关系映射反演方法综述

孙兰洁

【摘 要】本文是对关系（relationship），映射（mapping）反演（inversion））方法研究的一个综述。文章以徐利治先生的著作为载体，辅以阅读其他相关文献，主要介绍了RMI方法的定义，同时给出了RMI方法的运用的实例以及对此方法的数学的教与学的思考。

【关键字】关系映射反演方法，RMI

一、引言

关系（relationship），映射（mapping）反演（inversion））方法是我国著名数学教育家徐利治先生提出来的。这个方法提出伊始就得到了广泛的重视和应用。关系映射反演方法是化归原则在数学中具体体现，这是一种更强的结构模式。运用关系映射反演方法需要充分地联想和类比，把一事物翻译为另一事物，得到另一事物的解答，最后再把这个解答翻译为对第一个事物的解答，从而迂回地解决问题。这样往往能进入“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”的思维境界。

二、关系映射反演方法

根据徐利治先生的观点，数学中的关系映射反演方法可一般的表述如下：给定一个含有目标原象的关系结构，如果能找到一个可定映映射，将映入或映满，则可从通过一定的数学方法把目标映像确定出来，进而，通过反演又可以把确定出来，这样，原来的问题就得到了解决.整个过程包括五个步骤：关系——映射——定映——反演——得解。[1]

这五个步骤的具体解释是：首先弄清问题原像关系结构和原像未知目标的具体内容；选择适当有效的映射；接着确定未知元素的映像；然后根据被确定了的映像目标通过反演而确定原像目标；最后得到原问题的解答。[5]

三、RMI原则在数学中的运用实例

（一）运用RMI方法的经典实例

例1：哥尼斯堡七巧问题。

哥尼斯堡七巧问题又叫做欧拉七桥问题。解决七桥问题，欧拉运用的就是RMI方法。令表示七桥问题中桥与岛及陆地之间的关系结构，为一次能否走过七座桥的问题。欧拉采用这样的映射：把桥对应为几何线，把联结地点对应为几何点。

原来的问题便对应为能否一笔画出上述平面图的问题。换句话说，便是关于上述点线图的一笔画问题。解此问题需要采用简单的逻辑推理，过程如下：

凡是一笔画中间出现的交点处，曲线一进一出总是通过偶数条，故均可称为“偶点”，只有作为起点和终点的两个点有可能成为“奇点”（即通过的曲线为奇数条）。所以凡是多于两个奇点的平面图都是不可能一笔画出来的。现今图形结构中四个交点都是奇点，因此它是不可能一笔画出的。这就是说，问题答案的是“一笔画是不可能的”。由此对应的反演回去（利用），便可知道原来问题的答案是：不可能不重复地一次通过这七座桥。

（二）笛卡尔发明解析几何。

当一个几何问题不便从几何本身的角度进行求解时，首先把这个几何问题解析表示为一个代数问题，其次在代数领域里求解这个问题得到代数解答，最后把这个代数解答再几何解释为几何结论，这个结论就是原几何问题的解答。

（三）RMI在初等数学中的运用实例

1.函数法。在中学数学范围内， 把一些待处理问题映射为初等函数。在初等函数的映像关系结构中对问题函数进行函数处理，得到函数结论，再利用反函数或函数性质进行反演，使原问题获解的映射反演方法就是函数法。

例1：为何值时，不等式恰好有一解。

分析：如果单纯用不等式的解法去做，会显得很繁琐。我们可以函数的图像，映射为具体的几何图像考虑。

解：令，则可知该函数图像是一条开口向上的抛物线。当与时，该函数图像时平行于横轴的两条直线。

当抛物线顶点在直线的下方时，不等式有无数解。

当抛物线顶点在直线的上方时，不等式有无解。

当抛物线顶点在直线的，不等式恰有一解。

再求其頂点坐标

故当时，原不等式恰有一解。

2.换元法。我们在研究某些复杂问题时， 通过引人一个或几个新变量来代替原式中的某些量，从而把原式用新变量表示，并求得相应的结果，这种解决问题的方法叫做换元法。

3.参数法。当问题中含有多个变量时，引进一个或几个变量，通过中间变量，把间题转化为参数问题， 进而再消去参数，使问题得到解决，这种处理问题的方法叫做参数法。例如求轨迹问题，用此方法比较简单。

四、RMI原则的教与学问题

一般在中学或者大学数学教材中，很少把RMI原则总结出来，所以很多人学了很多年数学或者教了很多年数学，都未必意识到他们所接触到的许多数学题材已经包含着RMI的方法与内容。但事实上，无论是初等数学还是高等数学中，都有不同水准的RMI方法或原则被隐含在其中，不过只有经过分析观察，才能把它抽象出来，并且对它包含的各个具体步骤给以确切的表述和讨论。所以，作为数学教师，要想教会学生们掌握好RMI方法或原则，首要的一步就是要采取“关系结构”的观点去考察数学问题、分析数学教材，并能从其中把联结原象与映像的映射关系揭示出来。当然，这是要依靠教师进行数学教学研究之后，才能很好地去完成这个任务的。

徐利治先生写到：“对于数学科学的学习者或者准备从事数学研究的人来说，应该以培养寻求映射的能力为目标。为了培养和提高理解原象系统（或现实原型）的能力，除了学好数学本科各分支之外，还需要学习自然科学，工程科学等有关分支领域的知识，要有较宽广的科技知识修养。事实上，能否很好地理解原象系统结构或某些应用科技中的现实原型，是决定能否正确地运用RMI方法的首要一步。所以要成为能真正解决问题的数学工作者，这方面的理解和洞察能力的锻炼以及与之有关的知识修养都是必不可少的。”[1]

参考文献：

1.徐利治，郑毓信，《关系映射反演方法》，江苏教育出版社，1988.

2.华东师范大学数学系，《数学分析》（第三版），高等教育出版社.

3.徐利治，数学方法论十二讲，大连理工大学出版社，2007（11）.

4.高兴佑，向长福，关系映射反演方法例谈，高校理科研究

5.胡蕊，关系映射反演方法及其在数学中的应用探讨，现代商贸工业，2009（9）.