基于高中数学问题解决认知模式的数学错题分析

黄永权

摘 要：运用数学问题解决的认知结构理论对数学错题进行分析并得出了相关结论，提出了对高中数学教师教学方法的建议。

关键词：数学；错题；教学

一、问题解决的认知模式概述

问题解决的认知模式是从人的认知层面去探索解决问题的本质。该研究已经取得了很大的成果，在世界上比较有代表性的理论有：（1）奥苏伯尔和鲁宾逊问题解决模式：呈现问题情境命题—明确问题的目标和已知条件—填补空隙—解题后的检验。（2）格拉斯的问题解决模式：形成初始表征—制订解决计划—重构表征—执行计划或检验结果。（3）基克等人提出的问题解决四个阶段：理解与表征问题—寻求解答—尝试应答—评价。国内很多学者亦对此问题进行了理论研究与探索，如胥兴春、刘电芝将问题解决的过程动态划分为四个环节：信息感知—情景表征—寻求解题方案—数学运算。在上述相关理论的指导下，我们以高中的数学问题尤其是错题为材料，调查了中学生在解决数学问题过程中的认知模式问题。

二、我们对错题调查的研究及结果分析

我们在研究中，以高二数学题错题作为实验材料，并且在研究中发放了调查问卷150份，收回148份，剔除6份无效调查问卷后，有效调查问卷为142份。在调查问卷结束后，我们又运用了个案的访谈法对单个学生的解题思路进行了更加明确的掌握。

综合学生错题、调查问卷以及对学生的访谈，根据学生解决问题进程中表征层次的不同和策略选取的差异，我们分析出了三种存在于学生中的解决问题的认知模式：（1）盲目式模式，指解题学生对问题解决所应当运用的基础知识掌握不全面、不系统，导致解题思路不清晰，往往在多步之间来回摇摆、捉摸不定，找不到正确的解题步骤与策略，从而导致失败。（2）产生式模式，这种方式指的是，在解题过程中学生多使用分析递归策略或探索策略来解答问题，但由于题目的复杂性，这种表征过程往往不会一次有效，解决问题的学生需要不断地提取问题中的有效信息，并运用自身的相关知识经验完成对问题的表征。因此，表征过程往往是循序渐进、层层递进式。（3）范畴式模式，这种模式是指问题表征进程是分布式或跳跃式的。解决问题的学生能够快速、有效地整合提取题目的关键信息，进而产生顿悟和启发，并灵活地运用自己掌握的知识解决问题，这种表征过程从初始状态到目标状态之间完全没有循环往复的过程。这种表征依赖于陈述性知识的结构化程度高，称为范畴式认知模式。

三、对调查结果的分析

1.问题解决认知模式分布不均。为了比较不同的认知模式在学生中的适用情况，我们将全部调查对象使用的认知模式做了统计分析。结果显示，仅有极少部分学生能使用范畴式认知模式解题，大部分学生采用的是产生式的解题模式，更有极少数的学生是采用盲目式的解题方式。造成这种现象的原因是什么呢？主要是因为认知模式是受主体的知识背景、思维水平及方式和认知结构中掌握的问题模板等多方面影响。大多数学生采用产生式认知模式解决问题，首先说明了大多数学生在解题过程中往往喜欢按部就班、稳妥地解决问题，多采用常规的思维方式，循序渐进，实质上，其思维方式是根据所求一步一步进行逆推，解题步骤表现为“要解决问题，需要具备什么条件”的模式或“要求……需求……”的模式，因此运用的是和线性的循序渐进式的信息表征方式或分析递归策略。其次，说明了大多数学生脑海中储存的数学解题图式模板较少。因为学生掌握的模板深刻地影响着学生问题表征的方式与水平，进而影响策略的选择和运用。这种解题图式模板主要包括学生已经掌握的与将解决题目相关的知识基础、解题经验与解题策略。学生原有解决问题的策略会影响到新问题的表征。在教学过程中，大部分教师没有养成一个抽象概括典型例题的教学习惯与方式，仅仅采用常规的方式教授学生。久而久之，只有那种概括分析能力强、思维水平高、善于把握知识原理的学生才能灵活地运用范畴式的认知模式解决问题。而大部分学生受教师传统教授思维方式的影响，仅能按部就班地使用产生式认知模式解决问题。更有极少数不认真学习或领悟能力比较差的学生由于对基本概念与原理掌握不够扎实，导致仅能使用盲目式的认知模式解题。

2.解题成绩与认知模式显著相关。认知模式与解题成绩等级呈显著相关。采用范畴式认知模式解题的学生因为他们脑海中已经形成了良好的认知结构，并掌握了扎实稳定的知识结构，对问题的有效信息能够快速灵活地进行整合与组织，因此表征一般快速而且科学，其次，因为这部分学生掌握的问题图式模板亦比较丰富，所以他们在解题过程中可以很快地进行模式匹配解决问题，所以错题较少，成绩较好。相反，如果学生对所学的知识掌握不够全面，没有形成自己稳定的知识结构和丰富的知识内容并且对问题图式模板掌握比较少，他不能有效地提取问题信息，不能将问题中的信息与自身所学有效的结合，从而表现出表征的混乱，导致解题策略的盲目选择，解题过程的来回反复，以至于无法顺利地解决问题。

四、本研究对高中数学教师教学的启发

1.加强数学概念和原理的教学。首先，概念和原理是学生解题的基础，正所谓“万变不离其宗”。其次，概念和原理的掌握程度深刻地影响着学生认知结构的建构，从而影响学生问题表征的进度和深度。因此，高中数学教师在教学过程中应注意学生基础的夯实，加强其基本概念和原理的教育。

2.注重审题方式的教学。当前，很多学生在解题过程中不知如何审题，不能识别和提取题目中的关键信息，不能把问题上升到理论和原理的层面，导致解题错误。所以，高中数学教师教学中一定要注意教学生如何审题，如何整合提取题目中的关键信息，如何运用原理进行解答。

3.正确处理三类学生数学水平的差异。三类学生之所以在问题表征、模式识别都存在差异性，很大一部分的原因在于其掌握的数学知识的程度，因此教师需要因材施教。首先，教师需要帮助学生适时地复习巩固已学过的数学知识，同时恰当地引入课外知识，扩展数学知识背景，使学生开阔眼界。其次，要适时逐步地提升中等生作业题目的难度和灵活性。中等生对基础知识的掌握是准确的，但他们的思维水平不如优生深刻、灵活，知识网络不如优生完整。因此，通过适时地提升作业题目的灵活性，可以使他们在解决问题的过程中，不断提升对某些知识、方法的理解，促进知识网络的优化。第三，帮助后进生准确地理解基本概念、基本原理，增强对某些固定解题方法的应用练习。采用盲目式认知模式的学生对基本概念、基本原理的理解不够深刻，从而导致他们在长时记忆中的知识网络过于简单、模式质量存在不足，从而不能准确、顺利地进行问题表征和模式识别。所以教师应该帮助后进生准确地理解基本概念、基本原理，加强对某些解题方法的练习，不断地缩小与中等生的差距。

这篇文章运用心理学等相关知识，结合自身的调查研究，通过对高中数学问题解决认知模式的分析，提出了自己对高中数学教育方法的几点思考，希望能对高中数学教师产生一些启发。

参考文献：

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