极限的几种计算方法的注记

姜全德

摘 要：极限的计算是高等数学教学的重要内容之一，该文就若干种常用的求极限的问题进行分析，针对不同题型，采用不同方法，并总结归纳了应用每种求极限方法应注意的要点。

关键词：极限 计算 方法

中图分类号：O211 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）08（a）-0227-01

1 运用极限的定义证明极限的值（用定义，找到N）

在利用数列极限定义证明为数列的极限时，重要的是对，要能够指出定义中所说的这种正整数确实存在，但没有必要去求最小的，故在解决具体问题时，可用放大方法。

2 运用极限的四则运算求极限

极限的四则运算只适用于每个式子极限存在且分母极限不为0的情况，且只限于“有限个”，“有限个”很关键；若无限个，四则运算不再适用。

3 约去零因子

例如我们考虑到时函数的变化趋势，在这一变化过程中但，因此我们可以先约去分子分母极限为零的公因式，一般“”的未定式，我们首先考虑约去零因子。

4 分子分母同除以变量最高次幂

此种方法适用于变量趋于无穷，且分子分母是变量的幂函数的分式，首先考虑分子分母同除以变量的最高次幂的方法。

5 应用两个重要极限求极限

应用两个重要极限解题时要注意两公式特点，一定构造出公式的形式后方可应用。

公式的特点：（1）中部分要相同；（2）。

公式的特点：（1）中部分要相同；（2）。

6 用等价无穷小代换求极限

应用等价无穷小代换，需要注意的是，等价无穷小代换只适用与积与商，且只能代换乘积或商式中分子或分母的某个因式而不能代替其中加、减式的某一项。

7 利用无穷小量的性质求极限

当应用“有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量”的性质时，一定有一个函数极限是0即是无穷小量。

8 运用无穷小与无穷大关系求极限

应用无穷大与无穷小互为倒数关系，可以求极限。

9 用迫敛性求极限

应用迫敛性求极限时，找到的一个比其大的函数和一个比其小的函数，这两个函数的极限值要存在且相等。

10 利用单调有界定理求极限

利用单调有界定理证明时，应注意放缩方向，单调递增函数需有上界则极限存在；单调递减函数需有下界，则极限存在。

11 函数连续性求极限

注意：当函数连续时，极限符号与函数符号可交换顺序。

12 运用洛必达法则求极限

有些题目可以直接应用洛必达法则求解，有些题目可以转化为洛必达法则求解，例如：

（1）对于，型极限，可将乘积化为除式，即化为型或型未定式计算。

（2）对于型的未定式，可先将其化为以为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限。

13 利用Taylor公式求极限

应用Taylor公式求极限时，注意余项的阶数的选取。

14 数列极限转换为函数极限求解

由于数列不具有函数的比较好的解析性质，比如连续性、可积性、可导性，所以可先求数列对应函数的极限，再代入特值得到数列极限。此方法在求级数的部分和极限时应用很广。

15 利用定积分定义求极限

应用定积分定义求极限，适用于n项和极限，但要注意以下两点。

（1）当题目能凑成的形式时，用定积分的定义把极限转化为定积分来计算。

（2）当n项和极限，不能凑成定积分的定义的极限和形式时，利用两边夹法则求极限。

16 利用级数收敛的必要条件

若收敛，则，这一结论可证明数列的极限趋于零。

17 运用Stolze定理求极限

Stolz公式：，值得注意的是当时，特别有效。

18 结语

总之，极限的计算方法很多，也比较灵活，总的原则是：充分利用所求极限的特点，利用极限的运算性质及上述常用方法，有时需综合运用以上方法可以更简便求出极限的值，是复杂的问题简单化。有时一个极限也可用多种方法求解。

参考文献

[1] 徐森林，薛春华.数学分析[M].清华大学出版社，2012.

[2] 同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2007.

