发生认识论在初中数学教学中的应用

徐红斌

[摘 要] 让·皮亚杰对学生的心理发展作了精辟的论述，深深地影响了当代关于学生发展的教育改革. 笔者结合近年来对该理论的学习和理解，从发生认识论的创设、利用和开发三个角度阐述了数学教学中“发生认识论”这一理论的意义和指导作用.

[关键词] 发生认识论；现有水平；增长水平

瑞士心理学家让·皮亚杰认为：“发生认识论的特点便是从各种知识最基本形式开始，去发觉它们的根源，追溯它们从最初水平直到科学思想的发展过程.”这就要求我们教师“凡是你教的东西，就要教得透彻”，要让你的数学教学活动做到返璞归真，从而使数学教学真正与学生的发生认识相融合.

在教学过程中应该注意创设“发

生认识”的情境

在教学过程中，我们的起点是学生的现有水平，终点是学生的增长水平. 要完成从起点到终点的转化，教师首先要透彻深钻教材，把握教材中最主要、最本质的东西. 教师只有不断揣摩教材，才能对教材有独到的体悟，在课堂教学中也才能做到“精彩纷呈”.

例如，教学乘法公式“平方差公式”：（a+b）（a-b）=a2-b2.

首先，我有意识地向学生讲述了“分割土地”的数学故事，用图形知识来验证猜想，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为b（b

当我给出图形后，班级里有相当一部分学生已经在尝试用图形验证猜想公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.

接着，我又根据学生已经掌握了多项式乘法的规则，作为多项式乘法的特例，先利用乘法规则来推得该公式，从而进一步推进教学.

（1）运算：（a+b）（a-b）

学生在“现有水平”的基础上，发生认识，推得公式：（a+b）（a-b）=a2-b2，从而发展到“增长水平 ”，进而又成为新的“现有水平”.

（2）关于公式的简单理解

计算：①（5x+y）（5x-y）；②（m+2n）·（2n-m）.

你能说出这个公式的特点吗？注意：①公式中的a与b可以是数，也可以是单项式、多项式或其他代数式. ②正确判断哪个数为a，哪个数为b（与位置、自身的性质符号无关，两因式中的两对数是否有一对数完全相同，而另一对数互为相反数）. 进一步巩固新的“现有水平”.

（3）扩大字母的变化范围

计算：①102×98；②19×20.

（4）符号变化的练习

计算：①（-x+3y）（-x-3y）；②（-5-4y）（-5+4y）.

在关于公式具体化的过程中，随着意义的逐步加深，其内容和难度也逐步增大，使得学生对公式的结构、内在联系体会得更加具体、深刻，这一比较，可以使学生开阔视野，更好地掌握公式.

在上述练习都达到一定程度后，还可以把公式形式化为（△+○）（△-○）=△2-○2，其中△和○是待填的空位置，不但可以填数字、字母、代数式，还可以填其他复杂的式子. 到了这一步，这种表达式会给学生一种深刻、形象的感觉，从而为学生的形式运算能力打下基础. 最后，学生的成绩会有比较明显的提高.

整个教学过程中，我拉近了数学与学生的距离，让学生感受到了它的火热，享受数学中生动的故事；循序渐进、层层深入，学生不断地发生认识，从一个现有水平，到达新的增长水平，然后循环往复不断发生认识，建立新的现有水平，再到达新的增长水平，进而积极引导学生向高层发展；层次逐步递进，结合学生的思考和发挥，学生不断发生认识，推进数学思维发展的过程. 不过，在具体的教学中，教师应注意教学层次和要求，不能超越学生的发生认识力度，否则有可能使学生感到高不可攀.

在解决问题与运用知识中要充

分利用“发生认识”

学生发生认识的水平是一个由低级到高级、由简单到复杂的渐进过程，因此，教学应该是循序渐进的，应该及时地抓住和利用学生发生认识的欲望，使得学习变为自发的、主动的，也是最有效的.

