。就是没能正确认识这一函数复合的情况，所产生的错误。

第三个问题中，设（） =  +  1 = 0，则 = 2没有问题。理由是（） = 0求的导数得到的是 +  = 0，之后变为 = ，这时候求解偏导数是没有问题的。而且，求解隐函数的导数，不论是哪一种方法，不论是一阶还是二阶导数，本质上都不能忽视函数的复合。只是在一阶导数的求解过程中获得了本质相同，形式上有所差异的两种方法。而二阶导数的求解过程，不再有两种方法，唯有直接求解，必须注意复合函数求导。

因此，同样的推导方法类比到多元隐函数求导，即（，，） = 0求解的二阶导数也是如此。将一阶导函数形式看做 = （，，），设（，，，） = （，，） = 0，对方程求的偏导数，得到 +  +  = 0，此时“”是常数，而“”和“”均是的函数。又因为（，，，） = （，，） = 0，将其代入，继续变形为 +    = 0，得到与之前得到的一元隐函数推导类似的结果： =  +  。

所以学生提出的较为复杂的二元隐函数二阶导题目“设函数 = 是由方程++ = 所确定的隐函数，求”的求解也只需在二阶导数时注意是的函数，须有复合函数的求导。

先进行的一阶偏导计算，可以使用隐函数求偏导公式：

方法一：设（，，）= ++   = 0，则 = 1，  = 1，  =

得到 = =  =

也可以利用复合函数求导：

方法二：左右两边对求导， = ，求导时注意为的函数。

得到1 + 0 +  = ，化简后 =

两种方法所得到的一阶导函数是一致的。

继续求解二阶导数： = ，此时不再有类似与方法一的公式，只有一种方法，求导时注意为的函数。

=  =  =

再将 = 代入，得到 = 。

通过向学生阐述隐函数求导或偏导公式的来源介绍，进一步强调复合函数求导在隐函数求导的基础性作用，在二阶导计算与多元函数隐函数求导中进行类比。使学生理解隐函数求导的两种常见方法的本质与联系。消除学生在处理具体问题中，隐函数的二阶导数计算的困惑，加强学生对于求解隐函数二阶导数所用方法的理解，降低学生处理相关问题的思维难度，减少对这一知识点的理解和计算错误。

参考文献

[1] 章学诚.高等数学（一）微积分[M].武汉大学出版社，2004.

[2] 扈志明.高等数学（一）[M].高等教育出版社，2013.

[3] 高安力.数学（第二册）[M].苏州大学出版社，1998.