[3] 迟彦惠.微积分[M].华南理工大学出版社，2009.endprint

摘 要：极限的计算是高等数学教学的重要内容之一，该文就若干种常用的求极限的问题进行分析，针对不同题型，采用不同方法，并总结归纳了应用每种求极限方法应注意的要点。

关键词：极限 计算 方法

中图分类号：O211 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）08（a）-0227-01

1 运用极限的定义证明极限的值（用定义，找到N）

在利用数列极限定义证明为数列的极限时，重要的是对，要能够指出定义中所说的这种正整数确实存在，但没有必要去求最小的，故在解决具体问题时，可用放大方法。

2 运用极限的四则运算求极限

极限的四则运算只适用于每个式子极限存在且分母极限不为0的情况，且只限于“有限个”，“有限个”很关键；若无限个，四则运算不再适用。

3 约去零因子

例如我们考虑到时函数的变化趋势，在这一变化过程中但，因此我们可以先约去分子分母极限为零的公因式，一般“”的未定式，我们首先考虑约去零因子。

4 分子分母同除以变量最高次幂

此种方法适用于变量趋于无穷，且分子分母是变量的幂函数的分式，首先考虑分子分母同除以变量的最高次幂的方法。

5 应用两个重要极限求极限

应用两个重要极限解题时要注意两公式特点，一定构造出公式的形式后方可应用。

公式的特点：（1）中部分要相同；（2）。

公式的特点：（1）中部分要相同；（2）。

6 用等价无穷小代换求极限

应用等价无穷小代换，需要注意的是，等价无穷小代换只适用与积与商，且只能代换乘积或商式中分子或分母的某个因式而不能代替其中加、减式的某一项。

7 利用无穷小量的性质求极限

当应用“有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量”的性质时，一定有一个函数极限是0即是无穷小量。

8 运用无穷小与无穷大关系求极限

应用无穷大与无穷小互为倒数关系，可以求极限。

9 用迫敛性求极限

应用迫敛性求极限时，找到的一个比其大的函数和一个比其小的函数，这两个函数的极限值要存在且相等。

10 利用单调有界定理求极限

利用单调有界定理证明时，应注意放缩方向，单调递增函数需有上界则极限存在；单调递减函数需有下界，则极限存在。

11 函数连续性求极限

注意：当函数连续时，极限符号与函数符号可交换顺序。

12 运用洛必达法则求极限

有些题目可以直接应用洛必达法则求解，有些题目可以转化为洛必达法则求解，例如：

（1）对于，型极限，可将乘积化为除式，即化为型或型未定式计算。

（2）对于型的未定式，可先将其化为以为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限。

13 利用Taylor公式求极限

应用Taylor公式求极限时，注意余项的阶数的选取。

14 数列极限转换为函数极限求解

由于数列不具有函数的比较好的解析性质，比如连续性、可积性、可导性，所以可先求数列对应函数的极限，再代入特值得到数列极限。此方法在求级数的部分和极限时应用很广。

15 利用定积分定义求极限

应用定积分定义求极限，适用于n项和极限，但要注意以下两点。

（1）当题目能凑成的形式时，用定积分的定义把极限转化为定积分来计算。

（2）当n项和极限，不能凑成定积分的定义的极限和形式时，利用两边夹法则求极限。

16 利用级数收敛的必要条件

若收敛，则，这一结论可证明数列的极限趋于零。

17 运用Stolze定理求极限

Stolz公式：，值得注意的是当时，特别有效。

18 结语

总之，极限的计算方法很多，也比较灵活，总的原则是：充分利用所求极限的特点，利用极限的运算性质及上述常用方法，有时需综合运用以上方法可以更简便求出极限的值，是复杂的问题简单化。有时一个极限也可用多种方法求解。

参考文献

[1] 徐森林，薛春华.数学分析[M].清华大学出版社，2012.

[2] 同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2007.

