把这些三角题“串”起来

在高三复习三角函数时，笔者从课本练习题和一些模拟试题中，发现了几个相关联的问题，于是把它们“串”起来说一说.

例1 （苏教版必修4第49页）一铁棒水平通过如图1所示的直角走廊，试回答下列问题：

（1）证明棒长L（θ）=+；

（2）当θ∈0，时，作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；

（3）由（2）中的图象求L（θ）的最小值（可用计算器或计算机）；

（4）解释（3）中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.

图1

例1是一道课本练习题，所设计的四个问题逐层推进，从第（1）问的棒长的表示，到第（3）问求棒长的最小值，再将问题深化到第（4）问的解释能通过这个走廊的铁棒长度的最大值. 虽然本题的最值需借助于其他工具，但问题的设计和引导能使得我们相对容易地接受这个应用模型.为了便于计算，我们可将题中的数据加以修改.

例2 一铁棒水平通过如图2所示的直角走廊，问：

（1）用θ角表示铁棒长度L（θ）；

（2）求能通过这个直角走廊的铁棒长度的最大值.

图2

分析：走廊的拐角将铁棒分为两段，求三角形的边长是解题目标，构造三角形是解决问题的关键.

解：（1）过点M分别作墙壁的垂线，垂足分别为点C，D. 在Rt△ACM中，CM=1.2，∠CAM=θ，所以AM=. 同理，BM=. L（θ）=AM+BM=+=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，则sinθ·cosθ=. L==1.2·=2.4·=2.4·. 因为t-在区间（1，]上单调递增，所以当t=时，L（θ）取最小值.

答：能通过这个直角走廊的铁棒长度的最大值为 m.

由例1和例2可以看出，课本题具有很强的指导性，它们会作为模拟试题和高考试题命制的源泉. 解题时，我们又注意到为了能使得通过走廊的铁棒尽量长，铁棒总是倚着拐角处. 如果把拐角看做一点，将铁棒看成一直线，则该直线始终经过拐角的那一点. 于是题目又可修改为：

例3 如图3，在平面直角坐标系xOy中，过点M（1.2，1.2）的直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B，求线段AB长度的最小值.

图3

分析：本题给出点M的坐标，引入直线的斜率k（k<0）是常规思路，但求出的A，B两点的坐标相对烦琐，再由两点间的距离公式或勾股定理表示出的线段AB长更加麻烦，很难再去求出线段的最值（请读者自行尝试）. 考虑到本题与例2的相关性，可用三角知识来解决.

解：设∠BAO=θ，过点M分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点C，D. 则CM=DM=1.2，AB=AM+BM=+θ∈0，？摇，以下过程同例2.

从例3可以看出，两道载体完全不同的题目，经过转化后，思路和方法变得完全相同. 问题还可以进一步演变为：

例4 一宽为1 m的平板车水平通过如图4所示的直角走廊，问：

（1）用θ角表示平板车的长L（θ）；

（2）求能通过这个直角走廊的平板车长度的最大值.

图4

解：（1）设∠AFD=θ，在直角三角形ADF中，DF===. 同理，在直角三角形BCE中，CE=BC·tanθ=，所以AB=CD=EF-DF-CE=EM+FM-CE-DF=+--=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，则sinθ·cosθ=，所以L==2·. 令m=2t-1∈（1，2-1]，则t=，所以L=2·==. 因为m-在（1，2-1]上单调递增，则当m=2-1即θ=时，L（θ）取得最小值4-2.

答：能通过这个直角走廊的平板车长度的最大值为（4-2）m.

从例4不难发现，在与几何图形有关的最值问题中，引入角作为变量可以使得边角关系更简洁.

例5 一走廊拐角处的横截面如图5所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧BC相切于B，C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.

（1）若水平放置的木棒MN的两个端点M，N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P. 设∠CMN=θ，试用θ表示木棒MN的长度L（θ）；

（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值.

