正弦信号DFT 之频谱泄漏问题的多角度分析*

谢小娟，聂建多，李时阳，杨 威，孟 伟

(安徽师范大学物理与电子信息学院，安徽 芜湖 241000)

对模拟信号频谱的分析一直是信号分析的热点问题。目前所见为了减少频谱泄漏以提高谱的分辨率的各类文献，多是基于某一个方面的研究，如最常见的是在信号截断环节采用时域加窗法［1，3］，也有从信号自身特点进行分析的相关研究［2，4］。本文基于模拟信号DFT 谱分析的流程图(如图1所示)，先后考查采样环节、数据截断环节及待分析信号x(t)自身特点这三个方面，综合分析了影响信号频谱泄漏的四个因素，并给出了MATLAB 仿真。

1 频谱泄漏概念

在现代数字信号处理方式中，对信号的频域分析意义已经远远超出对其时域分析，频域分析可更加直观地观察信号的频率特性，便于计算和存储。而由傅里叶变换理论可得知，若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽;若要求信号频谱有限宽，则其持续时间必然为无限长。严格的说，不存在持续时间有限的带限信号，故对其不能够进行DFT 变换［1］。因此，用DFT 对连续信号和离散序列进行谱分析时，必须对原始信号进行有限点的截取处理，而在用DFT 变换进行谱分析时其结果必然是近似的。例如在对于频率为f1的正弦序列，它的频谱应该只是在f1处有离散谱。但在利用DFT求其频谱时进行了截断，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，结果使信号的频谱不仅f1处有离散谱，而在以f1为中心的频带范围内都有谱线出现，它们可以理解为是从f1频率上“泄漏”出去的，这种现象称为频谱“泄漏”。为了有效抑制DFT 谱分析的频谱泄漏现象，提高谱的分辨率，本文从以下四个方面综合进行考察。

图1 利用DFT 计算连续信号频谱的流程图

2 抑制频谱泄漏的方法

2.1 基于高采样率抑制频谱泄漏

对于理想采样过程，采样信号的频谱X^a(jΩ)和原来模拟信号的频谱X(jΩ)之间的关系为:

(1)式表明，采样信号频谱将以采样频率为周期进行周期延拓。只要各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则可以完全恢复原来的模拟信号。而要保证各延拓分量与原频谱分量之间不发生频率上的交叠，则必须满足Ωs≥2Ωmax。这就是奈奎斯特采样定理。

下面对信号x(t)=cos(100πt)，进行不同频率的采样并计算其DFT 幅度谱如图2 所示。

图2 同一信号片段不同采同频率计算的幅度谱

由图2 可见，采样频率越高，采样信号频谱越接近原始信号理想频谱，泄漏现象也明显改善。

2.2 时域加窗法抑制频谱泄漏的研究

由图1 所示，信号经采样后再截断处理产生能量泄漏是必然的，下面在截断环节通过时域加窗来改善频谱泄漏现象。假定采样后的离散序列x(n)，经过截断变成有限长序列xN(n)，则:

其中，ωN(n)为窗函数(截断函数)。窗函数是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(n)是有限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，使得截断信号在频域的能量分布扩展。如果增大截断长度，即窗函数窗口加宽，则窗谱WN(ejΩ)将被压缩变窄。虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T 趋于无穷大时，则谱窗将变为δ(Ω)函数，即窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差。

泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如图3 所示。为此，在时域中可根据不同信号对频谱质量的要求，采用不同的窗函数如表1 所示来进行截断。

图3 矩形窗频谱函数幅度谱

表1 常用窗函数基本参数

下面通过对信号x(t)=cos(60πt)+cos(100πt)进行加窗分析，可以看出各窗函数的性质和特点。

图4 信号的真实频谱

图5 采用不同窗函数截断后信号的频谱

说明:

(a)矩形窗优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，甚至出现负谱现象。

(b)三角窗缺点是主瓣比较宽，优点是旁瓣衰减大。

(c)汉宁窗是3 个矩形时间窗的频谱之和，它可以使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。

(d)海明窗也是余弦窗的一种，海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。

对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等;如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等;对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗提高信噪比。

2.3 信号初始相位对频谱泄漏的影响

频谱泄漏会降低谱的分辨率，频谱分辨率是指所采用的算法能够识别两个单音信号的最小频谱间隔。在实际测量中，通常根据频谱分辨率确定所需要的最小采样点数，一般认为DFT 频谱分辨率Δf=fs/N，然而在实际应用中，根据此定义确定的采样点数N 往往不能满足要求。

对于信号x(n)=sin(0.04πn)+cos(0.08πn)，其相位差为3π/2。图6 中图(a)和图(b)分别给出了N=50 和N=100 点时DFT 的幅度频谱。而对于相位差为0 的x(n)=cos(0.04πn)+cos(0.08πn)，图(c)、(d)分别给出N=50 和100 点时DFT 的幅度频谱。

图6 不同初始相位的信号的频谱

由图6 可见，为了区分两个频率分量，对于相位差不为0时的两个单频信号，当N=100 时才能正确区分，而相位差为0 的两个单频信号，当N=50 即能正确区分，由此验证了文献［2］所述初相对DFT 频谱分辨率的影响。

2.4 周期正弦信号的截断长度对频谱泄漏的影响

对信号x(n)=cos(2πnfa/fs)=sin(2πn/8)按采样频率fs=8fa采样，截取长度N 分别选N=20 和N=16，观察其DFT 结果的幅度谱。

图7 不同截取长度的正弦信号及DFT 结果

计算结果如图7 所示，(a)和(b)分别是N=20 时的截取信号和DFT 结果，由于截取了两个半周期，频谱出现泄漏;(c)和(d)分别是N=16 时的截取信号和DFT 结果，由于截取了两个整周期，得到单一谱线的频谱。上述频谱的误差主要是由于时域中对信号的非整周期截断产生的频谱泄漏。

3 结束语

本文综合分析了影响正弦信号DFT 谱分析频谱泄漏的四个因素，并结合实例进行了MATLAB 仿真。结果表明采样频率的高低、数据截断的长度和方法、以及信号本身的特性(周期性和初始相位)都在一定程度上影响谱分析的精度。

［1］高西全，丁玉美.数字信号处理［M］.西安：西安电子科技大学出版社，2008.

［2］王刚，王艳芬，张晓光，等.关于离散傅里叶变换频率分辨率的讨论［J］.电气电子教学学报，2006(6)：18－20.

［3］陈卫东，杨绍全.加窗对离散傅里叶变换测频分辨率研究［J］.西安电子科技大学学报，2000(2) ：157－160.

［4］李春宇，张晓林，张展，等.基于DFT 的正弦波初相估计算法及误差分析［J］.北京航空航天大学学报，2007，33(5) ：580－584.