《机械原理》平面机构运动分析图解法新探索

石云霞++沈景凤++王新华

摘 要：介绍了《机械原理》课程教学中矢量方程图解法在平面机构运动分析中的基本原理及应用方法，结合具体实例对矢量方程图解法应用过程中一些传统的解法进行了补充和更正，以期对相关概念有一个更明确的认识，对相应教学做一些有益的探讨。

关键词：机械原理 平面机构 运动分析

中图分类号：TH112.1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）07（c）-0238-02

《机械原理》是机械类各专业中研究机械共性的一门专业基础课程。它的主要任务是使学生掌握各种基本机构及由其所组成的机械系统的基础理论、基本知识、分析和设计方法，并具备进行机械系统运动方案设计的初步能力。它的知识结构承前启后，是学习相关专业课的基础。在《机械原理》教学中，平面机构的运动分析是必不可少的教学内容，无论是设计新机械还是对现有机构进行分析，都要用到机构的运动分析知识。而平面机构运动分析中的矢量方程图解法是运动分析教学的一个重点难点内容。在多年的教学实践过程中，笔者发现通用的《机械原理》教材中对矢量方程图解法的一些说法有语焉不详或不准确的地方，现提出问题的所在并对问题进行分析、更正和解法补充，与大家探讨。

1 矢量方程图解法的基本原理和作法

矢量方程图解法是平面机构运动分析的一种常用方法，可同时进行机构的速度、加速度分析，其基本原理是理论力学的运动学理论：“刚体的平面运动是随基点的牵连运动和绕基点的相对运动的合成”及“重合点的绝对运动是牵连运动和相对运动的合成”。

在用矢量方程图解法对机构进行速度和加速度分析时，首先是根据相对运动原理，建立点与点之间的速度和加速度矢量方程，然后根据矢量方程图解条件作图求解，按比例绘出机构的速度多边形和加速度多边形，求得未知的运动参数。

机构运动分析可为分两种情况：

1）同一构件上两点间速度及加速度的关系；

2）两构件重合点间的速度和加速度的关系。

2 引例及其传统的求解方法

在图1（a）所示的曲柄滑块机构中，设已知各构件尺寸和原动件1以角速度ω1匀速转动，则A点的运动已知。如果要求B点的速度，分析可知，其属于机构运动分析的第一种情况，即同一构件上两点间的速度关系。由刚体平面运动的运动合成原理可知，连杆2上任一点（如点B）的运动可认为是随基点A的平动（牵连平动）和绕基点转动（相对运动）的合成，故点B的速度为

上式为一矢量方程，只有vB及vBA的大小两个未知量，故可根据该式作矢量多边形求解。为此，选定速度比例尺μv（m·s-1/mm），并任选点p作为起始点（代表机构中绝对速度为零的点），作矢量线pa表示vA（图5-5（b）），过点a作直线ab代表vBA的方向线，与代表vB的方向线的直线pb交于点b，则pb表示vB，ab表示vBA，且构件2的角速度大小为ω2=vBA/lAB=abμv/AB，通过将vBA平移到点B可确定其转向为逆时针方向。

在连杆2上A、B两点的速度已知后，如何求构件2上任一点C的速度呢？

这种在已知构件上A、B两点的速度，求构件上任一点C的速度的问题，《机械原理》教材中传统的解法有两种：一是利用点C与点A和点C与点B间的速度关系，列出矢量方程，再用图解法求解；二是利用速度影像法，即图1中△ABC∽△abc，图形△abc称为构件图形△ABC的速度影像，并且两者的方位关系为速度影像是相应机构图形沿ω2方向转过90°所得。当已知构件上两点的速度时，则构件上其他任一点的速度便可利用速度影像关系求得，而不需再列矢量方程求解，是一种简洁的求解方法。本实例速度影像法的应用如图1b）所示。

