运用“轴对称”解决最短路径问题

刘军

在学习“轴对称图形”时，我们经常会遇到与最短路径有关的问题，同学们往往在处理这类问题时感到困难. 这类问题通常会转化成“两点之间，线段最短”来解决，而轴对称的性质是实现这一转化的有效方法之一. 只要我们能把握轴对称的性质，那么问题便迎刃而解.

在苏科版八（上）“轴对称图形”一章的课后习题中就有这样一个问题：如图1，点A、B在直线l同侧，点B′是点B关于l的对称点，AB′交l于点P. （1） AB′与AP+PB相等吗？为什么？（2） 在l上再取一点Q，并连接AQ和QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由.

【解析】 （1） 由点B与点B′关于直线l成轴对称可知PB=PB′，则AB′=AP+PB′=AP+PB. （2） 利用“三角形任意两边之和大于第三边”及（1）的结论可知，AQ+QB>AB′=AP+PB.

这个问题还可以进一步说明直线l上的点P能使得线段PA+PB的和最小.

下面再通过对几个最短路径问题的分析，帮助同学们熟悉并掌握这类问题的解题策略，真正能做到融会贯通，一通百通.

一、 已知两点在一条直线的同一侧

例1 （将军饮马）古希腊一位将军要从A地出发到河边（如下图MN）去饮马，然后再回到驻地B. 问怎样选择饮马地点P，才能使路程最短？

【点拨】 分别作点A、B关于OM、ON的对称点A1、B1，连接A1B1，分别交OM、ON于点C、D，即得点C、D就是所求的两点.

利用“轴对称”解决最短路径问题的关键是根据轴对称的性质，将不在一条直线的线段转化到同一条直线上，然后用“两点之间，线段最短”来解决. 解决这类问题，还需要认真审题，不仅要注意图形，而且要重视问题的要求，才能够有效地解决此类问题.

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）