例如，“行程问题”这一课时.

第一步：创设两个问题.

问题1 运动场环形跑道的周长为400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的相反方向同时出发，5 min后小红第一次与爷爷相遇，求小红和爷爷各自跑步的速度.

问题2 运动场环形跑道的周长为400 m，小红跑步的速度是爷爷的倍，他们从同一起点沿跑道的相同方向同时出发，5 min后小红第一次与爷爷相遇，求小红和爷爷各自跑步的速度.

对于问题1，学生很快想到利用相遇问题解决；对于问题2，有些学生可能会想到用追及问题，但经尝试后无法解决，从而产生认知冲突——如何解决这类问题呢？这就激发了学生的探究欲望.

第二步：引导学生探究发现.

1. 启发思考. 到底追了多少？与一圈400 m有什么关系呢？学生可能无法下手，此时，教师作点拨，能否从特殊性中找关系？沿着出发点剪开，拉成直线，是不是要追400米呢？

2. 从探究特殊情况中发现规律：

（1）遇到类似相遇问题时，速度和×相遇时间=相距距离.

（2）遇到类似追及问题时，速度差×追及时间=追及距离.

（3）要求学生探讨如下问题：小明和小亮同时沿400 m的跑道朝同一方向练习赛跑，已知小明的速度是150 m/min，小亮的速度是200 m/min.

①如果他们在同一地点出发，小亮经过多少分与小明第一次相遇？

②如果出发时小明在小亮前面100 m处，那么经过多少分两人第一次相遇？

③如果出发时小亮在小明前面100 m处，那么经过多少分小亮追上小明？

3. 由特殊到一般，引导学生大胆猜想，学生不难发现慢的在前，追劣弧；快的在前，追优弧.

第三步：证明猜想，引导学生利用相对速度来解决问题.

G·波利亚指出：学习最好的途径是自己去发现，学生如能在教师创设的情境中像数学家那样去“想数学”，“经历”一遍发现规律的过程，就能在获得规律的同时培养他们的创造精神. 在“行程问题”教学中，学生通过自主探究经历了速度和与速度差概念的发生过程，实现了由相遇追及到相对速度，由具体到抽象的思维过程，从而培养了学生的概括思维能力和抽象思维能力，同时也激发了学生学习的动机与探究热情.

在应用意识和创新意识的培养

中开发“发生认识”

教学过程中，教师应根据学生智力技能的发展过程，在应用和创新中对思维水平的“发生认识”进行合理开发，让学生感到“跳一跳就可以摘到桃子”. 这时，学生才会对学习真正充满兴趣和乐趣，逐渐从中领悟到数学的思维、应用和文化功能，从而不自觉地增强其数学研究和应用意识，以致在头脑中产生、建立正确的数学观念，由想学数学到热爱数学，最终发展到学好数学，于潜移默化中提高数学能力，推进数学素质.

比如，教材上有这样一道习题——证明：四边形的内角和是360°. 证明这个命题，学生能够想到的方法一般是连接一条或两条对角线，将四边形分割成两个或四个三角形，利用三角形的内角和是180°来证明，这已经不错了，但尚可以探索其他的分割方法. 通过引导，学生可以找到以下五种分割方法（如图4所示）：

教师要精心设置各类问题，在现有知识水平的基础上，引导学生探索问题的独特、解法的新颖，使人耳目一新；寻找问题的多种解法，使人思维变通，由一个到一类尝试对问题进行推广；同时，鼓励学生标新立异，使其用尽可能新的方法去解决问题，在自主探索的活动空间中获取新知识，进一步发挥潜在水平！

结语

“发生认识”理论指导下的数学教学，应该立足启发式教学，循序渐进，引导学生主动思考、积极探索，激发学生学习数学的兴趣和动机，培养学生的数学素养，发展学生的思维，促进学生的发展. 这一理论的发展、完善，及在教学中的充分应用，有待我们广大数学教师共同努力.