例谈整体思想在数学解题中的应用

姚根红+施刚良

“整体”与“局部”是一对哲学范畴的概念. 整体是由各个局部构成的，但并非各个局部的简单相加，它表现出局部所不具有的优越性.局部是整体的一部分，它有时会影响整体，甚至还起到决定性的作用.整体思想在数学解题中非常重要，它使得我们在具体的解题过程中能不纠缠于“细枝末节”，达到“直捣黄龙”的境地，能使我们清楚地“看到”问题的本质，让人感到有种“居高临下”的感觉.

一、整体思想在函数零点问题中的应用

函数零点问题一般都用零点分布定理，并结合分类讨论和数形结合的思想加以解决.这样的处理体现出解题的通性、通法，但解决过程有时会变得非常烦琐，看不到问题的本质.如果能借助于整体思想，那就使我们在解题时“既见树木，又见森林”了.

例1 已知函数f（x）=x2+2ax+b在[1，2]上有两个零点，证明：0≤a+b≤2.

一般性解法：利用零点的分布问题加以讨论，可以得到有关a，b的不等式组，然后再利用线性规划的知识.尽管能将结果求出来，但计算量大，一不小心就会求错.这种解法是从“局部”入手，题目的意思被分解得很细，显得很程序化，策略性的东西没有体现出来，没有表现出一定的思维含量.如果我们从“整体”的角度加以求解，则又将会是另一番情境.

另解：设f（x）的两个零点为x1，x2∈[1，2]，则f（x）=x2+2ax+b=（x-x1）（x-x2），由题意知：要求a+b的范围，故可以先整体地将它表达出来，于是令x=，则+a+b=f（）=

-x1

-x2，即a+b=x1-

·x2

--.由于x1，x2∈[1，2]，即知x1-

x2

-∈[，]，所以0≤a+b≤2.

评注：上面的另解没有在细枝末节上下功夫，而是采用“设而不求，整体代换”的思想，关键是理解了零点与根的关系，计算过程显得简洁. 此题还可以作如下的变式：已知函数f（x）=x3+2ax+b在[1，2]上有三个零点，证明：0≤a+b≤.如果采用一般性的解法，就会显得非常烦琐，让人“望而却步”，但如果采用另解的思想就能轻松地加以解决，由此可见从“整体”上切入问题的重要性.

利用上面的解题思想方法，我们可以很容易解2013年浙江省高中数学竞赛第19题： 设二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在[3，4]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值.

解： 由题意，设t为二次函数在[3，4]上的零点，则有at2+（2b+1）t-a-2=0，将它变形为（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2.于是，由柯西不等式知，（2-t）2=[a（t2-1）+2bt]2≤（a2+b2）[（t2-1）+4t2]=（a2+b2）（1+t2）2，即a2+b2≥（）2=≥.因为g（t）=t-2+，t∈[3，4]是减函数，上式在t=3，a=-，b=-时取等号，故a2+b2的最小值为.类似的题目还有：已知a，b∈R，关于x的方程x4+ax3+2x2+bx+1=0有一个实根，求a2+b2的最小值. 此题留给读者思考.

二、整体思想在函数极值问题中的应用

一般在处理函数极值问题时，都是先对函数求导，再利用导函数的性质研究其单调性，这是从局部来处理函数极值问题的通性、通法.如果能对问题先进行处理，再利用整体思想和数形结合的思想，使得“图形一见，答案出现”，从函数的图象来整体地把握函数的极值问题，就会达到事半功倍之效.

例2 max{x3+2x+t，x≤1}= .

一般性解法：设f（x）=x3+2x+t，x≤1，再对f（x）求导，求出f（x）的极值和端点处的函数值，然后将极值和端点处的函数值取绝对值比较大小后，求出最大值，这要涉及分类讨论，计算过程比较烦琐.

另解：注意到y=x3+2x在x≤1上是奇函数，所以，y∈[-3，3]，于是，要求 max{x3+2x+t，x≤1}，只要求max{y+t，y≤3}即可，由绝对值的几何意义（如图1）即知：max{y+t，y≤3}=t+3.

评注：此题改编于2008年浙江高考数学（理科）卷第15题：已知max{x2-2x-t，0≤x≤3}=2，则t= .同样，此高考题采用整体的思想加以解决的话，口算就可以，根本就不需要动笔.这也体现高考试题考查学生“少算多想”的理念.

