基于古诺模型的日用品价格分析

王国栋

[提要] 通过对日用品市场调查，分析日用品投资商在垄断竞争环境下的价格和产量均衡，并讨论两个日用品投资商博弈下的最优反应函数。从市场主体策略效益最大化角度将古诺模型引入日用品市场中，利用非线性理论对模型的均衡点进行分析，得出日用品投资商在不同策略下的最优产量与价格，从而为资源最优配置下的市场管理和政策提供一定的理论依据。

关键词：日用品；古诺模型；博弈；Nash均衡

中图分类号：F713.5 文献标识码：A

收录日期：2014年9月15日

一、引言

日用品价格变动一直是人们关心的话题。近年来，中国日用品的市场风险加大，特别是日用化妆品市场，市场价格循环涨跌已经成为一种常态。而日用品作为人们日常用品，其价格的上涨给大多数工薪阶层的居民造成很大影响。通过对重庆市日用品市场的调查分析，日用品呈现逐年增加的趋势，而针对居民的工资收入，日用品相对收入低下的居民，大有变成一种奢侈品的现实。徐玲玲等在文章中研究了古诺模型下蔬菜价格，文章在完全信息静态的博弈理论下，分析蔬菜的价格，并且假设市场逆需求函数为线性。在现实中日用品投资商之间的博弈是不断进行的，不可能立即达到Nash均衡状态，同时每个日用品投资商掌握的信息都是不充分的，而且投资商决策都是由人做出的，而人由于感知认识能力和语言上限制了所做出的决策也不可能是完全理性的，只能是有限理性，本文考虑到日用品市场的复杂性，将有限理性的古诺模型引入到日用品市场中，并且假设逆需求函数为非线性的情况下，利用非线性理论对模型的稳定点进行分析，通过分析得出影响日用品投资商的供应量以及价格的因素。

二、模型的建立

本文首先根据静态博弈在寡头市场上的产量与价格竞争的博弈理论，研究在两个日用品投资商之间合作与不合作两种情况下，日用品的供应量与价格的比较。

假设寡头市场上有两个日用品投资商A，B，其日用品的供应量分别记为q1和q2，日应品的价格分别记为p1和p2。在一个周期内，日用品的销售量等于日用品投资商的供应量，即达到供销平衡，日用品的供应发生在离散的时间周期n=0，1，2，3……Ci（qi）=ci+diqi2（i=1，2）代表日用品投资商的成本函数，其中ci表示第i家日用品投资商的固定成本，di代表该投资商的单位生产的变动成本。第n期的价格p是由总生产量Q（n）=q1（n）+q2（n）通过p=p（Q）=a-bQ的逆需求函数决定的，这里a、b均为正的常数，a表示市场上该日用品的最高价格，每个投资商的战略空间是选择投资供应日用品的数量，利润是支付。

则第i家投资商在第n期的税前利润模型为：

？仔1=（a-b（q1+q2））q1-c1-d1q12？仔2=（a-b（q1+q2））q2-c2-d2q22 （1）

第i家投资商在一个期间的边际利润为：

=a-bq2-c1-2bq1-2d1q1=a-bq1-c2-2bq2-2d2q2 （2）

三、模型分析

在系统（2）中，令=0，=0，可以得到模型的3个均衡点。

E1=0，，E2=，0

E3=，

显然，E1、E2为有界均衡点，E3为Nash均衡（很容易证明其为两投资商边际利润为零时所对应的点，即Nash均衡点。）下面研究这些均衡点的局部稳定性。首先我们求出（2）式的Jacobin矩阵，即：

a-bq2-c1-（2b+2d1）q1 -bq1-bq2 a-bq1-c2-（2b+2d2）q2

定理一：有界均衡E1、E2是不稳定点。

证明：在有界均衡E1处的Jacobin矩阵为：

J=a--c1 0-bq2 0

它的两个特征值为？姿1=a--c1，？姿2=0，根据非线性理论可知E1为不稳定点。出现这种情况可能是由于日用品投资商A的成本比较高，出现这种情况会产生投资商对市场资源利用机会的不平等，也会导致市场竞争力的下降，出现垄断情况是我国政府不愿看到的，定理二：E3为Nash均衡稳定点。

证明：在Nash均衡点E3处，Jacobin矩阵为：

J=a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1* -bq1*-bq2* a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*