3 问题的提出及新解

上述解法是经典机械原理教材对已知构件上两点的速度后，求其上其他任一点速度的两种方法。在求C的速度时，几乎所以教材都没有提及其他方法，甚至有的教材书上明确写到：因为C点的大小方向均未知，vCA和vCB大小也未知，故方程和无法求解。即

上述两个方程均含三个未知要素，故都无法作图求解。

通过联立方程，即

上述方程只有vCA和vCB两个未知量，可解。

在多年教学实践过程中，笔者发现，这种说法是不妥当的。在已知构件上两点的速度（即vA和vB）后，不可认为vCA和vCB还是未知量，因为此时构件2的角速度已经求得，即ω2=vBA/lAB=abμv/AB，vCA和vCB的大小和方向也就已经知道，则有

上述两个方程均只含有两个未知要素，故都可作图求解，图解分别如图2b）、2c）所示。

为什么如此经典的问题及解法会出现这样的疏忽，笔者分析如下：首先传统的两种解法已经能满足我们的求解要求，并且在实际操作过程中也很方便，尤其是速度影像法，尤为推崇，从而导致了大家对其他方法的探索。其次，因为机械原理课程是一门技术基础课，相比力学等基础课程，其理论分析不太被强调而更多地考虑了实用，即只要满足应用需求，能解决问题就行，而没有全面地分析考虑 该问题的所有可能解。因为教材中只提了这两种解法，长此以往，就引起误解，许多人以为只能这样求解，甚至有些教材书上也给出了武断错误的结论。

这里对C点运动速度的求解方法做出详细解释和补充说明，目的有二：一是更正不妥的说法，二是对求解方法做出补充，提出新的解法，即除了传统的两种解法之外，还可利用和这两个矢量方程分别进行求解。

4 结语

平面机构的运动分析是《机械原理》课程的重点教学内容，矢量方程图解法是其教学难点，对于其基本原理和求解方法，应做到概念明确和思路清晰。新补充的解法不仅仅是对原有求解方法的补充和完善，更是对原有求解方法的更正，避免错误的长期存在。尤其是作为教材，更不能起到误导的作用。

引例所述问题的具体求解方法总结如下：已知构件上两点的速度（如图1中构件2）后，求其上其他任一点速度的求解方法有四种，即传统的联立方程求解和利用速度影像法求解；还可以利用本文提出的和这两个矢量方程分别进行求解。

参考文献

[1] 孙桓.机械原理[M].7版.高等教育出版社，2006.

[2] 魏兵.机械原理[M].华中科技大学出版社，2007.

[3] 江帆.机械原理[M].机械工业出版社，2013.

[4] 邹慧君.机械原理[M].高等教育出版社，1999.

[5] 王新华.高等机械设计[M].化学工业出版社，2013.endprint

摘 要：介绍了《机械原理》课程教学中矢量方程图解法在平面机构运动分析中的基本原理及应用方法，结合具体实例对矢量方程图解法应用过程中一些传统的解法进行了补充和更正，以期对相关概念有一个更明确的认识，对相应教学做一些有益的探讨。

关键词：机械原理 平面机构 运动分析

中图分类号：TH112.1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）07（c）-0238-02

《机械原理》是机械类各专业中研究机械共性的一门专业基础课程。它的主要任务是使学生掌握各种基本机构及由其所组成的机械系统的基础理论、基本知识、分析和设计方法，并具备进行机械系统运动方案设计的初步能力。它的知识结构承前启后，是学习相关专业课的基础。在《机械原理》教学中，平面机构的运动分析是必不可少的教学内容，无论是设计新机械还是对现有机构进行分析，都要用到机构的运动分析知识。而平面机构运动分析中的矢量方程图解法是运动分析教学的一个重点难点内容。在多年的教学实践过程中，笔者发现通用的《机械原理》教材中对矢量方程图解法的一些说法有语焉不详或不准确的地方，现提出问题的所在并对问题进行分析、更正和解法补充，与大家探讨。