例3 已知e为自然对数的底数，设函数f（x）=（ex-1）（x-1）k（k=1，2），则

A.当k=1时，f（x）在x=1处取到极小值

B.当k=1时，f（x）在x=1处取到极大值

C.当k=2时，f（x）在x=1处取到极小值

D.当k=2时，f（x）在x=1处取到极大值

一般性解法：学生往往不假思索，先对f（x）求导，然后再画图象，这是一种通性通法.虽然也可以将图象画出来，但这样做有点“小题大做”.

另解：可以通过画草图（见图2），此题的关键点就是点（1，0），这是由函数解析式f（x）=（ex-1）（x-1）k（k=1，2）所决定的.

评注：上述问题的解决过程能有效地考查学生的数形结合的意识、整体和局部地看问题的意识.笔者通过研究发现，这道试题有一定的背景，即2010年浙江高考数学（理科）卷第22题第1小题：已知a是给定的实常数.设函数f（x）=（x-a）2（x+b）ek，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点.（1）求b的取值范围.（2）略.

另一背景即2013年浙江省高中数学竞赛第9题：设函数f（x）=x（x-1）2（x-2）3（x-3）4，则函数y=f（x）的极大值点为（ ）

A. x=0 B. x=1 C. x=2 D. x=3

上述两个题目都可以采用整体和局部的思想加以解决，同时也体现出数形结合在研究问题中的作用.

三、整体思想在函数导数问题中的应用

有关函数的导数问题，我们往往都是直接对函数“强制求导”，这是我们解题屡试不爽的“利器”.但有时我们可以反其道而行之，不求导而对函数求积分，利用积分思想从整体上去把握函数的特征，这能凸现我们的高观点.

例4 已知a>0，b∈R，函数f（x）=4ax3-2bx-a+b.（1）证明：当0≤x≤1时，①函数f（x）的最大值为2a-b+a；②f（x）+2a-b+a≥0.（2）略.

一般性解法：学生碰到此类函数问题，先对函数f（x）=4ax3-2bx-a+b求导，然后分类讨论求极值，再通过与f（0），f（1）比较大小来解决问题.这样做会导致复杂的计算.

另解：①证明：由于f"（x）=24ax>0，故由函数的凹凸性知：f（x）max=max{f（0），f（1）}=+=2a-b+a.

②由题意，函数f（x）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为：f（x）dx=0.设折线A-C-B对应的函数为g（x），由于函数f（x）在[0，1]上为凹函数，故x∈[0，1]时，g（x）≥f（x）.于是，g（x）dx≥f（x）dx=0，即知g（x）在[0，1]上与坐标轴围成的面积为大于等于0，我们有此可以得到：f（x）max≥f（x）min.若不然，即f（x）maxS△BBE，S△DCE>S△AOD，故g（x）在[0，1]上与坐标轴围成的面积：

g（x）dx=S△AOD-S△DCE+S△BBE-S△CCE<0+0=0，这与g（x）dx≥f（x）dx=0矛盾.

因此，由f（x）max≥f（x）min，知f（x）+2a-b+a≥f（x）min+f（x）max≥f（x）min+f（x）min≥0.

评注：第②题一般采用导函数法，但我们反其道而行之，不用求导，反而用积分的思想加以解决.事实上，根据高等数学的观点：导数是研究函数局部性质的一个“利器”，但要研究整体的性质非借助于积分不可.所以，我们借助于积分的思想，能在整体上清楚地看到解决第②题的关键：f（x）max≥f（x）min，此题的本质显得非常直观、简单，论证过程自然流畅、一气呵成.我们被这样精美的构思、奇妙的解法、鲜明的本质所深深地震撼，真正由衷地感叹命题者的“观点之高”和试题命制的意义所在.

杜甫“望岳”中有两句诗：会当凌绝顶，一览众山小.这两句诗不仅表达了诗人俯视一切的雄心和气概，同时还很好地刻画了整体地看待事物的意境，更加凸现泰山高大巍峨的气势，使得诗人登高望远，眼前景色一览无余，给人一种心旷神怡的感觉.所以，我们在研究数学问题时，应该首先关注题目的整体结构，这样有助于我们把握解题的大方向，使得我们能“看到”问题的本质.然后，再从局部入手.由此可见，整体的思想方法就像一个“指南针”，它指引着我们解题的方向，使得我们不至于被细节迷失方向.