图5

解：（1）连接PQ，过点P作PR⊥GQ于点R，过点P作PS⊥AB于点S. 因为PR∥CD，所以∠PQR=θ. 在△PQR中，PR=sinθ. 又由SR=2，所以PS=SR-PR=2-sinθ. 在Rt△PSN中，∠SPN=θ，所以PN==. 同理，PM=，则MN=PM+PN=+=0<θ<.

以下过程同例4.

例5仍然以角为核心，利用圆的切线以及走廊的直线部分构建直角三角形，把看似复杂的问题化归到具体图形中，所求线段自然迎刃而解. 而且巧合的是，例5与例4的L（θ）关于θ的表达式完全相同，那么这两道题有没有必然联系呢？

分析：过点Q作与MN平行的直线，分别与AB，CD两边相交，过点M，N作这条平行线的垂线，垂足分别为H，I，过点Q分别作AB，CD的平行线形成墙壁，则例5就转化为宽为1 m的矩形平板车MNIH欲通过宽为2 m的走廊，求能通过这个走廊的平板车长度的最大值，显然这就是例题4了.

图6

由这些相关例题我们不难发现数学题目命制的源泉是课本，试题研究就要充分挖掘课本上的典型例题和习题，通过适当转化、拓展、延伸、变形与综合，加深对核心概念及核心数学思想的理解与掌握，达到增强知识理解、培养数学思维的目的. 基础较薄弱的同学，应该仔细阅读教材，认真琢磨书上的例题，牢固掌握课本上的定义、定理、公式、法则等基础知识，体会其中包含的数学思想和数学方法. 基础较好的同学更应该研究教材，达到准确掌握、熟练运用的程度. 钻研教材就是为了吃透教材，吃透教材主要体现在三个字：准、熟、灵. 准就是对每个知识点都要准确掌握，不能似懂非懂，模棱两可. 阅读课本不能一目十行，或只关心课本上的题目，而应该是对课本逐字逐句钻研，从而达到透彻理解的效果. 熟就是对学过的内容能熟练运用，能很快找准解题思路. 对于数学只看不练是不行的，只练不想也是不行的. 有些题目虽然看懂了，但还不一定会做，会做了也不一定规范、准确. 所以只有通过模仿、练习及反思才能达到熟能生巧的境界. 灵就是要学会灵活运用知识，熟悉基本套路的各种变形和应用，理解它的实质以及与其他知识的内在联系，弄清知识的产生和发展过程，找到解决一类问题的方法，达到举一反三的效果. 笔者就是想通过文中的例子说明题目间的内在联系，从而使同学们学会去解这类三角应用题. 当然，回归课本并不是单纯地做课本练习题，而是带着问题看课本，了解教材的编写意图，知道命题者究竟想考什么，遇到类似的问题怎么办，这样的复习就能事半功倍了.endprint

在高三复习三角函数时，笔者从课本练习题和一些模拟试题中，发现了几个相关联的问题，于是把它们“串”起来说一说.

例1 （苏教版必修4第49页）一铁棒水平通过如图1所示的直角走廊，试回答下列问题：

（1）证明棒长L（θ）=+；

（2）当θ∈0，时，作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；

（3）由（2）中的图象求L（θ）的最小值（可用计算器或计算机）；

（4）解释（3）中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.

图1

例1是一道课本练习题，所设计的四个问题逐层推进，从第（1）问的棒长的表示，到第（3）问求棒长的最小值，再将问题深化到第（4）问的解释能通过这个走廊的铁棒长度的最大值. 虽然本题的最值需借助于其他工具，但问题的设计和引导能使得我们相对容易地接受这个应用模型.为了便于计算，我们可将题中的数据加以修改.

例2 一铁棒水平通过如图2所示的直角走廊，问：

（1）用θ角表示铁棒长度L（θ）；

（2）求能通过这个直角走廊的铁棒长度的最大值.

图2

分析：走廊的拐角将铁棒分为两段，求三角形的边长是解题目标，构造三角形是解决问题的关键.

解：（1）过点M分别作墙壁的垂线，垂足分别为点C，D. 在Rt△ACM中，CM=1.2，∠CAM=θ，所以AM=. 同理，BM=. L（θ）=AM+BM=+=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，则sinθ·cosθ=. L==1.2·=2.4·=2.4·. 因为t-在区间（1，]上单调递增，所以当t=时，L（θ）取最小值.

