过程比结果更重要

孙芳

[摘 要] 本文从圆的对称性之“垂径定理”的教学设计与课堂教学出发，通过对学情的分析、教学目标的设置及教学过程的分析，阐述了教师如何设置情境，如何激发学生动手操作的意识，以及探究过程中如何体现学生的自主性.

[关键词] 垂径定理；半径；半弦；弦心距

■ 概况

学情分析？摇 本次授课的班级是苏州市胥江实验中学校初三（6）班，本班学生来自学校周围学区内，学生的学习习惯和学习基础良好，学生对数学的学习兴趣较为浓厚，有部分学生的数学学习能力较为突出.

教学目标？摇 1. 知识与技能

（1）通过观察折纸图片，使学生理解圆的轴对称性.

（2）掌握垂径定理，理解其证明过程，学会利用垂径定理解决有关的证明与计算问题.

（3）掌握添辅助线的方法，可以是连半径，或过圆心作一条与弦垂直的线段，目的是找出“半径、半弦、弦心距”组成的直角三角形，进而用勾股定理解题.

2. 过程与方法

（1）通过翻折的探究方法，培养学生的观察能力、分析能力、逻辑思维能力和归纳概括能力.

（2）向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法.

3. 情感、态度、价值观

（1）结合本节课的教学内容，向学生进行数学对称美的美育渗透.

（2）使学生领会教学的严谨性和探索精神，激发学生探究、发现数学问题的兴趣，培养学生对数学的审美观以及积极参与的热情.

教学重点？摇 垂径定理及其应用.

教学难点？摇 垂径定理的证明及其应用.

教学方法？摇 探究发现法.

教学准备？摇 教师自制的圆形纸片教具、PPT课件、电子白板和电脑的提前开启、三角板、圆规；学生准备好圆规和三角板.

■ 教学过程

1. 引入新知

师：同学们还记得什么叫轴对称图形吗？

生1：把一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 轴 对称图形，这条直线叫做 对称轴 .

设计说明？摇 通过复习以前所学的轴对称概念，为本节课探究圆的轴对称性做铺垫，引出翻折的研究方法，引导学生通过翻折发现垂径定理的内容.

2. 创设情境

师：今天我们要学习“圆的对称性”知识. 请大家思考：圆是轴对称图形吗？

生（齐）：圆是轴对称图形.

师：如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

生1：经过圆心的直线（直径所在的直线）是圆的对称轴；圆有无数条对称轴.

师：你是用什么方法获得上述发现的？

生1：通过折叠的方法.

（教师引导：圆的轴对称性；对称轴的描述；板书）

设计说明 ？摇通过创设一个学生比较容易理解的情境以及三个问题，逐步引导学生归纳圆的轴对称性和探究的方法：折叠，为下面的“探索新知”环节提供方法.

3. 探索新知

师：请同学们在准备好的圆形纸片上画出任意一条直径AB，再画一条弦CD，使得整个图形仍是轴对称图形. （生2板演如何画弦CD）

设计说明？摇 让学生自己动手操作，发现圆的对称性，培养学生的动手实践能力.

学生出现了下面两种画法（如图2和图3所示），教师肯定了学生画法的正确性，引导学生今天所要研究的对象：垂直的情况. 进一步引导学生折叠图形，思考以下问题.

■

师：图3是轴对称图形，对称轴是什么？

生（齐）：对称轴是直线AB.

师：你能发现图3中有哪些相等的线段、相等的弧？说说你的理由.（引导学生自主证明）

教师提问后留给学生自主证明的时间，结合教师巡视的过程，让一位思路正确的学生回答自己所找到的等量关系、证明方法，学生叙述，教师板书如下证明过程.

■

设计说明？摇 当学生发现圆的对称性后，再自己动手添加辅助线，既考查了学生对轴对称的理解，又培养了学生观察、思维的能力. 在确定研究对象后，再自主探究寻找相等的线段、相等的弧，这一系列过程，意在培养学生独立思考、严谨推理的数学习惯.

验证定理，形成垂径定理的文字语言、符号语言、图形表示，教师板书如下.

垂径定理：垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

符号语言：∵AB是直径，AB⊥CD于点P，∴PC=PD，■=■，■=■.

■

设计说明 定理呈现的三种形式都要求学生能懂，即文字语言描述、数学推理符号、图形. 板书的呈现有助于学生看清教师的书写，理解三种形式，帮助学生加强对定理的理解.

4. 运用新知

师：接下来我们就运用刚才学过的垂径定理来解决问题.

基础训练？摇（1）如图6所示，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不一定成立的是（ ）

A.∠COE=∠DOE B. CE=DE

C. OE=BE？摇 ？摇D. ■=■

■

生2：我选择C，因为其余三个选项都能用垂径定理证明出来.

