结构光三维测量系统标定的关键算法研究

朱统晶，周 平，2，刘欣冉，袁骏杰

（1.东南大学 生物科学与医学工程学院，江苏 南京210096；2.东南大学 苏州研究院，江苏 苏州215123）

引言

由于具有非接触、无损伤、高分辨率和速度快等优点，光学三维测量技术被广泛应用于工业检测、计算机辅助医学、考古学和虚拟现实等各个方面，其中结构光三维测量技术被认为是最具有发展前途的三维轮廓测量方法。测量系统中，投影仪与相机的位置关系及内部参数都需要通过系统标定获得，标定算法的精度直接影响测量系统的精度［1-3］。

基于结构光的三维轮廓测量系统标定常用特征圆标定板，提高特征圆的检测精度有助于提高标定精度，故需对特征圆进行亚像素边缘检测。常用的亚像素边缘检测方法有插值法和矩方法。张虎等人利用灰度插值进行快速亚像素定位［4］。矩方法基于积分运算，具有很好的抗噪声特性。Mitchell等人提出基于矩和灰度空间矩的边缘检测方法［5-6］，目的是求出边缘模型中的4个参数。由于正交矩具有正交性和旋转不变性，Ghosal与Bin等人分别提出基于Zernike正交矩［7］和正交傅里叶-马林矩（OFMM）的亚像素边缘定位方法［8］。曲迎东等人在保证亚像素精度要求的前提下，为了提高运算速度采用像素级、亚像素级边缘检测相结合的方法［9］。此外，数字投影仪和CCD相机都具有由gamma非线性变换引起的光栅非正弦化效应，影响系统标定精度［10-11］。为gamma效应建立模型是有效的解决途径。Liu等人为相位测量轮廓术中的gamma效应数学模型进行了严格推导，并在此基础上分析误差，提出2种相位补偿方法［12］，Hoang等人提出一种基于gamma预编码的gamma校正方法［13］，Li等人在Liu的模型基础上考虑投影仪特性，提高了算法的精度［14］，Zhang等人则进一步发展Liu和Li的方法，建立了通用gamma模型［15］。

本文将亚像素边缘检测算法与gamma预校正方法用于系统参数标定。在亚像素边缘检测中，先采用Sobel算子检测出所有边缘点，再根据OFMM理论对每一个边缘点进行亚像素定位；在gamma预校正中，先建立gamma数学模型，计算获得系统gamma值，再将其应用于投影光栅的预校正，最终实现了系统参数标定精度的提高。

1 算法原理

图1为本文使用的标定板。标定时需投射横向与纵向正弦相移光栅，然后计算出每个特征点（特征圆圆心）的相位信息，从而反求出特征点在投影仪平面上对应点的坐标信息。最后利用双目视觉系统标定方法标定出所有系统参数［1］。在标定过程中，特征点检测的精确程度与光栅因gamma非线性引起的畸变程度直接影响系统参数标定的精度。

图1 标定板实验图像Fig.1 Calibration board image

1.1 基于正交傅里叶-马林矩的标定点检测算法

首先利用sobel算子对标定板圆形图像边缘进行粗定位。然后利用OFMM为每一个边缘点进行亚像素精确定位，求出subpx和subpy。图2为理想二维边缘模型，h为背景灰度，k为边缘灰度差，l为边缘到坐标原点的距离，φ为边缘与y坐标轴夹角，表征边缘的方向。

图2 理想二维边缘Fig.2 Ideal 2D edge model

二维连续函数f（x，y）的正交傅里叶-马林矩的极坐标表达式为

由定义可知，φnm具有旋转不变性，顺时针旋转角度φ后，φ′nm＝φnme-jwφ。可以推得，旋转前后的OFMM为

根据文献［8］，边缘模型的参数计算公式如下：

为求得φnm值，以待进行亚像素定位的像素点（x，y）为圆心做内切5像素×5像素的单位圆。采用文献［8］提供的模板，将单位圆中各像素点的灰度值与各模板进行卷积，得到圆心像素点的φnm值。模型边缘所在圆弦的中点坐标即为像素（x，y）的亚像素坐标值，计算公式为