答：能通过这个直角走廊的铁棒长度的最大值为 m.

由例1和例2可以看出，课本题具有很强的指导性，它们会作为模拟试题和高考试题命制的源泉. 解题时，我们又注意到为了能使得通过走廊的铁棒尽量长，铁棒总是倚着拐角处. 如果把拐角看做一点，将铁棒看成一直线，则该直线始终经过拐角的那一点. 于是题目又可修改为：

例3 如图3，在平面直角坐标系xOy中，过点M（1.2，1.2）的直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B，求线段AB长度的最小值.

图3

分析：本题给出点M的坐标，引入直线的斜率k（k<0）是常规思路，但求出的A，B两点的坐标相对烦琐，再由两点间的距离公式或勾股定理表示出的线段AB长更加麻烦，很难再去求出线段的最值（请读者自行尝试）. 考虑到本题与例2的相关性，可用三角知识来解决.

解：设∠BAO=θ，过点M分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点C，D. 则CM=DM=1.2，AB=AM+BM=+θ∈0，？摇，以下过程同例2.

从例3可以看出，两道载体完全不同的题目，经过转化后，思路和方法变得完全相同. 问题还可以进一步演变为：

例4 一宽为1 m的平板车水平通过如图4所示的直角走廊，问：

（1）用θ角表示平板车的长L（θ）；

（2）求能通过这个直角走廊的平板车长度的最大值.

图4

解：（1）设∠AFD=θ，在直角三角形ADF中，DF===. 同理，在直角三角形BCE中，CE=BC·tanθ=，所以AB=CD=EF-DF-CE=EM+FM-CE-DF=+--=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，则sinθ·cosθ=，所以L==2·. 令m=2t-1∈（1，2-1]，则t=，所以L=2·==. 因为m-在（1，2-1]上单调递增，则当m=2-1即θ=时，L（θ）取得最小值4-2.

答：能通过这个直角走廊的平板车长度的最大值为（4-2）m.

从例4不难发现，在与几何图形有关的最值问题中，引入角作为变量可以使得边角关系更简洁.

例5 一走廊拐角处的横截面如图5所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧BC相切于B，C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.

（1）若水平放置的木棒MN的两个端点M，N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P. 设∠CMN=θ，试用θ表示木棒MN的长度L（θ）；

（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值.

图5

解：（1）连接PQ，过点P作PR⊥GQ于点R，过点P作PS⊥AB于点S. 因为PR∥CD，所以∠PQR=θ. 在△PQR中，PR=sinθ. 又由SR=2，所以PS=SR-PR=2-sinθ. 在Rt△PSN中，∠SPN=θ，所以PN==. 同理，PM=，则MN=PM+PN=+=0<θ<.

以下过程同例4.

例5仍然以角为核心，利用圆的切线以及走廊的直线部分构建直角三角形，把看似复杂的问题化归到具体图形中，所求线段自然迎刃而解. 而且巧合的是，例5与例4的L（θ）关于θ的表达式完全相同，那么这两道题有没有必然联系呢？

分析：过点Q作与MN平行的直线，分别与AB，CD两边相交，过点M，N作这条平行线的垂线，垂足分别为H，I，过点Q分别作AB，CD的平行线形成墙壁，则例5就转化为宽为1 m的矩形平板车MNIH欲通过宽为2 m的走廊，求能通过这个走廊的平板车长度的最大值，显然这就是例题4了.

