解题思路在于灵活运动

朱爱明

在处理解几问题时，若多从运动的角度来思考，不仅可以拓宽思维，而且还由于揭示了问题的本质，从而达到事半功倍的效果，下面仅以几个例子来说明.

例1在椭圆中，F1，F2为椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率的取值范围为 .

解法1在焦点三角形△PF1F2中，由余弦定理可得F1F22=PF21+PF22-2PF1·PF2cos∠F1PF2，则F1F22=（PF1+PF2）2-3PF1·PF2，即4c2=4a2-3PF1·PF2，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3.又因为PF1+PF2=2a，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3≤（PF1+PF22）2=a2，即a2≤4c2，所以e2≥14，则12≤e<1.

解法2由于在椭圆中，点P在椭圆周上运动时，焦点三角形的顶角∠F1PF2也在不断变化，而且变化时先增大然后减小，当点P为短轴顶点时最大.因为∠F1PF2=60°，所以∠F1BF2≥60°，则∠F1BO≥30°，即sin∠F1BO=ca≥12，故12≤e<1.

点拨解法1运用了余弦定理结合了基本不等式来建立关于e的不等式，从而求出离心率的取值范围；解法2巧妙地利用了焦点三角形中顶角的变化规律，这样就大大简化了解题过程.

类题（2009年福建理科第18题改编）如图，在三角形△MNP中，MP=5，∠NMP=120°，求MN+NP的最小值.

解析由于MN长和∠NMP确定，从运动的观点看，顶点N应在以MN为弦且圆周角为120°的圆弧MP上运动，则由圆的几何性质可知，当顶点N位于MP的中点N′时，MN+NP最小，此时，MN=PN=533，则MN+NP的最小值为1033.

例2（2009年江苏第18题改编）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1∶（x+3）2+（y-1）=4和圆C2∶（x-4）2+（y-5）2=4，设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

解析由于直线l1和l2绕点P旋转，而且两圆全等，则点P一定在线段C1C2的垂直平分线上，当l1和l2分别经过两圆圆心C1，C2时，△PC1C2为等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为（-32，132）或（52，-12）.

点拨充分利用圆的几何性质，有意识地在解析几何中运用平面几何的知识，体现数形结合的思想，往往起到事半功倍的效果.

例3（2008年江苏第14题）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值 .

解析实际上顶点C运动时是有规律的.（若一动点到两个定点的距离之比为常数（不等于1），则这个动点的轨迹是圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称之为“阿波罗尼斯轨迹”），因此可利用顶点C运动的轨迹寻求三角形的高的变化规律.

解以直线AB为x轴，边AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题设可设A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），则由AC=2BC可得，（x+1）2+y2=2[（x-1）2+y2]，整理得顶点C所在圆方程为（x-3）2+y2=8，可知AB边上高的最大值为22，故S△ABC的最大值为22.

例4（2009年南通）已知椭圆C∶y2a2+x2b2=1（a>b>0）的离心率为63，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B（-1，-3）.

（1）求椭圆C和直线l的方程；

（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.若曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与D有公共点，试求实数m的最小值.

解析（1）所求椭圆方程为y212+x24=1，直线l的方程为y=x-2.（过程略）

（2）曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0可整理为圆（x-m）2+（y+2）2=8，其圆心坐标为G（m，-2），半径r=22，表示圆心在直线y=-2上，半径为22的动圆.

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m<0的情形.

设⊙G与直线l相切于点T，则由|a+2-2|2=22，得m=±4.当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l′的方程为x+y+6=0，解方程组x+y+6=0，

x-y-2=0，得T（-2，-4）.

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，所以切点TD，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得mmin=-7-1.

点拨本题第（2）问难点在于平面区域D内点的特点不易把握，如果转化为线性规划问题，则运算量较大，如能抓住动圆运动的特点，利用数形结合的思想便能灵活解题.