最后，将所有边缘点分组，每个圆形图案的边缘点分为一组。利用椭圆拟合方法对每组边缘点进行拟合，所得圆心坐标为标定特征点。

图3为基于正交傅立叶-马林矩的标定点检测算法的算法流程图。

图3 亚像素检测算法流程图Fig.3 Algorithm flow chart of sub-pixel detection

1.2 Gamma效应预校正

标定时需投射横向与纵向正弦相移光栅。理想情况下，正弦光栅为

式中：Ap和Bp是用户定义的常数；N为相移图像数；n为相移图像索引；Ψp＝2πfx是光栅相位。记δn＝2πn／N。

实际测量中，正弦光栅经过投影仪、相机的gamma非线性畸变，采集到的变形正弦光栅为

根据公式（6），利用三角函数的正交性，可以获得Bk的计算公式：

根据文献［12］的推导，当Bk≠0时，比值Bk＋1／Bk为

在黑暗环境下投射十六步相移图像，利用公式（7）求B1和B2，通过求解公式（8）获得系统gamma值γ。

在获得系统gamma值后，投射光栅校正为：I′n，p＝（In，p）1／γ。实际测量中，1／γ 恰好抵消了投影仪、相机的gamma非线性畸变，摄像机采集到的为理想正弦光栅。

2 实验结果与分析

本文研发的物体表面轮廓系统采用维视图像MV-VD120CS型工业相机和BenQ GP1型投影仪构建系统。主要测量参数为：单次测量面积最大为（400×300）mm2，单次测量时间约为2s。

首先，为了寻找最佳的亚像素定位方法，sobel算子结合各类矩算子进行亚像素边缘定位。亚像素定位的精度如表1所示，亚像素定位的算法时间如表2所示。矩算子选择最常用的灰度空间矩 （GSM）、Zernike 矩、正 交 傅 里 叶-马 林 矩（OFMM）。

表1 各类矩算子的定位精度结果 像素Table 1 Detection accuracy of moment operators

表2 各类矩算子的算法时间结果 sTable 2 Operation time of moment operators

通过表1、表2可知，sobel算子结合OFMM算子获得的定位精度比Zernike矩算子更高，在算法时间上基本持平。因此选用sobel算子结合OFMM算子进行亚像素定位是更好的选择。

然后，为了验证gamma预校正方法的有效性，往平面投射未校正和校正后的相移光栅图像。解相后，未校正效果图如图4（a），校正后的效果图如图4（b），可见“波纹”状的误差明显减少了。

在全局每间隔一定距离选取一行相位误差，对这些相位误差取平均值，实验结果表明，未进行gamma预校正的相位误差最大值为0.85rad，校正后的相位误差最大值减小到0.36rad，校正后相位精度提高了2.4倍。

图4 校正前后平面效果图Fig.4 Phase before and after gamma correction

进行系统标定时，标定板被依次放置在6个不同位置。在每个位置上，投射经过gamma预校正后的相移光栅图像，并同时利用相机采集，如图1所示。利用本文亚像素定位方法进行椭圆检测并检测圆心，得到标定特征点。通过相移图像解相，获得每个标定点坐标上的相位信息。利用该相位信息可以获得投影仪平面上对应点的坐标信息，由此，投影仪也可以当做相机。然后利用双目视觉系统标定方法标定出所有系统参数。

图5 相机的反向投影误差Fig.5 Reprojection error of camera（pixel）

本文计算了标定中用于标定的所有标志点的反向投影误差，相机反向投影误差分布如图5所示。未使用本文所述方法时，相机标定的均方根误差在X、Y方向分别为0.221 6像素和0.350 5像素。使用上述2种方法后，标定的均方根误差在X、Y方向分别减小为0.066 94像素和0.067 05像素。

最后，使用标定得到的系统参数进行人脸三维重建，实验结果如图6所示。本文方法重建得到的点云数据光滑均匀，基本消除了由gamma畸变引起的相位误差。速度快，精度高，误差RMS为0.01mm。