[3] 迟彦惠.微积分[M].华南理工大学出版社，2009.endprint

摘 要：极限的计算是高等数学教学的重要内容之一，该文就若干种常用的求极限的问题进行分析，针对不同题型，采用不同方法，并总结归纳了应用每种求极限方法应注意的要点。

关键词：极限 计算 方法

中图分类号：O211 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）08（a）-0227-01

1 运用极限的定义证明极限的值（用定义，找到N）

在利用数列极限定义证明为数列的极限时，重要的是对，要能够指出定义中所说的这种正整数确实存在，但没有必要去求最小的，故在解决具体问题时，可用放大方法。

2 运用极限的四则运算求极限

极限的四则运算只适用于每个式子极限存在且分母极限不为0的情况，且只限于“有限个”，“有限个”很关键；若无限个，四则运算不再适用。

3 约去零因子

例如我们考虑到时函数的变化趋势，在这一变化过程中但，因此我们可以先约去分子分母极限为零的公因式，一般“”的未定式，我们首先考虑约去零因子。

4 分子分母同除以变量最高次幂

此种方法适用于变量趋于无穷，且分子分母是变量的幂函数的分式，首先考虑分子分母同除以变量的最高次幂的方法。

5 应用两个重要极限求极限

应用两个重要极限解题时要注意两公式特点，一定构造出公式的形式后方可应用。

公式的特点：（1）中部分要相同；（2）。

公式的特点：（1）中部分要相同；（2）。

6 用等价无穷小代换求极限

应用等价无穷小代换，需要注意的是，等价无穷小代换只适用与积与商，且只能代换乘积或商式中分子或分母的某个因式而不能代替其中加、减式的某一项。

7 利用无穷小量的性质求极限

当应用“有界函数与无穷小量之积仍为无穷小量”的性质时，一定有一个函数极限是0即是无穷小量。

8 运用无穷小与无穷大关系求极限

应用无穷大与无穷小互为倒数关系，可以求极限。

9 用迫敛性求极限

应用迫敛性求极限时，找到的一个比其大的函数和一个比其小的函数，这两个函数的极限值要存在且相等。

10 利用单调有界定理求极限

利用单调有界定理证明时，应注意放缩方向，单调递增函数需有上界则极限存在；单调递减函数需有下界，则极限存在。

11 函数连续性求极限

注意：当函数连续时，极限符号与函数符号可交换顺序。

12 运用洛必达法则求极限

有些题目可以直接应用洛必达法则求解，有些题目可以转化为洛必达法则求解，例如：

（1）对于，型极限，可将乘积化为除式，即化为型或型未定式计算。

（2）对于型的未定式，可先将其化为以为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限。

13 利用Taylor公式求极限

应用Taylor公式求极限时，注意余项的阶数的选取。

14 数列极限转换为函数极限求解

由于数列不具有函数的比较好的解析性质，比如连续性、可积性、可导性，所以可先求数列对应函数的极限，再代入特值得到数列极限。此方法在求级数的部分和极限时应用很广。

15 利用定积分定义求极限

应用定积分定义求极限，适用于n项和极限，但要注意以下两点。

（1）当题目能凑成的形式时，用定积分的定义把极限转化为定积分来计算。

（2）当n项和极限，不能凑成定积分的定义的极限和形式时，利用两边夹法则求极限。

16 利用级数收敛的必要条件

若收敛，则，这一结论可证明数列的极限趋于零。

17 运用Stolze定理求极限

Stolz公式：，值得注意的是当时，特别有效。

18 结语

总之，极限的计算方法很多，也比较灵活，总的原则是：充分利用所求极限的特点，利用极限的运算性质及上述常用方法，有时需综合运用以上方法可以更简便求出极限的值，是复杂的问题简单化。有时一个极限也可用多种方法求解。

参考文献

[1] 徐森林，薛春华.数学分析[M].清华大学出版社，2012.

[2] 同济大学数学系.高等数学[M].高等教育出版社，2007.

[3] 迟彦惠.微积分[M].华南理工大学出版社，2009.endprint