1 矢量方程图解法的基本原理和作法

矢量方程图解法是平面机构运动分析的一种常用方法，可同时进行机构的速度、加速度分析，其基本原理是理论力学的运动学理论：“刚体的平面运动是随基点的牵连运动和绕基点的相对运动的合成”及“重合点的绝对运动是牵连运动和相对运动的合成”。

在用矢量方程图解法对机构进行速度和加速度分析时，首先是根据相对运动原理，建立点与点之间的速度和加速度矢量方程，然后根据矢量方程图解条件作图求解，按比例绘出机构的速度多边形和加速度多边形，求得未知的运动参数。

机构运动分析可为分两种情况：

1）同一构件上两点间速度及加速度的关系；

2）两构件重合点间的速度和加速度的关系。

2 引例及其传统的求解方法

在图1（a）所示的曲柄滑块机构中，设已知各构件尺寸和原动件1以角速度ω1匀速转动，则A点的运动已知。如果要求B点的速度，分析可知，其属于机构运动分析的第一种情况，即同一构件上两点间的速度关系。由刚体平面运动的运动合成原理可知，连杆2上任一点（如点B）的运动可认为是随基点A的平动（牵连平动）和绕基点转动（相对运动）的合成，故点B的速度为

上式为一矢量方程，只有vB及vBA的大小两个未知量，故可根据该式作矢量多边形求解。为此，选定速度比例尺μv（m·s-1/mm），并任选点p作为起始点（代表机构中绝对速度为零的点），作矢量线pa表示vA（图5-5（b）），过点a作直线ab代表vBA的方向线，与代表vB的方向线的直线pb交于点b，则pb表示vB，ab表示vBA，且构件2的角速度大小为ω2=vBA/lAB=abμv/AB，通过将vBA平移到点B可确定其转向为逆时针方向。

在连杆2上A、B两点的速度已知后，如何求构件2上任一点C的速度呢？

这种在已知构件上A、B两点的速度，求构件上任一点C的速度的问题，《机械原理》教材中传统的解法有两种：一是利用点C与点A和点C与点B间的速度关系，列出矢量方程，再用图解法求解；二是利用速度影像法，即图1中△ABC∽△abc，图形△abc称为构件图形△ABC的速度影像，并且两者的方位关系为速度影像是相应机构图形沿ω2方向转过90°所得。当已知构件上两点的速度时，则构件上其他任一点的速度便可利用速度影像关系求得，而不需再列矢量方程求解，是一种简洁的求解方法。本实例速度影像法的应用如图1b）所示。

3 问题的提出及新解

上述解法是经典机械原理教材对已知构件上两点的速度后，求其上其他任一点速度的两种方法。在求C的速度时，几乎所以教材都没有提及其他方法，甚至有的教材书上明确写到：因为C点的大小方向均未知，vCA和vCB大小也未知，故方程和无法求解。即

上述两个方程均含三个未知要素，故都无法作图求解。

通过联立方程，即

上述方程只有vCA和vCB两个未知量，可解。

在多年教学实践过程中，笔者发现，这种说法是不妥当的。在已知构件上两点的速度（即vA和vB）后，不可认为vCA和vCB还是未知量，因为此时构件2的角速度已经求得，即ω2=vBA/lAB=abμv/AB，vCA和vCB的大小和方向也就已经知道，则有

上述两个方程均只含有两个未知要素，故都可作图求解，图解分别如图2b）、2c）所示。

为什么如此经典的问题及解法会出现这样的疏忽，笔者分析如下：首先传统的两种解法已经能满足我们的求解要求，并且在实际操作过程中也很方便，尤其是速度影像法，尤为推崇，从而导致了大家对其他方法的探索。其次，因为机械原理课程是一门技术基础课，相比力学等基础课程，其理论分析不太被强调而更多地考虑了实用，即只要满足应用需求，能解决问题就行，而没有全面地分析考虑 该问题的所有可能解。因为教材中只提了这两种解法，长此以往，就引起误解，许多人以为只能这样求解，甚至有些教材书上也给出了武断错误的结论。