其中，q1*=

q2*=

它的特征方程为：？籽（？姿）=？姿2-trJ？姿+detJ=0，其中trJ表示Jacobin矩阵的迹，detJ表示Jacobin矩阵的行列式：

TrJ=2a-（3b+2d1）q1*-（3b+2d2）q2*-（c1+c2）

DetJ=[a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1*][a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*]-b2q1*q2*

根据Jury条件，Nash均衡E3稳定的充分必要条件为：

（1）1+trJ+DetJ>0；（2）1-trJ+DetJ>0；（3）DetJ<1

由于上式难于求解，通过计算机模拟可以证明，参数a、b、c1、d1、d2满足一定条件时，上面的式子成立。通过计算机的模拟分析得到：日用品投资商A供应量越大，日用品投资商B的最优反应供应量越小，其中一个投资商的单位成本越大，均衡供应量越低。

四、基于古诺模型的日用品投资商行为分析

假设两个日用品投资商的固定成本c1=c2=c，单位变动成本d1=d2=0，这时投资模型的均衡供应量为q*=q1=q2=，由逆需求函数p=a-bQ=a-b（q1+q2）得到均衡价格为p*=，均衡利润为？仔*=。如果两个投资商采取合作的策略，这时投资商的最大化利润为：Max？仔（Q）=（a-bQ-c）Q。

=a-2bQ-c=0可解得投资商的供应量为：Qm=，价格为：pm=a-bQm=，利润为？仔m=，单个日用品投资商的供应量为：qm=，利润为=。因此，如果两个日用品投资商进行合作的话，供应量会降低，价格会升高（pm>p*）。

五、小结

本文考虑到日用品市场的复杂性，将古诺模型引入到日用品市场中，同时假设成本函数为非线性，更符合实际情况，利用非线性理论对建立的模型进行分析，得出两个日用品投资商如果采取合作的方式进行投资，不但会降低供应量，而且会使得产品的价格升高。现实生活中，由于投资商财力、物力的不同，拥有有效资源的不平等，投资商只是在一个时间段采取合作的方式投资，已经将重点研究具有有限理性的投资商，在占有资源、信息的不平等情况，如何在市场中展开竞争。

主要参考文献：

[1]徐玲铃等.基于古诺模型蔬菜价格分析[J].农村经济与科技，2013.12.

[2]Agiza H N，Hegazi A S，Elaadany A A.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality[J].Mathematics and Computer in Simulation，2002.58.

[3]Agiza H N，Hegazi A S，Elaad A A.The dynamicsof Bowleys model with bounded rationality[J].Chaos，Solitons and Fractals，2001.12.

[4]Bischi G I，Naimzada A.Global analysis of a dynamic duopoly game with bounded rationality[A].Dynamics Games and Application，vol.5，Birkhouser，1999.

[提要] 通过对日用品市场调查，分析日用品投资商在垄断竞争环境下的价格和产量均衡，并讨论两个日用品投资商博弈下的最优反应函数。从市场主体策略效益最大化角度将古诺模型引入日用品市场中，利用非线性理论对模型的均衡点进行分析，得出日用品投资商在不同策略下的最优产量与价格，从而为资源最优配置下的市场管理和政策提供一定的理论依据。

关键词：日用品；古诺模型；博弈；Nash均衡

中图分类号：F713.5 文献标识码：A

收录日期：2014年9月15日

一、引言

日用品价格变动一直是人们关心的话题。近年来，中国日用品的市场风险加大，特别是日用化妆品市场，市场价格循环涨跌已经成为一种常态。而日用品作为人们日常用品，其价格的上涨给大多数工薪阶层的居民造成很大影响。通过对重庆市日用品市场的调查分析，日用品呈现逐年增加的趋势，而针对居民的工资收入，日用品相对收入低下的居民，大有变成一种奢侈品的现实。徐玲玲等在文章中研究了古诺模型下蔬菜价格，文章在完全信息静态的博弈理论下，分析蔬菜的价格，并且假设市场逆需求函数为线性。在现实中日用品投资商之间的博弈是不断进行的，不可能立即达到Nash均衡状态，同时每个日用品投资商掌握的信息都是不充分的，而且投资商决策都是由人做出的，而人由于感知认识能力和语言上限制了所做出的决策也不可能是完全理性的，只能是有限理性，本文考虑到日用品市场的复杂性，将有限理性的古诺模型引入到日用品市场中，并且假设逆需求函数为非线性的情况下，利用非线性理论对模型的稳定点进行分析，通过分析得出影响日用品投资商的供应量以及价格的因素。