图6

由这些相关例题我们不难发现数学题目命制的源泉是课本，试题研究就要充分挖掘课本上的典型例题和习题，通过适当转化、拓展、延伸、变形与综合，加深对核心概念及核心数学思想的理解与掌握，达到增强知识理解、培养数学思维的目的. 基础较薄弱的同学，应该仔细阅读教材，认真琢磨书上的例题，牢固掌握课本上的定义、定理、公式、法则等基础知识，体会其中包含的数学思想和数学方法. 基础较好的同学更应该研究教材，达到准确掌握、熟练运用的程度. 钻研教材就是为了吃透教材，吃透教材主要体现在三个字：准、熟、灵. 准就是对每个知识点都要准确掌握，不能似懂非懂，模棱两可. 阅读课本不能一目十行，或只关心课本上的题目，而应该是对课本逐字逐句钻研，从而达到透彻理解的效果. 熟就是对学过的内容能熟练运用，能很快找准解题思路. 对于数学只看不练是不行的，只练不想也是不行的. 有些题目虽然看懂了，但还不一定会做，会做了也不一定规范、准确. 所以只有通过模仿、练习及反思才能达到熟能生巧的境界. 灵就是要学会灵活运用知识，熟悉基本套路的各种变形和应用，理解它的实质以及与其他知识的内在联系，弄清知识的产生和发展过程，找到解决一类问题的方法，达到举一反三的效果. 笔者就是想通过文中的例子说明题目间的内在联系，从而使同学们学会去解这类三角应用题. 当然，回归课本并不是单纯地做课本练习题，而是带着问题看课本，了解教材的编写意图，知道命题者究竟想考什么，遇到类似的问题怎么办，这样的复习就能事半功倍了.endprint

在高三复习三角函数时，笔者从课本练习题和一些模拟试题中，发现了几个相关联的问题，于是把它们“串”起来说一说.

例1 （苏教版必修4第49页）一铁棒水平通过如图1所示的直角走廊，试回答下列问题：

（1）证明棒长L（θ）=+；

（2）当θ∈0，时，作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；

（3）由（2）中的图象求L（θ）的最小值（可用计算器或计算机）；

（4）解释（3）中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.

图1

例1是一道课本练习题，所设计的四个问题逐层推进，从第（1）问的棒长的表示，到第（3）问求棒长的最小值，再将问题深化到第（4）问的解释能通过这个走廊的铁棒长度的最大值. 虽然本题的最值需借助于其他工具，但问题的设计和引导能使得我们相对容易地接受这个应用模型.为了便于计算，我们可将题中的数据加以修改.

例2 一铁棒水平通过如图2所示的直角走廊，问：

（1）用θ角表示铁棒长度L（θ）；

（2）求能通过这个直角走廊的铁棒长度的最大值.

图2

分析：走廊的拐角将铁棒分为两段，求三角形的边长是解题目标，构造三角形是解决问题的关键.

解：（1）过点M分别作墙壁的垂线，垂足分别为点C，D. 在Rt△ACM中，CM=1.2，∠CAM=θ，所以AM=. 同理，BM=. L（θ）=AM+BM=+=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，则sinθ·cosθ=. L==1.2·=2.4·=2.4·. 因为t-在区间（1，]上单调递增，所以当t=时，L（θ）取最小值.

答：能通过这个直角走廊的铁棒长度的最大值为 m.

由例1和例2可以看出，课本题具有很强的指导性，它们会作为模拟试题和高考试题命制的源泉. 解题时，我们又注意到为了能使得通过走廊的铁棒尽量长，铁棒总是倚着拐角处. 如果把拐角看做一点，将铁棒看成一直线，则该直线始终经过拐角的那一点. 于是题目又可修改为：

例3 如图3，在平面直角坐标系xOy中，过点M（1.2，1.2）的直线分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B，求线段AB长度的最小值.

图3

分析：本题给出点M的坐标，引入直线的斜率k（k<0）是常规思路，但求出的A，B两点的坐标相对烦琐，再由两点间的距离公式或勾股定理表示出的线段AB长更加麻烦，很难再去求出线段的最值（请读者自行尝试）. 考虑到本题与例2的相关性，可用三角知识来解决.

解：设∠BAO=θ，过点M分别作x，y轴的垂线，垂足分别为点C，D. 则CM=DM=1.2，AB=AM+BM=+θ∈0，？摇，以下过程同例2.

从例3可以看出，两道载体完全不同的题目，经过转化后，思路和方法变得完全相同. 问题还可以进一步演变为：

例4 一宽为1 m的平板车水平通过如图4所示的直角走廊，问：

（1）用θ角表示平板车的长L（θ）；

（2）求能通过这个直角走廊的平板车长度的最大值.

