一种平板折叠桌的动态建模与最优设计

侯勇超 张大全 季媛媛 魏红晶

（1 巢湖学院数学系，安徽 巢湖 238000）（2 巢湖学院计算机与信息工程学院，安徽 巢湖 238000）

1 引言

折叠结构的家具因其运输、存储方便，节约空间而赢得消费者亲睐。某公司生产了一种可折叠的桌子，桌面呈圆形（椭圆形），桌腿与桌面用铰链链接，可以展开成一张长方形平板[1]。桌腿分成两组，每组用一根钢筋贯穿木条，每条桌腿上有长短不一的空槽供钢筋滑动。根据2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题[2]，本文建立的数学模型描述了折叠桌的动态变化过程，并给出了求解最优设计加工参数的数学规划模型，最后设计出了一种用户可任意设定桌子高度、桌面形状和使用者腿部空间需求的椭圆形桌面的折叠桌，并给出了动态变化过程图。

2 问题分析与求解

对于给定的长方形平板以及每根木条的宽度，可以得出平板折叠桌两侧分别有二十根桌腿并排排列，平面示意图如图1。此时连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，而且折叠后的桌子高度为53cm，当提起木板的两侧，桌子会缓缓提升，直至达到平衡状态。

2.1 桌腿开槽长度及桌角边缘线方程的求解

因为折叠桌的桌腿长度不同，因此需要开槽以达到稳定的目的。

由图2，可知

由图3，折叠桌最外侧桌腿与垂直地面方向的夹角设为α，

图1 平板折叠桌示意图

图2 桌面部分截图

由（1）（2）解得桌腿开槽长度：

图3 折叠桌侧面投影图

由Matlab编程实现得开槽长度，

表1 开槽长度

如下图以桌面圆心在地面的投影为坐标原点建立三维坐标系，边缘线右侧近端的一半的方程：

图4 折叠桌坐标系示意图

其中，t为参数，表示桌腿的位置（序号）。

得折叠后桌脚边缘线的结果如下图5，图6所示

图5 桌脚单边缘曲线

图6 折叠桌立体图

2.2 给定桌面高度和形状的折叠桌最优设计

对于给定的桌高70cm，桌面直径，要求用材最少，即要求所用木材的面积最小。由于桌面直径已经为80cm，即可使桌面宽度定为2y=80cm，只需控制桌面长度能满足桌高达到70cm的同时最短，此时平板用材最小即达到最优。即目标函数为

由第一问可知：折叠桌中最短的木条开槽长度是最长的，但这个开槽长度又必须比这根最短的腿还要短，否则就会造成最短的腿在桌面完全撑起的时候无法够到钢筋，故得出约束条件：

根据桌面的受力分析，稳固性由4根桌脚形成的支撑面决定。由于桌面为圆面，当以圆的直径为边长做圆的外切正方形，正方形四个角所对应的地面正投影点为最外侧桌脚着地点时，此时的桌面应为最稳固状态，若着地点再往内侧移动就会造成桌面不稳定。所以得出约束条件：

于是得到如下非线性规划模型，

得出最优设计加工参数：长方形平板长度为：161.26cm；折叠桌未折叠时圆心轴线与钢筋位置间的距离为：40.9cm；最短木条开槽长度为39.5916cm。

表2 每条桌腿的开槽长度

2.3 任意椭圆桌面折叠桌的定制模型

设计并给出椭圆桌面的折叠桌，且材料最省，方案最优，已知高度设定为h，椭圆的长半轴和短半轴分别为r1，r2，折叠桌钢筋位置与地面的距离为gh，由于椭圆桌面的长半轴为r1，所以折叠桌平板长度为2r1，但平板的长度未知，只需使得桌面长度能满足桌高达到的同时最短，即能达到材料最省的目标，

图7 椭圆折叠桌折叠过程示意图

已知折叠桌每条腿的开槽长度都不相同，各条腿的开槽长度从最外侧向内逐渐加长，但开槽的最长长度必须要小于最短木条自身的长度，否则钢筋对最短木条无固定作用，即约束条件为：

桌子的稳定条件为：

用户腿部活动空间的要求为：

于是得出椭圆折叠桌的非线性规划模型，

比如某餐桌的用户定制数据为

通过求解上述优化问题得到，最外侧桌腿长为x=74.33，折叠桌未折叠时椭圆长轴线与钢筋位置间的距离为s=35.8815。

根据上述结果绘制动态变化过程图为：

图8 椭圆餐桌动态变化过程图

3 模型评价与改进

折叠桌模型的设计不仅能够精准的确定开槽的位置与开槽长度，使得折叠桌造型美观，还能够优化设计达到节省材料，节约成本的目的；面对不同客户对折叠桌高低大小的不同要求也能够很好的满足客户的要求。

由于在建立模型时，直接将木板的长度作为最外侧的两条桌腿长度，而现实当中会在最外侧两条腿之间预留一定的长度，以便安装铰链等，如果将木板中间留出一定长度会导致桌面无法达到预定的高度。

文章虽然已经考虑了钢筋距离地面的高度对人放腿是否舒适，但还可以使桌脚边缘线更往内侧移动，从而使得使用者坐在桌子边缘时，不仅高度符合要求，并且脚活动的范围更大更舒适。而桌脚边缘线的弯曲程度取决于木条旋转支点与木板中心线的距离以及最外侧桌腿与垂直方向的夹角，因此可以通过再次求解非线性方程求得更优的方案。

[1]韩佳成.平板折叠边桌[J].设计，2012，（8）：24-24.

[2]2014 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛赛题 B 题，http：//www.mcm.edu.cn/problem/2014/cumcm2014problems.rar.