二、模型的建立

本文首先根据静态博弈在寡头市场上的产量与价格竞争的博弈理论，研究在两个日用品投资商之间合作与不合作两种情况下，日用品的供应量与价格的比较。

假设寡头市场上有两个日用品投资商A，B，其日用品的供应量分别记为q1和q2，日应品的价格分别记为p1和p2。在一个周期内，日用品的销售量等于日用品投资商的供应量，即达到供销平衡，日用品的供应发生在离散的时间周期n=0，1，2，3……Ci（qi）=ci+diqi2（i=1，2）代表日用品投资商的成本函数，其中ci表示第i家日用品投资商的固定成本，di代表该投资商的单位生产的变动成本。第n期的价格p是由总生产量Q（n）=q1（n）+q2（n）通过p=p（Q）=a-bQ的逆需求函数决定的，这里a、b均为正的常数，a表示市场上该日用品的最高价格，每个投资商的战略空间是选择投资供应日用品的数量，利润是支付。

则第i家投资商在第n期的税前利润模型为：

？仔1=（a-b（q1+q2））q1-c1-d1q12？仔2=（a-b（q1+q2））q2-c2-d2q22 （1）

第i家投资商在一个期间的边际利润为：

=a-bq2-c1-2bq1-2d1q1=a-bq1-c2-2bq2-2d2q2 （2）

三、模型分析

在系统（2）中，令=0，=0，可以得到模型的3个均衡点。

E1=0，，E2=，0

E3=，

显然，E1、E2为有界均衡点，E3为Nash均衡（很容易证明其为两投资商边际利润为零时所对应的点，即Nash均衡点。）下面研究这些均衡点的局部稳定性。首先我们求出（2）式的Jacobin矩阵，即：

a-bq2-c1-（2b+2d1）q1 -bq1-bq2 a-bq1-c2-（2b+2d2）q2

定理一：有界均衡E1、E2是不稳定点。

证明：在有界均衡E1处的Jacobin矩阵为：

J=a--c1 0-bq2 0

它的两个特征值为？姿1=a--c1，？姿2=0，根据非线性理论可知E1为不稳定点。出现这种情况可能是由于日用品投资商A的成本比较高，出现这种情况会产生投资商对市场资源利用机会的不平等，也会导致市场竞争力的下降，出现垄断情况是我国政府不愿看到的，定理二：E3为Nash均衡稳定点。

证明：在Nash均衡点E3处，Jacobin矩阵为：

J=a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1* -bq1*-bq2* a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*

其中，q1*=

q2*=

它的特征方程为：？籽（？姿）=？姿2-trJ？姿+detJ=0，其中trJ表示Jacobin矩阵的迹，detJ表示Jacobin矩阵的行列式：

TrJ=2a-（3b+2d1）q1*-（3b+2d2）q2*-（c1+c2）

DetJ=[a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1*][a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*]-b2q1*q2*

根据Jury条件，Nash均衡E3稳定的充分必要条件为：

（1）1+trJ+DetJ>0；（2）1-trJ+DetJ>0；（3）DetJ<1

由于上式难于求解，通过计算机模拟可以证明，参数a、b、c1、d1、d2满足一定条件时，上面的式子成立。通过计算机的模拟分析得到：日用品投资商A供应量越大，日用品投资商B的最优反应供应量越小，其中一个投资商的单位成本越大，均衡供应量越低。

四、基于古诺模型的日用品投资商行为分析

假设两个日用品投资商的固定成本c1=c2=c，单位变动成本d1=d2=0，这时投资模型的均衡供应量为q*=q1=q2=，由逆需求函数p=a-bQ=a-b（q1+q2）得到均衡价格为p*=，均衡利润为？仔*=。如果两个投资商采取合作的策略，这时投资商的最大化利润为：Max？仔（Q）=（a-bQ-c）Q。