在处理解几问题时，若多从运动的角度来思考，不仅可以拓宽思维，而且还由于揭示了问题的本质，从而达到事半功倍的效果，下面仅以几个例子来说明.

例1在椭圆中，F1，F2为椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率的取值范围为 .

解法1在焦点三角形△PF1F2中，由余弦定理可得F1F22=PF21+PF22-2PF1·PF2cos∠F1PF2，则F1F22=（PF1+PF2）2-3PF1·PF2，即4c2=4a2-3PF1·PF2，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3.又因为PF1+PF2=2a，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3≤（PF1+PF22）2=a2，即a2≤4c2，所以e2≥14，则12≤e<1.

解法2由于在椭圆中，点P在椭圆周上运动时，焦点三角形的顶角∠F1PF2也在不断变化，而且变化时先增大然后减小，当点P为短轴顶点时最大.因为∠F1PF2=60°，所以∠F1BF2≥60°，则∠F1BO≥30°，即sin∠F1BO=ca≥12，故12≤e<1.

点拨解法1运用了余弦定理结合了基本不等式来建立关于e的不等式，从而求出离心率的取值范围；解法2巧妙地利用了焦点三角形中顶角的变化规律，这样就大大简化了解题过程.

类题（2009年福建理科第18题改编）如图，在三角形△MNP中，MP=5，∠NMP=120°，求MN+NP的最小值.

解析由于MN长和∠NMP确定，从运动的观点看，顶点N应在以MN为弦且圆周角为120°的圆弧MP上运动，则由圆的几何性质可知，当顶点N位于MP的中点N′时，MN+NP最小，此时，MN=PN=533，则MN+NP的最小值为1033.

例2（2009年江苏第18题改编）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1∶（x+3）2+（y-1）=4和圆C2∶（x-4）2+（y-5）2=4，设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

解析由于直线l1和l2绕点P旋转，而且两圆全等，则点P一定在线段C1C2的垂直平分线上，当l1和l2分别经过两圆圆心C1，C2时，△PC1C2为等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为（-32，132）或（52，-12）.

点拨充分利用圆的几何性质，有意识地在解析几何中运用平面几何的知识，体现数形结合的思想，往往起到事半功倍的效果.

例3（2008年江苏第14题）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值 .

解析实际上顶点C运动时是有规律的.（若一动点到两个定点的距离之比为常数（不等于1），则这个动点的轨迹是圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称之为“阿波罗尼斯轨迹”），因此可利用顶点C运动的轨迹寻求三角形的高的变化规律.

解以直线AB为x轴，边AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题设可设A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），则由AC=2BC可得，（x+1）2+y2=2[（x-1）2+y2]，整理得顶点C所在圆方程为（x-3）2+y2=8，可知AB边上高的最大值为22，故S△ABC的最大值为22.

例4（2009年南通）已知椭圆C∶y2a2+x2b2=1（a>b>0）的离心率为63，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B（-1，-3）.

（1）求椭圆C和直线l的方程；

（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.若曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与D有公共点，试求实数m的最小值.

解析（1）所求椭圆方程为y212+x24=1，直线l的方程为y=x-2.（过程略）

（2）曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0可整理为圆（x-m）2+（y+2）2=8，其圆心坐标为G（m，-2），半径r=22，表示圆心在直线y=-2上，半径为22的动圆.

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m<0的情形.

设⊙G与直线l相切于点T，则由|a+2-2|2=22，得m=±4.当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l′的方程为x+y+6=0，解方程组x+y+6=0，

x-y-2=0，得T（-2，-4）.

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，所以切点TD，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得mmin=-7-1.

点拨本题第（2）问难点在于平面区域D内点的特点不易把握，如果转化为线性规划问题，则运算量较大，如能抓住动圆运动的特点，利用数形结合的思想便能灵活解题.

在处理解几问题时，若多从运动的角度来思考，不仅可以拓宽思维，而且还由于揭示了问题的本质，从而达到事半功倍的效果，下面仅以几个例子来说明.

