波利亚解题表在中考数学复习解题中的应用

黄兆芹

江苏省泰州市姜堰区里华初级中学

中考是人生中的第一次挑战，解题是中考数学复习教学中最重要的活动形式之一，因此提高学生分析和解决问题的能力可以说是数学教学的根本目标。乔治.波利亚是美籍匈牙利数学家、教育家，他是解题方法论的鼻祖。波利亚主张数学教育的主要目的之一是发展学生的解决问题的能力，教会学生思考。波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的过程应包括四大步骤：“弄清题意”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”。为了解决一个问题，首先我们必须了解问题，弄清楚要求什么；其次，我们必须了解各个量之间有怎样的联系，未知数和已知数之间有什么关系，为了得到解题的思路，应该制定一个计划；再次，实现我们的计划，检验每一个步骤；最后，验算所得到的解，并将结果和方法试着用于其他问题。[1]

下面是实践波利亚解题表的一个示例。

例：如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A、B，与y轴交于点C，其顶点为D，且直线DC的解析式为y=x+3

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值。

讲解：第一，弄清问题

问题1.你要求解的是什么？

问题2.有哪些已知条件？

本题需要求解的（1）二次函数的解析式（2）四边形ACPB的面积最大值。已知二次函数的一般式，其中有两个待定系数b、c，直线的解析式，P是第一象限内抛物线上一动点这些条件。

在例21中，作者以权威机构的数据来支持自己的立场观点；同样，在例22中，说话者以一个具体的调查来质疑“一带一路”倡议，一方面增加其立场态度的可信度，另一方面压缩其他观点的可能性。

弄清问题阶段，就是教会学生形成正确的审题方法。审清题目中的文字叙述：已知是什么？未知是什么？已知条件是什么？未知条件是什么？满足条件是否可能？比如有的数学问题的给出是以数学语言直接给出，这时可引导学生借助图像、图表将题目中的条件之间的关系表示出来。对于几何证明题，我们可以将已知条件标注在图中，这样就一目了然了。

第二，拟定计划

问题3.怎样求出？

分析：要求二次函数的解析式，已知二次函数的一般式，其中有两个待定系数b、c，就需要已知抛物线上的两个点。题中标出A、B、C、D，没有哪个点的坐标是已知的，但是我们知道C、D两点比较特殊，它们既在抛物线上，同时也在直线CD上，具有双重身份，且C为直线DC：y=x+3与y轴的交点，因此可以很快求出C点的坐标，C（0,3），代入抛物线就可以求出c，只剩下一个待定的系数b。D点是抛物线的顶点，就可以将顶点坐标D用还有b的代数式表示出来，再代入直线CD，求出b，从而二次函数的解析式就求出来了。

要求四边形ACPB的面积最大值，A、B、C三点是固定的，则四边形ACPB的面积取决于P点坐标的确定。S四边形ACPB=S△ABC+S△BCP,△ABC的面积是固定的，△BCP的面积是变化的，但是可将不变的BC看作底边，实际上求四边形ACPB的面积最大值，就是求△BCP的面积的最大值，就是求BC边上的高的最大值，就是过抛物线上的点P作BC的垂线段，求垂线段的最大值，则当与BC平行的直线与抛物线相切时，过P点的垂线段最大。可以先求出BC的直线方程，设与BC平行的直线，与抛物线只有一个交点时，直线解析式，从而求出此时的高，问题解决了。

拟定计划阶段，实际上是充分暴露思维过程的阶段。教师应指导学生对数学解题过程进行分析、归纳，指导学生理解和运用数学思想方法，领悟数学解题常见的一些策略：以退求进、问题转化、模式识别等。

至此，我们在已知和未知之间建立了一个不中断的联络网，解题思路全部沟通。

第三，实现计划（解题过程）

实现计划阶段，要求学生规范运算过程，培养学生科学严谨、一丝不苟的品质。

第四，回顾

①正面验证每一步推理是合理的、有效的，计算是精确的。

②还能用其他方法得到这个结果吗？条条大道通罗马，万事不是绝对的，我们应该在信念上坚信每道题目都是有多种解法的，那么，本例有没有其他解法呢？有，下面是本例的另两解。

解法二：

（1） 能将本例的方法运用于其他的问题吗？能！

例：如图，直角梯形 ABCD 中，AD//BC，∠B=90°，BC=2AB=2AD=4，以AB为直径作⊙0，点P在梯形内的半圆弧上运动，则△CPD的最小面积是_________。在这里我们也运用了在“变中寻求不变量”的思想。

可见，这是本题解决问题的“泉眼”，勤于分析已知条件，对于培养解数学题的“灵感”是非常有必要的。

回顾阶段，善于一题多变及多题不变（在变中寻求不变量）提高学生的解题能力。回顾阶段，实际上就是反思阶段。我们不仅要反思审题过程，特别对那些有过反复曲折过程的问题进行反思，而且要反思解题的思路，特别做完一道题后，应认真分析解题过程有没有思维回路，哪些过程可以合并或转换，还有没有更好的解题途径。有时我们还需反思题目的结论，能否从其它角度重新审视题目，将问题的结论进行推广。

波利亚也曾说过：在你找到第一个蘑菇时，继续观察，就能发现一堆蘑菇。在问题解决后，我们不妨“回头看看”，可根据学生的实际适当的进行一题多解、一题多变、多题寻求不变。注意数学的思想和方法的总结、提炼和升华，进一步拓展学生的思维、优化解题过程。只要我们平时多采用波利亚的解题理论多分析，就能提高学生的自我意识、自我评价，提高学生的独立分析问题和解决能力的能力，从而能在中考中考出自己的水平。

[1][美]波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2007.