=a-2bQ-c=0可解得投资商的供应量为：Qm=，价格为：pm=a-bQm=，利润为？仔m=，单个日用品投资商的供应量为：qm=，利润为=。因此，如果两个日用品投资商进行合作的话，供应量会降低，价格会升高（pm>p*）。

五、小结

本文考虑到日用品市场的复杂性，将古诺模型引入到日用品市场中，同时假设成本函数为非线性，更符合实际情况，利用非线性理论对建立的模型进行分析，得出两个日用品投资商如果采取合作的方式进行投资，不但会降低供应量，而且会使得产品的价格升高。现实生活中，由于投资商财力、物力的不同，拥有有效资源的不平等，投资商只是在一个时间段采取合作的方式投资，已经将重点研究具有有限理性的投资商，在占有资源、信息的不平等情况，如何在市场中展开竞争。

主要参考文献：

[1]徐玲铃等.基于古诺模型蔬菜价格分析[J].农村经济与科技，2013.12.

[2]Agiza H N，Hegazi A S，Elaadany A A.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality[J].Mathematics and Computer in Simulation，2002.58.

[3]Agiza H N，Hegazi A S，Elaad A A.The dynamicsof Bowleys model with bounded rationality[J].Chaos，Solitons and Fractals，2001.12.

[4]Bischi G I，Naimzada A.Global analysis of a dynamic duopoly game with bounded rationality[A].Dynamics Games and Application，vol.5，Birkhouser，1999.

[提要] 通过对日用品市场调查，分析日用品投资商在垄断竞争环境下的价格和产量均衡，并讨论两个日用品投资商博弈下的最优反应函数。从市场主体策略效益最大化角度将古诺模型引入日用品市场中，利用非线性理论对模型的均衡点进行分析，得出日用品投资商在不同策略下的最优产量与价格，从而为资源最优配置下的市场管理和政策提供一定的理论依据。

关键词：日用品；古诺模型；博弈；Nash均衡

中图分类号：F713.5 文献标识码：A

收录日期：2014年9月15日

一、引言

日用品价格变动一直是人们关心的话题。近年来，中国日用品的市场风险加大，特别是日用化妆品市场，市场价格循环涨跌已经成为一种常态。而日用品作为人们日常用品，其价格的上涨给大多数工薪阶层的居民造成很大影响。通过对重庆市日用品市场的调查分析，日用品呈现逐年增加的趋势，而针对居民的工资收入，日用品相对收入低下的居民，大有变成一种奢侈品的现实。徐玲玲等在文章中研究了古诺模型下蔬菜价格，文章在完全信息静态的博弈理论下，分析蔬菜的价格，并且假设市场逆需求函数为线性。在现实中日用品投资商之间的博弈是不断进行的，不可能立即达到Nash均衡状态，同时每个日用品投资商掌握的信息都是不充分的，而且投资商决策都是由人做出的，而人由于感知认识能力和语言上限制了所做出的决策也不可能是完全理性的，只能是有限理性，本文考虑到日用品市场的复杂性，将有限理性的古诺模型引入到日用品市场中，并且假设逆需求函数为非线性的情况下，利用非线性理论对模型的稳定点进行分析，通过分析得出影响日用品投资商的供应量以及价格的因素。

二、模型的建立

本文首先根据静态博弈在寡头市场上的产量与价格竞争的博弈理论，研究在两个日用品投资商之间合作与不合作两种情况下，日用品的供应量与价格的比较。

假设寡头市场上有两个日用品投资商A，B，其日用品的供应量分别记为q1和q2，日应品的价格分别记为p1和p2。在一个周期内，日用品的销售量等于日用品投资商的供应量，即达到供销平衡，日用品的供应发生在离散的时间周期n=0，1，2，3……Ci（qi）=ci+diqi2（i=1，2）代表日用品投资商的成本函数，其中ci表示第i家日用品投资商的固定成本，di代表该投资商的单位生产的变动成本。第n期的价格p是由总生产量Q（n）=q1（n）+q2（n）通过p=p（Q）=a-bQ的逆需求函数决定的，这里a、b均为正的常数，a表示市场上该日用品的最高价格，每个投资商的战略空间是选择投资供应日用品的数量，利润是支付。