师：很好！这位同学已经深深记住了垂径定理的内容.

（2）如图7所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P. 若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为______.

■

生3：半径为5，根据垂径定理可知CP=4，连结OC，则△OCP是直角三角形. 应用勾股定理可求得半径OC=5.

师：回答得很好，分析得也很到位，大家听懂了吗？endprint

生（齐）：听懂了.

（3）如图8所示，在半径为10的⊙O中，弦AB=16，OC⊥AB于点C，则OC=______.

■

生4： OC=6，因为OC⊥AB于点C，所以AC是AB的一半，等于8，在Rt△AOC中应用勾股定理可求得OC=6.

师：回答得很好，本题继续使用了垂径定理，并结合勾股定理进行求解.

（4）如图9所示，⊙O的直径AB=50，弦CD⊥AB于点P，OP=7，那么弦CD的长为________.

■

生5： CD=48，因为CD⊥AB于点P，所以PC是CD的一半. 连结OC，在Rt△OCP中用勾股定理可求得PC=24，从而得出CD=48.

师：回答得很好，这位同学的方法给我们的启示是：要求弦长CD，可以先求出半弦长PC，这种解题方法在今后会时常遇到，请同学们记住.

归纳？摇 构造半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，结合勾股定理解题.

设计说明 ？摇基础练习中的第（1）题，巩固学生对垂径定理基本图形的认识，通过对第（2）～（4）题的分别求解，了解求半径、弦心距、弦长（先求半弦长）的过程，总结垂径定理中常用到的直角三角形的构成，即半径、半弦、弦心距. 经过这样的过程，让学生在解决问题时有方向，知道每次都去找这样的直角三角形，缺哪一条线段，就添加相应的辅助线，解决学生困惑的如何添加辅助线问题.

师：接下来让我们运用垂径定理解决典型例题，请生6和生7来板演例1与变式1.

例1 如图10所示，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，AE = 1 cm，OE = 2 cm，求弦CD的长.

■

变式1？摇 如图11所示，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，AE=1 cm，CD=4 cm，求圆O的半径.

■

师：这两位同学的解题书写（板演内容略）都很好，在变式1中我们学会了巧设未知数，利用勾股定理建立方程求解的方法.

变式2？摇 如图12所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1 cm，BE=5 cm，∠DEB=60°，求弦CD的长.

■

师：对于直径和弦垂直，我们已经练习了很多题，这里，直径和弦不垂直，应怎么办呢？

生（七嘴八舌）：那就添个垂直啊.

师：怎么添垂直？请一位同学来说说看.

生6：过点O作OF⊥CD于点F.

师：我来作图，你接着分析.

生6：因为OF⊥CD于点F，所以CD的长就是DF的2倍，连结OD，分别在Rt△OEF和Rt△ODF中求出OF和DF.

师：很好！听懂的同学请举手. 请大家在学案上自己完成本题的书写.

例2？摇 如图13所示，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C和点D，AC与BD相等吗？为什么？

■

有了变式2“作垂直”添加辅助线的方法，学生很快能上手做例2. 教师先让学生思考，然后停笔，请学生来回答如何做，教师则板书本题的全部解题过程.

设计说明？摇 本节课预设了两个例题，例1较为基础，主要考查学生对辅助线添加方法的理解，从基础习题过渡到学生自己添线，思路上比较顺. 教学中采用学生先在学案上自我探究，教师让一名学生板演过程的方式. 变式1在例1的基础上，要设未知数解题. 教学中，先给予学生探索的时间，教师则根据学生的情况适当引导，根据学生的反馈，让一名学生板演过程，教师则点评解题过程并归纳设未知数解题的方法. 变式2进一步深化内容，在变式1的基础上将弦和直径由垂直的关系引申到相交锐角为60°的情形，题目注重分析与板书师范，并由此引导学生解决类似问题. 例2题目本身不难，学生在理解“过圆心向弦作垂线段，即弦心距的辅助线添加方法”后，本题可能会有多种证明方法的出现，教学中可以让学生尽情发挥，一题多解.

5. 课堂小结

引导学生回顾这节课的经历，让学生在反思与回顾中体会这节课经历的动手操作、实践探索、自我证明等过程，便于学生在解几何问题时掌握“动手画图、观察分析、归纳论证”的解题方法，这样的课堂是有深度和长度的课堂. 教师根据学生的反馈，补充、归纳这节课的主要内容：

（1）垂径定理及其应用.

（2）将垂径定理与勾股定理有机结合，寻找“半径、半弦、弦心距”构成的直角三角形.

（3）圆中经常添加的辅助线.