图4

解：（1）设∠AFD=θ，在直角三角形ADF中，DF===. 同理，在直角三角形BCE中，CE=BC·tanθ=，所以AB=CD=EF-DF-CE=EM+FM-CE-DF=+--=0<θ<.

（2）令t=sinθ+cosθ=·sinθ+∈（1，]，则sinθ·cosθ=，所以L==2·. 令m=2t-1∈（1，2-1]，则t=，所以L=2·==. 因为m-在（1，2-1]上单调递增，则当m=2-1即θ=时，L（θ）取得最小值4-2.

答：能通过这个直角走廊的平板车长度的最大值为（4-2）m.

从例4不难发现，在与几何图形有关的最值问题中，引入角作为变量可以使得边角关系更简洁.

例5 一走廊拐角处的横截面如图5所示，已知内壁FG和外壁BC都是半径为1 m的四分之一圆弧，AB，DC分别与圆弧BC相切于B，C两点，EF∥AB，GH∥CD，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1 m.

（1）若水平放置的木棒MN的两个端点M，N分别在外壁CD和AB上，且木棒与内壁圆弧相切于点P. 设∠CMN=θ，试用θ表示木棒MN的长度L（θ）；

（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值.

图5

解：（1）连接PQ，过点P作PR⊥GQ于点R，过点P作PS⊥AB于点S. 因为PR∥CD，所以∠PQR=θ. 在△PQR中，PR=sinθ. 又由SR=2，所以PS=SR-PR=2-sinθ. 在Rt△PSN中，∠SPN=θ，所以PN==. 同理，PM=，则MN=PM+PN=+=0<θ<.

以下过程同例4.

例5仍然以角为核心，利用圆的切线以及走廊的直线部分构建直角三角形，把看似复杂的问题化归到具体图形中，所求线段自然迎刃而解. 而且巧合的是，例5与例4的L（θ）关于θ的表达式完全相同，那么这两道题有没有必然联系呢？

分析：过点Q作与MN平行的直线，分别与AB，CD两边相交，过点M，N作这条平行线的垂线，垂足分别为H，I，过点Q分别作AB，CD的平行线形成墙壁，则例5就转化为宽为1 m的矩形平板车MNIH欲通过宽为2 m的走廊，求能通过这个走廊的平板车长度的最大值，显然这就是例题4了.

图6

由这些相关例题我们不难发现数学题目命制的源泉是课本，试题研究就要充分挖掘课本上的典型例题和习题，通过适当转化、拓展、延伸、变形与综合，加深对核心概念及核心数学思想的理解与掌握，达到增强知识理解、培养数学思维的目的. 基础较薄弱的同学，应该仔细阅读教材，认真琢磨书上的例题，牢固掌握课本上的定义、定理、公式、法则等基础知识，体会其中包含的数学思想和数学方法. 基础较好的同学更应该研究教材，达到准确掌握、熟练运用的程度. 钻研教材就是为了吃透教材，吃透教材主要体现在三个字：准、熟、灵. 准就是对每个知识点都要准确掌握，不能似懂非懂，模棱两可. 阅读课本不能一目十行，或只关心课本上的题目，而应该是对课本逐字逐句钻研，从而达到透彻理解的效果. 熟就是对学过的内容能熟练运用，能很快找准解题思路. 对于数学只看不练是不行的，只练不想也是不行的. 有些题目虽然看懂了，但还不一定会做，会做了也不一定规范、准确. 所以只有通过模仿、练习及反思才能达到熟能生巧的境界. 灵就是要学会灵活运用知识，熟悉基本套路的各种变形和应用，理解它的实质以及与其他知识的内在联系，弄清知识的产生和发展过程，找到解决一类问题的方法，达到举一反三的效果. 笔者就是想通过文中的例子说明题目间的内在联系，从而使同学们学会去解这类三角应用题. 当然，回归课本并不是单纯地做课本练习题，而是带着问题看课本，了解教材的编写意图，知道命题者究竟想考什么，遇到类似的问题怎么办，这样的复习就能事半功倍了.endprint