图6 人脸测量结果Fig.6 Reconstructed results of human face

3 结论

本文提出结构光三维重建系统标定的2个关键算法。sobel算子结合OFMM算子能有效亚像素定位图像边缘，定位精度达到0.107像素，提高了圆心检测的精度。Gamma效应预校正能有效去除gamma畸变引起的相位误差，与未进行gamma预校正相比，相位精度提高了2.4倍。标定实验结果表明，与不采用亚像素边缘检测与gamma校正相比，经过本文方法后X、Y方向的标定精度分别提高约3.5倍与5倍。本文方法精度高、速度快，提高了系统标定精度。

［1］ Xu Qinghong，Zhong Yuexian.System calibration technique of profilometry by projected grating［J］.Optical Technique，2000，26（2）：126-129.许庆红，钟约先.光栅投影轮廓测量的系统标定技术［J］.光学技术，2000，26（2）：126-129.

［2］ An Dong，Da Feipeng，Gai Shaoyan，et al.New system calibration method based on fringe projection profilometry［J］.Journal of Applied Optics，2014，35（1）：81-84.安东，达飞鹏，盖绍彦，等.新的基于条纹投影轮廓测量的系统标定方法［J］.应用光学，2014，35（1）：81-84.

［3］ Zhang S.Recent progresses on real-time 3Dshape measurement using digital fringe projection tech-niques［J］.Opt.Laser Eng.，2010，48：149-158.

［4］ Zhang Hu，Da Feipeng，Xing Dekui.Algorithm of centre location of ellipse in optical measurement［J］.Journal of Applied Optics，2008，29（6）：905-911.张虎，达飞鹏，邢德奎.光学测量中椭圆圆心定位算法研究 ［J］.应用光学，2008，29（6）：905-911.

［5］ Tabatbaai A J，Mitchell O R.Edge location to subpixel values in digital imagery［J］.Pattern Analysis and Machine Intelligence，IEEE Transactions on，1984（2）：188-201.

［6］ Lyvers E P，Mitchell O R，Akey M L，et al.Subpixel measurements using a moment-based edge operator［J］.Pattern Analysis and Machine Intelligence，IEEE Transactions on，1989，11（12）：1293-1309.

［7］ Ghosal S，Mehrotra R.Orthogonal moment operators for subpixel edge detection［J］.Pattern recognition，1993，26（2）：295-306.

［8］ Bin T J，Lei A，Jiwen C，et al.Subpixel edge location based on orthogonal Fourier-Mellin moments［J］.Image and Vision Computing，2008，26（4）：563-569.

［9］ Qu Yingdong，Cui Chengsong，Chen Shanben，et al.A fast subpixel edge measurement method based on Sobel-Zernike moment operator［J］.Opto-Electronic Engineering，2004，30（5）：59-61.曲迎东，崔成松，陈善本，等.利用Sobel-Zernike矩算子白勺快速亚像素边缘检测方法［J］.光电工程，2004，30（5）：59-61.

［10］ Zhang S，Huang P S.Phase error compensation for a 3-D shape measurement system based on the phase-shifting method［J］.Optical Engineering，2007，46（6）：063601-063601-9.

［11］ Chen X，Xi J，Jin Y.Phase error compensation method using smoothing spline approximation for a three-dimensional shape measurement system based on gray-code and phase-shift light projection［J］.Optical Engineering，2008，47（11）：113601-113601-9.

［12］ Liu K，Wang Y，Lau D L，et al.Gamma model and its analysis for phase measuring profilometry ［J］.JOSA A，2010，27（3）：553-562.

［13］ Hoang T，Pan B，Nguyen D，et al.Generic gamma correction for accuracy enhancement in fringe-projection profilometry［J］.Optics Letters，2010，35（12）：1992-1994.

［14］ Li Z，Li Y.Gamma-distorted fringe image modeling and accurate gamma correction for fast phase measuring profilometry［J］.Optics Letters，2011，36（2）：154-156.

［15］ Zhang X，Zhu L，Li Y，et al.Generic non-sinusoidal fringe model and gamma calibration in phase measuring profilometry ［J］.JOSA A，2012，29（6）：1047-1058.