新课程下导数的应用

摘 要：导数是高中数学的重要知识，它紧密联系高等数学与初等数学，是解决相关问题的重要工具。通过探讨导数在新课程中的地位以及在中学数学解题中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力。在教学解题过程中，可以利用导数处理函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题.

关键词：导数；新课程；应用

导数是高中数学的重要知识，它紧密联系高等数学与初等数学，是解决相关问题的重要工具。本文探讨的这一部分导数知识，在新课程中有重要的意义。研究导数在中学数学解题中的应用，目的在于提高学生的能力，培养高中学生的数学素养。

一、导数在高中数学新课程中的地位

在新课程下的高中数学教材中，导数有极其重要的地位，在学生进入高中阶段学习函数时，一般难以理解函数的性质，函数的这些性质如果通过函数的图像来反映，就一目了然，非常容易学习。高中数学的导数知识，提供了研究函数问题的方法。

（一）有利于学生更好地理解函数

在高中阶段学习函数时，学习函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性等。函数的性质可以通过函数的图像表示出来，作出函数的图像，函数的性质就容易掌握。

简单的函数，一般可以采用描点法作出图像。复杂的函数，可以利用函数的一阶导数和函数的二阶导数判定函数的凹凸区间、拐点，由此作出函数的图像。

（二）有利于学生更好地掌握函数思想

一些中学数学上用一般方法不好处理的、难以解决的问题，可以考虑函数思想。如果用导数来解决这些问题，往往方法简洁明了，步骤清楚，容易了解。

（三）有利于学生弄清曲线的切线问题

学生学习立体几何时，往往认为曲线的切线，只能是与曲线有一个公共点的直线，等到高中接触到导数的几何意义后，就知道了函数f在点x0的导数f（x0）是曲线y=f（x）在点（x0，y0）处的切线斜率。

（四）有利于学生学好其他学科

新课程下的高中课程，大多与数学有内在联系，导数与物理、化学、生物等高中学科都有着深刻的逻辑关系。导数f（x）在高中物理中，可以很好地解释做变速直线运动物体的运动方程：s=st，根据公式可以方便地算出物体的瞬时速度：V（t）=■，可以计算瞬时加速度：A（t）=■；高中化学中的反应速度，酶的催化反应，以及冷却速度等问题，也都可以通过微积分的方法来解决。

（五）有利于发展学生的思维能力

高中数学学习导数，学生接触到从平均变化到瞬时变化，了解、领悟和运用这种思想，对学生的逻辑思维能力是一次提高。可以树立由整体到局部的思想方法，逐步体会有限与无限、直与曲的对立与统一。

二、导数在解题中的应用

导数成为新教材高考试题的热点。导数与传统内容相结合，试题贴近生活。举例说明导数的应用。

（一）利用导数解决函数问题

1.利用导数求函数的解析式

可以用解析式表示函数关系，也可以利用导数求函数的解析式。

2.利用导数求函数的值域

采用导数来求函数的值域，较为容易。

3.利用导数求函数的最（极）值

用导数解决函数的最（极）值，解题过程简化，容易掌握。

一般的，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：

（1）求函数的极值点；

（2）计算在极值点和端点的函数值；

（3）比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值。

4.利用导数求函数的单调区间

函数的单调性，是研究函数时经常要用到的。利用导数的几何意义，只需考虑正负即可，当满足什么条件时，函数单调递增；当满足什么条件时，函数单调递减。

（二）利用导数解决切线问题

1.求过某一点的切线方程

切线方程的几何意义就是曲线在某点处切线的斜率，就是过某点的切线方程。

2.求两曲线切线方程

（三）利用导数解决不等式问题

在处理不等式问题时，根据函数的性质，我们就可以利用导数，作为工具很便捷地解决不等式问题。

（四）利用导数解决数列问题

数列是自变量为正整数的函数，可以运用导数来处理数列求和的相关问题。

（五）利用导数解决实际问题

导数有着丰富的实际背景，我们可以把几个变量转化成函数关系式，进而可以想方法去构造函数，然后用导数来解决问题，简洁有效。

综合以上内容，学习导数及其应用，拓展了解决中学数学问题的新视野。导数进入新教材后，显示出强大的生命力，具有深刻的意义。

参考文献：

李秋凤.导数在函数问题中的应用[J].中国科技信息，2006（03）.

作者简介：冶连宝，男，1978年12月出生，本科，就职于甘肃省会宁县第一中学，研究方向：函数性质及应用。