这里对C点运动速度的求解方法做出详细解释和补充说明，目的有二：一是更正不妥的说法，二是对求解方法做出补充，提出新的解法，即除了传统的两种解法之外，还可利用和这两个矢量方程分别进行求解。

4 结语

平面机构的运动分析是《机械原理》课程的重点教学内容，矢量方程图解法是其教学难点，对于其基本原理和求解方法，应做到概念明确和思路清晰。新补充的解法不仅仅是对原有求解方法的补充和完善，更是对原有求解方法的更正，避免错误的长期存在。尤其是作为教材，更不能起到误导的作用。

引例所述问题的具体求解方法总结如下：已知构件上两点的速度（如图1中构件2）后，求其上其他任一点速度的求解方法有四种，即传统的联立方程求解和利用速度影像法求解；还可以利用本文提出的和这两个矢量方程分别进行求解。

参考文献

[1] 孙桓.机械原理[M].7版.高等教育出版社，2006.

[2] 魏兵.机械原理[M].华中科技大学出版社，2007.

[3] 江帆.机械原理[M].机械工业出版社，2013.

[4] 邹慧君.机械原理[M].高等教育出版社，1999.

[5] 王新华.高等机械设计[M].化学工业出版社，2013.endprint

摘 要：介绍了《机械原理》课程教学中矢量方程图解法在平面机构运动分析中的基本原理及应用方法，结合具体实例对矢量方程图解法应用过程中一些传统的解法进行了补充和更正，以期对相关概念有一个更明确的认识，对相应教学做一些有益的探讨。

关键词：机械原理 平面机构 运动分析

中图分类号：TH112.1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）07（c）-0238-02

《机械原理》是机械类各专业中研究机械共性的一门专业基础课程。它的主要任务是使学生掌握各种基本机构及由其所组成的机械系统的基础理论、基本知识、分析和设计方法，并具备进行机械系统运动方案设计的初步能力。它的知识结构承前启后，是学习相关专业课的基础。在《机械原理》教学中，平面机构的运动分析是必不可少的教学内容，无论是设计新机械还是对现有机构进行分析，都要用到机构的运动分析知识。而平面机构运动分析中的矢量方程图解法是运动分析教学的一个重点难点内容。在多年的教学实践过程中，笔者发现通用的《机械原理》教材中对矢量方程图解法的一些说法有语焉不详或不准确的地方，现提出问题的所在并对问题进行分析、更正和解法补充，与大家探讨。

1 矢量方程图解法的基本原理和作法

矢量方程图解法是平面机构运动分析的一种常用方法，可同时进行机构的速度、加速度分析，其基本原理是理论力学的运动学理论：“刚体的平面运动是随基点的牵连运动和绕基点的相对运动的合成”及“重合点的绝对运动是牵连运动和相对运动的合成”。

在用矢量方程图解法对机构进行速度和加速度分析时，首先是根据相对运动原理，建立点与点之间的速度和加速度矢量方程，然后根据矢量方程图解条件作图求解，按比例绘出机构的速度多边形和加速度多边形，求得未知的运动参数。

机构运动分析可为分两种情况：

1）同一构件上两点间速度及加速度的关系；

2）两构件重合点间的速度和加速度的关系。

2 引例及其传统的求解方法

在图1（a）所示的曲柄滑块机构中，设已知各构件尺寸和原动件1以角速度ω1匀速转动，则A点的运动已知。如果要求B点的速度，分析可知，其属于机构运动分析的第一种情况，即同一构件上两点间的速度关系。由刚体平面运动的运动合成原理可知，连杆2上任一点（如点B）的运动可认为是随基点A的平动（牵连平动）和绕基点转动（相对运动）的合成，故点B的速度为