则第i家投资商在第n期的税前利润模型为：

？仔1=（a-b（q1+q2））q1-c1-d1q12？仔2=（a-b（q1+q2））q2-c2-d2q22 （1）

第i家投资商在一个期间的边际利润为：

=a-bq2-c1-2bq1-2d1q1=a-bq1-c2-2bq2-2d2q2 （2）

三、模型分析

在系统（2）中，令=0，=0，可以得到模型的3个均衡点。

E1=0，，E2=，0

E3=，

显然，E1、E2为有界均衡点，E3为Nash均衡（很容易证明其为两投资商边际利润为零时所对应的点，即Nash均衡点。）下面研究这些均衡点的局部稳定性。首先我们求出（2）式的Jacobin矩阵，即：

a-bq2-c1-（2b+2d1）q1 -bq1-bq2 a-bq1-c2-（2b+2d2）q2

定理一：有界均衡E1、E2是不稳定点。

证明：在有界均衡E1处的Jacobin矩阵为：

J=a--c1 0-bq2 0

它的两个特征值为？姿1=a--c1，？姿2=0，根据非线性理论可知E1为不稳定点。出现这种情况可能是由于日用品投资商A的成本比较高，出现这种情况会产生投资商对市场资源利用机会的不平等，也会导致市场竞争力的下降，出现垄断情况是我国政府不愿看到的，定理二：E3为Nash均衡稳定点。

证明：在Nash均衡点E3处，Jacobin矩阵为：

J=a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1* -bq1*-bq2* a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*

其中，q1*=

q2*=

它的特征方程为：？籽（？姿）=？姿2-trJ？姿+detJ=0，其中trJ表示Jacobin矩阵的迹，detJ表示Jacobin矩阵的行列式：

TrJ=2a-（3b+2d1）q1*-（3b+2d2）q2*-（c1+c2）

DetJ=[a-bq2*-c1-（2b+2d1）q1*][a-bq1*-c2-（2b+2d2）q2*]-b2q1*q2*

根据Jury条件，Nash均衡E3稳定的充分必要条件为：

（1）1+trJ+DetJ>0；（2）1-trJ+DetJ>0；（3）DetJ<1

由于上式难于求解，通过计算机模拟可以证明，参数a、b、c1、d1、d2满足一定条件时，上面的式子成立。通过计算机的模拟分析得到：日用品投资商A供应量越大，日用品投资商B的最优反应供应量越小，其中一个投资商的单位成本越大，均衡供应量越低。

四、基于古诺模型的日用品投资商行为分析

假设两个日用品投资商的固定成本c1=c2=c，单位变动成本d1=d2=0，这时投资模型的均衡供应量为q*=q1=q2=，由逆需求函数p=a-bQ=a-b（q1+q2）得到均衡价格为p*=，均衡利润为？仔*=。如果两个投资商采取合作的策略，这时投资商的最大化利润为：Max？仔（Q）=（a-bQ-c）Q。

=a-2bQ-c=0可解得投资商的供应量为：Qm=，价格为：pm=a-bQm=，利润为？仔m=，单个日用品投资商的供应量为：qm=，利润为=。因此，如果两个日用品投资商进行合作的话，供应量会降低，价格会升高（pm>p*）。

五、小结

本文考虑到日用品市场的复杂性，将古诺模型引入到日用品市场中，同时假设成本函数为非线性，更符合实际情况，利用非线性理论对建立的模型进行分析，得出两个日用品投资商如果采取合作的方式进行投资，不但会降低供应量，而且会使得产品的价格升高。现实生活中，由于投资商财力、物力的不同，拥有有效资源的不平等，投资商只是在一个时间段采取合作的方式投资，已经将重点研究具有有限理性的投资商，在占有资源、信息的不平等情况，如何在市场中展开竞争。

主要参考文献：

[1]徐玲铃等.基于古诺模型蔬菜价格分析[J].农村经济与科技，2013.12.

[2]Agiza H N，Hegazi A S，Elaadany A A.Complex dynamics and synchronization of a duopoly game with bounded rationality[J].Mathematics and Computer in Simulation，2002.58.

[3]Agiza H N，Hegazi A S，Elaad A A.The dynamicsof Bowleys model with bounded rationality[J].Chaos，Solitons and Fractals，2001.12.

[4]Bischi G I，Naimzada A.Global analysis of a dynamic duopoly game with bounded rationality[A].Dynamics Games and Application，vol.5，Birkhouser，1999.