基于坐标转换的回转表面形状误差最小二乘评定

陈磊磊 黄美发 肖萌萌 宫文峰

桂林电子科技大学，桂林，541004

0 引言

回转表面是机械零件中常见的几何要素，同时，回转表面的形状误差直接关系到零件的尺寸精度和配合性能，因此回转表面形状误差的评定是零件检验过程中一项重要的内容，对其进行快速准确地评定具有重要的研究意义。应用三坐标测量机测量回转体的形状误差时，需要在实际表面上依据一定规则提取一系列点，然后应用特定的拟合方法得到理想特征，最后根据理想特征计算离散点包容区域，从而得到形状误差。其中拟合是评估过程中关键的一步，目前应用较广较成熟的拟合方法是最小二乘法。

目前，对于回转表面的最小二乘拟合，主要有柱坐标系内拟合和直角坐标系内拟合两类方法［1－2］。第一类方法的数学模型与算法比较完善，但要求测量过程中的安装偏心小，且要求等角度间隔分层采样。第二类方法通过测量被测特征的离散点坐标值来建立最优化目标函数，经过复杂的转化过程，将非线性问题线性化，过程复杂，不易编程实现，对迭代初值的依赖性高，且通常不能拟合任意轴线方向的回转表面［3－7］。

基于坐标系转换，即通过坐标的旋转和平移，本文提出一种最小二乘拟合回转表面的通用方法。实践证明，该方法应用范围广，对迭代初值依赖性小，可快速有效正确地评定任意轴线方向的回转表面形状误差。本文主要以圆柱度、圆锥度、椭球面为例，研究回转表面形状误差的评定方法。

1 圆柱拟合数学模型的建立

根据三坐标测量机在被测圆柱上提取的测点坐标初步确定决策变量的初值，对圆柱轴线和测点进行刚体旋转和平移，使得圆柱轴线与z轴重合，某些中间变量近似等于0，从而消去高阶无穷小项，达到线性化的目的，然后应用所建立的数学模型计算出决策变量增量，对决策变量进行调整，再进行坐标转换，计算增量，调整变量，依次迭代下去，直至达到终止迭代条件为止。

1.1 坐标系转换

在图1所示的直角坐标系内，为使圆柱C的轴线旋转平移到与z轴重合的位置，首先将圆柱C平移到C′，然后绕z轴正旋转φ角到C″，最后绕y轴正旋转γ 角到C‴。O1Q、O′1Q′、O′1Q‴、O′1Q″″分别为圆柱C、C′、C″、C‴ 的轴线，Q″为Q′在Oxy平面内的投影。φ等于x轴与OQ″的夹角，γ等于z轴与OQ‴的夹角，从z轴正向观察，如果OO″逆时针旋转φ角度后与x轴正向重合，则φ为正，反之φ为负；从y轴正向观察，如果OO‴逆时针旋转γ角度后与z轴正向重合，则γ为正，反之为负。根据被测圆柱轴线的位置方向，应用图1所示的操作，可得到坐标转换矩阵。测点的坐标乘以该矩阵，即得到坐标转换后的测点坐标。设圆柱轴线空间矢量O1Q ＝ （a，b，c），O1坐标为（x0，y0，z0），被测圆 柱 上 的 测 点 坐 标 为 （xi，yi，zi），计 算 模 型如下：

图1 坐标系旋转图

1.2 数学模型

圆柱的基本参数包括轴线的方向矢量、轴线上的某一点坐标和圆柱半径。方向矢量的各分量之间、方向矢量与点的坐标之间存在相关性，根据空间几何知识可知：方向矢量中含有两个独立变量，点坐标中含有两个独立变量。这样，圆柱方程可以由5个独立变量唯一确定。对于任意位置的圆柱，设其轴线的方向矢量V ＝ （a，b，1），轴线上一点P＝ （x0，y0，0），半径为r，则圆柱的一般方程为

根据最小二乘拟合的定义，离散点到理想圆柱面的残差平方和最小，得到目标函数为

当轴线与z轴重合时，a、b、x0、y0均接近0，因此其二次以上的代数项可视为无穷小而忽略不计。令r2＝E，则δi转化为

为求极小值点，对式（2）求偏导，并令偏导等于0，即

经化简得到一个五元一次方程组：

记上式为

则方程组的解为

通过式（3）得出的解是旋转后圆柱的近似参数，因此可以作为5个决策变量的增量，对a、b、x0、y0、E进行调整，然后进行下一步的迭代。

2 圆锥拟合数学模型的建立

圆锥最小二乘拟合与圆柱最小二乘拟合基本类似，通过坐标系转化，使某些中间变量近似等于0以达到线性化的目的，然后再求决策变量的增量，依次循环迭代下去。圆锥方程的基本参数包括轴线矢量、圆锥顶点坐标、锥角。由于锥顶是唯一确定的，所以锥顶坐标三个分量是独立的，这样圆锥方程由6个独立变量唯一确定。如图2所示，根据1.1节中给出的运算公式，将圆锥轴线旋转平移到与z轴同向且锥顶与坐标原点接近重合的位置。这时垂直于轴线的截面圆半径ri可以近似由离散点的z坐标与锥角确定：ri≈zitanθ。