上式为一矢量方程，只有vB及vBA的大小两个未知量，故可根据该式作矢量多边形求解。为此，选定速度比例尺μv（m·s-1/mm），并任选点p作为起始点（代表机构中绝对速度为零的点），作矢量线pa表示vA（图5-5（b）），过点a作直线ab代表vBA的方向线，与代表vB的方向线的直线pb交于点b，则pb表示vB，ab表示vBA，且构件2的角速度大小为ω2=vBA/lAB=abμv/AB，通过将vBA平移到点B可确定其转向为逆时针方向。

在连杆2上A、B两点的速度已知后，如何求构件2上任一点C的速度呢？

这种在已知构件上A、B两点的速度，求构件上任一点C的速度的问题，《机械原理》教材中传统的解法有两种：一是利用点C与点A和点C与点B间的速度关系，列出矢量方程，再用图解法求解；二是利用速度影像法，即图1中△ABC∽△abc，图形△abc称为构件图形△ABC的速度影像，并且两者的方位关系为速度影像是相应机构图形沿ω2方向转过90°所得。当已知构件上两点的速度时，则构件上其他任一点的速度便可利用速度影像关系求得，而不需再列矢量方程求解，是一种简洁的求解方法。本实例速度影像法的应用如图1b）所示。

3 问题的提出及新解

上述解法是经典机械原理教材对已知构件上两点的速度后，求其上其他任一点速度的两种方法。在求C的速度时，几乎所以教材都没有提及其他方法，甚至有的教材书上明确写到：因为C点的大小方向均未知，vCA和vCB大小也未知，故方程和无法求解。即

上述两个方程均含三个未知要素，故都无法作图求解。

通过联立方程，即

上述方程只有vCA和vCB两个未知量，可解。

在多年教学实践过程中，笔者发现，这种说法是不妥当的。在已知构件上两点的速度（即vA和vB）后，不可认为vCA和vCB还是未知量，因为此时构件2的角速度已经求得，即ω2=vBA/lAB=abμv/AB，vCA和vCB的大小和方向也就已经知道，则有

上述两个方程均只含有两个未知要素，故都可作图求解，图解分别如图2b）、2c）所示。

为什么如此经典的问题及解法会出现这样的疏忽，笔者分析如下：首先传统的两种解法已经能满足我们的求解要求，并且在实际操作过程中也很方便，尤其是速度影像法，尤为推崇，从而导致了大家对其他方法的探索。其次，因为机械原理课程是一门技术基础课，相比力学等基础课程，其理论分析不太被强调而更多地考虑了实用，即只要满足应用需求，能解决问题就行，而没有全面地分析考虑 该问题的所有可能解。因为教材中只提了这两种解法，长此以往，就引起误解，许多人以为只能这样求解，甚至有些教材书上也给出了武断错误的结论。

这里对C点运动速度的求解方法做出详细解释和补充说明，目的有二：一是更正不妥的说法，二是对求解方法做出补充，提出新的解法，即除了传统的两种解法之外，还可利用和这两个矢量方程分别进行求解。

4 结语

平面机构的运动分析是《机械原理》课程的重点教学内容，矢量方程图解法是其教学难点，对于其基本原理和求解方法，应做到概念明确和思路清晰。新补充的解法不仅仅是对原有求解方法的补充和完善，更是对原有求解方法的更正，避免错误的长期存在。尤其是作为教材，更不能起到误导的作用。

引例所述问题的具体求解方法总结如下：已知构件上两点的速度（如图1中构件2）后，求其上其他任一点速度的求解方法有四种，即传统的联立方程求解和利用速度影像法求解；还可以利用本文提出的和这两个矢量方程分别进行求解。

参考文献

[1] 孙桓.机械原理[M].7版.高等教育出版社，2006.

[2] 魏兵.机械原理[M].华中科技大学出版社，2007.

[3] 江帆.机械原理[M].机械工业出版社，2013.

[4] 邹慧君.机械原理[M].高等教育出版社，1999.

[5] 王新华.高等机械设计[M].化学工业出版社，2013.endprint