例1在椭圆中，F1，F2为椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率的取值范围为 .

解法1在焦点三角形△PF1F2中，由余弦定理可得F1F22=PF21+PF22-2PF1·PF2cos∠F1PF2，则F1F22=（PF1+PF2）2-3PF1·PF2，即4c2=4a2-3PF1·PF2，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3.又因为PF1+PF2=2a，所以PF1·PF2=4（a2-c2）3≤（PF1+PF22）2=a2，即a2≤4c2，所以e2≥14，则12≤e<1.

解法2由于在椭圆中，点P在椭圆周上运动时，焦点三角形的顶角∠F1PF2也在不断变化，而且变化时先增大然后减小，当点P为短轴顶点时最大.因为∠F1PF2=60°，所以∠F1BF2≥60°，则∠F1BO≥30°，即sin∠F1BO=ca≥12，故12≤e<1.

点拨解法1运用了余弦定理结合了基本不等式来建立关于e的不等式，从而求出离心率的取值范围；解法2巧妙地利用了焦点三角形中顶角的变化规律，这样就大大简化了解题过程.

类题（2009年福建理科第18题改编）如图，在三角形△MNP中，MP=5，∠NMP=120°，求MN+NP的最小值.

解析由于MN长和∠NMP确定，从运动的观点看，顶点N应在以MN为弦且圆周角为120°的圆弧MP上运动，则由圆的几何性质可知，当顶点N位于MP的中点N′时，MN+NP最小，此时，MN=PN=533，则MN+NP的最小值为1033.

例2（2009年江苏第18题改编）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1∶（x+3）2+（y-1）=4和圆C2∶（x-4）2+（y-5）2=4，设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

解析由于直线l1和l2绕点P旋转，而且两圆全等，则点P一定在线段C1C2的垂直平分线上，当l1和l2分别经过两圆圆心C1，C2时，△PC1C2为等腰直角三角形，利用几何关系计算可得点P坐标为（-32，132）或（52，-12）.

点拨充分利用圆的几何性质，有意识地在解析几何中运用平面几何的知识，体现数形结合的思想，往往起到事半功倍的效果.

例3（2008年江苏第14题）满足条件AB=2，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值 .

解析实际上顶点C运动时是有规律的.（若一动点到两个定点的距离之比为常数（不等于1），则这个动点的轨迹是圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，这个结论称之为“阿波罗尼斯轨迹”），因此可利用顶点C运动的轨迹寻求三角形的高的变化规律.

解以直线AB为x轴，边AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由题设可设A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），则由AC=2BC可得，（x+1）2+y2=2[（x-1）2+y2]，整理得顶点C所在圆方程为（x-3）2+y2=8，可知AB边上高的最大值为22，故S△ABC的最大值为22.

例4（2009年南通）已知椭圆C∶y2a2+x2b2=1（a>b>0）的离心率为63，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且B（-1，-3）.

（1）求椭圆C和直线l的方程；

（2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D.若曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0与D有公共点，试求实数m的最小值.

解析（1）所求椭圆方程为y212+x24=1，直线l的方程为y=x-2.（过程略）

（2）曲线x2-2mx+y2+4y+m2-4=0可整理为圆（x-m）2+（y+2）2=8，其圆心坐标为G（m，-2），半径r=22，表示圆心在直线y=-2上，半径为22的动圆.

由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m<0的情形.

设⊙G与直线l相切于点T，则由|a+2-2|2=22，得m=±4.当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l′的方程为x+y+6=0，解方程组x+y+6=0，

x-y-2=0，得T（-2，-4）.

因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，所以切点TD，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，即（-1-m）2+（-3+2）2=8，解得mmin=-7-1.

点拨本题第（2）问难点在于平面区域D内点的特点不易把握，如果转化为线性规划问题，则运算量较大，如能抓住动圆运动的特点，利用数形结合的思想便能灵活解题.