高中数学概念有意义学习的监控策略及案例

王小亮

高中数学知识的学习离不开“概念教学”，除了概念外，数学知识就是“命题”，不过从“数学命题”来看，概念还是其最基本的组份，因此，概念教学的优劣关系到整个高中数学教学的效果，学生是教学的主体，我们应该引导学生完成概念的有意义构建，而这个过程中教师的主导、监控作用不可忽视.本文就对学生数学概念学习过程的监控策略进行分析，望能有助于教学实践.

一、数学概念的特点

了解数学概念的特点，是实现对概念教学监控不可或缺的环节，笔者在概念教学实践中，将数学概念的特点总结如下：

1.抽象性.数学概念是对数学对象在数量关系与空间表现形式上的抽象，通常与现实的“脱离”度较大，概念用的是形式化、符号化的专业语言表示，与对象的物质性质无关，具有很强的抽象性，也恰是因为数学概念具有抽象性，才使得数学的应用领域越发广泛.

2.相对具体性.抽象和理解上的难易程度是相对的，从概念体系上看，数学概念体系的建立是由简到繁、逐层建立的，数学对象与低层次的概念是构成高层次概念的基础.从另一个方面来看，数学概念相对于另两种数学思维——数学判断和推理来说，概念在数学学习过程中，是实实在在存在于知识体系中的、具体的知识.

3.逻辑联系性.数学概念具有系统性，各个概念，尤其是高层次与低层次的概念逻辑上具有很强的联系，建立新的概念必须以逻辑定义，而且固定为语言表征、符号表征，从概念体系来看，各个概念构成了严密的数学逻辑体系.

二、数学概念学习的两种形式

理论研究和实践表明，有意义的概念学习通常在形式上具有规律性，“概念形成”和“概念同化”是有意义构建概念的两种形式.

1.什么是概念形成？这种学习形式，从大量的数学例子出发，引导学生在肯定例证的过程中，运用“归纳”的方法将一类数学对象最为本质的属性提炼出来形成新概念，所以概念形成的学习方式，通常可称之为“归纳法”.这种学习效率取决于学生对具体事物抽象的能力.

2.什么是概念同化？这种学习形式，是引导学生主动地、直接地用定义的形式对概念进行陈述，这是借助于学生头脑中的认知表象，将新概念与认知结构中原有的相关概念进行有意义的联系、作用，最后将新概念纳入原有认知结构的过程，所以概念同化的学习方式，通常可称之为“逻辑法”，这种学习效率取决于学生头脑中原有概念体系的稳固度，以及学生迁移能力和逻辑思维能力.

三、数学概念学习的监控策略及实例

1.监控感性材料和知识经验.概念学习是感性到理性逐渐深化的过程，没有感性材料和知识经验作为基础，学生难以辨析数学对象最为本质的属性，有意义的学习自然无从说起.为此，我们在概念教学时，要尽可能地将学生带入熟悉的情境之中，或是用实物、模型、问题等来刺激学生的原有知识、经验.

例如，笔者在和学生一起学习“映射”这个概念时，设计了问题串，激活学生的知识经验，触及概念的本质属性.

问题1：奇数集与偶数集两者相比，哪个元素更多？

问题2：奇数集与正数集两者相比，哪个元素更多？

问题3：一个圆与一条线段两者相比，哪个图形上面的点更多？

问题4：无穷集合A与无穷集合B两者相比，哪个元素更多？

让学生通过对上述问题的思考，触及：“在集合之间建立的某种对应关系”，这恰是概念的本质属性.

2.挖掘新、旧概念的联系.既然数学概念是成体系的，具有逻辑性和整体性，为此，我们在概念教学时，应该注重新、旧概念之间联系的挖掘，促进概念的同化.例如，在和学生一起学习“并集”这个概念时，要善于挖掘概念与“交集”的联系，将“交集、并集”的概念正向联结，还将概念的建立与“且、或”的联系.

3.注重数学概念的产生.数学概念从何而来？是数学家凭空想象、信手拈来的么？数学是自然科学，概念的产生源自于现实世界或数学内部的真实需求.我们在教学过程中要善于挖掘数学史，给学生提供材料揭示概念产生的内因和外因，丰富学生的感性认识，深化数学知识体系的系统性，切忌将数学概念学习简单理解为“条文加例题”.

例如，在和学生一起学习“复数”这个概念时，笔者首先和学生回顾“实数”概念的发展史，让学生感受到“数”这个数学概念是伴随人类实际需要层次的不断提升而发展起来的.从运算上来分析，自然数集、整数集、有理数集、实数集中运算实施情况，同时抛出问题：“实数集对负数开偶数次方则不可实施，怎么办呢？”从数的发展角度来看，引进一种“新数”就顺理成章了，那么对这种新数来说有什么要求呢？“加、减、乘、除、乘方、开方等运算都可实施”，在学生有了这样的认识时，教学过程中引进虚数单位i，学生的心理上就有所准备，复数概念就落到了实处.

4.重视变式与比较.概念学习到内化为学生自己的知识和能力，需要一个反复的过程，变式与比较有利于学生掌握数学概念的本质特征.

（1）变式.所谓“变式”教学就是借助于概念正向的变化来帮助学生排除与概念无关的特征，突出概念的本质特征.例如，在和学生一起学习“复数”这个概念时，举例不能仅仅举2+3i，-5i，6-4i这样的例子，因为上述几个例子会导致有部分学生形成错误的抽象，误认为复数a+bi（a，b∈R）的本质特征为b≠0，笔者在教学中除了上述几个例子外，还同时举了2-32，5，0等例子，引导学生对无关特征进行排除，顺利建立复数这个概念.

（2）比较.所谓“比较”，包括正向例子之间的比较，也包括正、反两方向例子之间的比较，前者以发现其共同本质特征，后者以加深对本质特征与非本质特征的理解.例如，笔者在复习时和学生一起梳理了7种空间“距离”概念的比较（即两点间的距离、点到直线的距离，两平行线间的距离，点到平面的距离，两平行平面的距离，异面直线间的距离，球面上两点间的距离），从共性与区别角度进行区分，促进对这些个体概念更好的理解，同时也建立了空间距离这个整体概念.

5.强化训练.为了使学生牢固地掌握数学概念，并能灵活运用，除了通过实例引进和讲清概念、揭示本质外，还应当在得出概念之后，加强练习，举例说明如何用它们来解决问题.到了适当的阶段，对学过的概念进行归纳、分类、概括、提高，引导学生深入思考，使学生对学过的概念真正系统掌握，融会贯通.endprint