利用轴对称解决问题

金杨建

数学来源于生活，生活中充满了数学. 实际生活中有许多棘手的问题能根据轴对称中的知识轻松解释或解决.

1. 丁俊晖如何打这个球

在台球比赛中，经常会出现一些无法直接击打的球，这就需要比赛选手根据轴对称知识，选择合适的角度，通过反弹的方式，间接击球.

例1 在一场台球比赛中出现了如图1的情形，需要通过击打P球去撞击Q球. 但由于P、Q两球之间被其他球阻挡，无法直接击打P球撞击Q球. 如果你是“小丁俊晖”，你会如何击球呢？请求出一种击球方式.

【分析】 不妨使球P撞击边AD反弹，再撞击球Q. 这时，必须使球P的入射角等于反射角，显然，作点P关于AD的对称点P′（如图2），连接P′Q，P′Q与AD相交于点E，容易得到∠PED=∠DEP′=∠AEQ. 所以击打P球，撞击AD边上的点E即可.

解：作点P关于AD的对称点P′，连接P′Q交AD于点E. 则击打P球，撞击AD边上的点E即可.

2. 镜子中的轴对称

人们经常会从镜子中看到一些数字，但从镜子看到的数字并不一定是真实的数字. 此时，便需要根据轴对称中的相关知识进行转化.

例2 （1）小明从墙上的镜子里看到对面电子钟的时间如图3所示，则电子钟上实际显示的时间是_________；

（2）小华从平放在地面的镜子里看到挂在墙上的电子钟时间也是如图3所示，则电子钟上实际显示的时间是_________.

【分析】 从镜子中看到的数字与实际中的数字是成轴对称的. 确定实际数字的关键是确定对称轴的位置. 小明看到的镜子和电子钟是相互平行的，因此，对称轴应是竖直的一条直线（|）. 故小明看到的电子钟实际时间为10：51. 小华看到的镜子和电子钟是相互垂直的. 因此，对称轴是水平的一条直线（—）. 故小华看到的电子钟实际时间为15：01.

解：（1） 10：51；（2） 15：01.

3. 选址中的轴对称

在现实生活中，经常需要建一些加油站、水泵站或工厂等建筑，使之满足一定的条件，从而能合理利用资源，避免浪费. 在选择合适地址时往往需要利用轴对称中的相关知识进行合理规划.

例3 如图4，要在河道l上修建一座水泵站P，分别向A、B两地供水，问：水泵站建在河道的什么地方，可使所用的输水管线最短？

【分析】 我们可以把河道近似地看成一条直线l，问题就是要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小. 如图5，若点A′是点A关于l的对称点，本题就是要使A′P与PB的和最小. 显然当A′、P、A三点在同一直线上时，A′P与PB的和最小. 因此，线段A′B与直线l的交点P的位置即为所求.

解：作点A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则点P即为所求.

例4 如图6，两条国道OA、OB在我市交汇于点O，在∠AOB的内部C、D处各有一个工厂. 现要修建一个货站P，使货站P到两条国道OA、OB的距离相等，到C厂、D厂的距离也相等，请在图中画出货站P的位置. （要求：用圆规直尺作图，保留作图痕迹，不写已知、求作和作法）

【分析】 根据货站P到两条国道OA、OB的距离相等，可知货站P在∠AOB的角平分线上；根据货站P到C厂、D厂的距离也相等，可知货站P在线段CD的垂直平分线上. 因此，分别作出∠AOB的平分线以及CD的垂直平分线，交点即是P点的位置.

解：如图7，点P即为所求.

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）