图2 圆锥示意图

设圆锥的锥顶坐标为P ＝ （x0，y0，z0），轴线矢量为V＝（a，b，1），则空间任意位置圆锥的一般方程可以近似表示为

根据最小二乘拟合方法的定义，离散点到理想圆锥面的残差平方和最小，得到目标函数为

当轴线与z轴重合时，a、b、x0、y0、z0均接近0，其二次以上的项均可视为无穷小，可以略去不计。令tanθ2＝D，则δi转化为

同样，对式（5）求偏导并令偏导为零，即

经过化简可以得到一个五元一次方程组：

上式记为

则方程的解为

式（7）的解是坐标系转换后圆锥的近似参数，可作为a、b、x0、y0、D 的增量，然后以a、b、x0、y0、D的增量为已知量，根据式（6）求解z0的增量，周而复始地迭代下去，直到满足迭代终止条件。

3 圆柱（锥）度评定算法的设计

根据上述模型，可以确定出圆柱、圆锥的理想轴线，进而根据离散点与轴线的距离函数确定出圆柱（锥）度误差。

设轴线（包括圆柱、圆锥）上一点坐标为P＝（x0，y0，z0），轴线的方向矢量为V ＝ （a，b，c），则离散点到轴线的距离为

圆柱度误差为

根据圆锥度的定义，可以得到圆锥度误差评定的目标函数：

根据上文建立的回转体形状误差评定模型，可以设计出评定算法，其中圆柱度评定算法计算流程如图3所示。圆锥度评定模型只是应用的公式不同：根据式（7）计算a、b、x0、y0、D 的增量，根据式（6）求解z0的增量，评定圆锥度误差时，将a、b、x0、y0、D 代入式（10）。

图3 圆柱最小二乘拟合程序流程图

4 其他回转体

除了常见的圆柱、圆锥外，本模型也适用于球面、椭球面、双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面等其他一般的二次曲面最小二乘拟合。这类曲面的一个共同特点是：垂直于回转轴的平面与二次曲面的交线满足特定函数关系。根据这个函数关系可以建立与圆柱圆锥拟合类似的最小二乘拟合模型。下面以椭球面为例进行简单的说明。在回转轴与z重合的位置，椭球面的方程［8］如下：

5 实例验证

将一个圆柱体随意放置在三坐标测量机（海克斯康，型号为global 07－10－07）上，并分别在圆柱体表面上随意提取32个测点，按照图3中设计的算法，计算出圆柱的特征参数以及形状误差，并与现有的三坐标软件的计算结果进行比较。计算结果见表1，其中，P0、V0分别为轴线上一点与轴线方向矢量的迭代初值，P、V分别为轴线上一点与轴线方向矢量的最优值。

对于圆锥，采用相同的方式，提取39个测点。应用所给出的数学模型与算法进行计算，结果如表2所示。

表1 圆柱拟合结果

表2 圆锥拟合结果

分析表1、表2结果可知：①圆柱和圆锥拟合过程中，迭代初值都严重偏离最优值，说明迭代初值对计算结果的依赖性不大。②本文所提算法的计算结果与三坐标测量机的评价结果相比，相差不大，说明本模型具有很强的实用价值。③比较圆柱圆锥的形状误差和拟合后的残差和，说明本算法拟合精度高。④圆柱和圆锥拟合耗时分别为0.031s、0.047s，迭代次数分别为14、20，说明本算法拟合收敛性好，运行效率高。

本模型运用坐标转换的手段进行线性化，然后令偏导等于0，获得收敛最快的迭代方向，因此，算法在稳定性、拟合精度、收敛性、运行效率、对初值的依赖性等方面都获得了理想结果。

6 结束语

本文基于坐标转换的思想，提出了一种回转表面形状误差评定的通用算法。计算实例表明：本模型简单，易于编程实现，对测点的分布没有特殊要求，对迭代初值的依赖性小，鲁棒性强，且可以求解任意放置的回转表面形状误差，应用范围广，具有很高的应用价值。

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