设计说明？摇 教学中，本节课的主要内容都在黑板左侧部分体现，学生基本已经养成总结时找黑板的习惯，因此基本都能说出本节课的主要内容，教师则根据学生的回答情况，提醒、强调注意点即可.

6. 作业布置

完成学案上剩余的习题.

7. 板书设计（如图14所示）

■ 教学设计及反思

1. 每种教学模式都有优劣，若一味地按照一种教学模式贯穿整个教学过程，并不能达到最好的效果. 对于教师来说，可以根据不同的教学内容，选择不同的教学模式来教学，因此，本节课笔者选择让学生自己动手折一折的方法，让学生自己操作、发现问题，给学生一个自我探索的过程，学生经历这样的过程后应该更有利于他们发现结论.

2. 教学中，充分尊重学生、关注学生的发展动态. 在这节课中，笔者注重肯定学生的点滴发现，多次给予学生展示自己的机会，锻炼学生的胆量，培养学生的语言表达能力及逻辑推理能力，并给予适当的鼓励与表扬，使学生有成功感，增强学生学好数学的兴趣.

3. 在知识发生、发展与应用的过程中，应注重思想方法的渗透，如本节课从特殊到一般的数学思想，不仅教给了学生解决问题的办法，更让学生学会了学习.endprint

生（齐）：听懂了.

（3）如图8所示，在半径为10的⊙O中，弦AB=16，OC⊥AB于点C，则OC=______.

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生4： OC=6，因为OC⊥AB于点C，所以AC是AB的一半，等于8，在Rt△AOC中应用勾股定理可求得OC=6.

师：回答得很好，本题继续使用了垂径定理，并结合勾股定理进行求解.

（4）如图9所示，⊙O的直径AB=50，弦CD⊥AB于点P，OP=7，那么弦CD的长为________.

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生5： CD=48，因为CD⊥AB于点P，所以PC是CD的一半. 连结OC，在Rt△OCP中用勾股定理可求得PC=24，从而得出CD=48.

师：回答得很好，这位同学的方法给我们的启示是：要求弦长CD，可以先求出半弦长PC，这种解题方法在今后会时常遇到，请同学们记住.

归纳？摇 构造半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，结合勾股定理解题.

设计说明 ？摇基础练习中的第（1）题，巩固学生对垂径定理基本图形的认识，通过对第（2）～（4）题的分别求解，了解求半径、弦心距、弦长（先求半弦长）的过程，总结垂径定理中常用到的直角三角形的构成，即半径、半弦、弦心距. 经过这样的过程，让学生在解决问题时有方向，知道每次都去找这样的直角三角形，缺哪一条线段，就添加相应的辅助线，解决学生困惑的如何添加辅助线问题.

师：接下来让我们运用垂径定理解决典型例题，请生6和生7来板演例1与变式1.

例1 如图10所示，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，AE = 1 cm，OE = 2 cm，求弦CD的长.

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变式1？摇 如图11所示，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，AE=1 cm，CD=4 cm，求圆O的半径.

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师：这两位同学的解题书写（板演内容略）都很好，在变式1中我们学会了巧设未知数，利用勾股定理建立方程求解的方法.

变式2？摇 如图12所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1 cm，BE=5 cm，∠DEB=60°，求弦CD的长.

■

师：对于直径和弦垂直，我们已经练习了很多题，这里，直径和弦不垂直，应怎么办呢？

生（七嘴八舌）：那就添个垂直啊.

师：怎么添垂直？请一位同学来说说看.

生6：过点O作OF⊥CD于点F.

师：我来作图，你接着分析.

生6：因为OF⊥CD于点F，所以CD的长就是DF的2倍，连结OD，分别在Rt△OEF和Rt△ODF中求出OF和DF.

师：很好！听懂的同学请举手. 请大家在学案上自己完成本题的书写.

例2？摇 如图13所示，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C和点D，AC与BD相等吗？为什么？

■

有了变式2“作垂直”添加辅助线的方法，学生很快能上手做例2. 教师先让学生思考，然后停笔，请学生来回答如何做，教师则板书本题的全部解题过程.

设计说明？摇 本节课预设了两个例题，例1较为基础，主要考查学生对辅助线添加方法的理解，从基础习题过渡到学生自己添线，思路上比较顺. 教学中采用学生先在学案上自我探究，教师让一名学生板演过程的方式. 变式1在例1的基础上，要设未知数解题. 教学中，先给予学生探索的时间，教师则根据学生的情况适当引导，根据学生的反馈，让一名学生板演过程，教师则点评解题过程并归纳设未知数解题的方法. 变式2进一步深化内容，在变式1的基础上将弦和直径由垂直的关系引申到相交锐角为60°的情形，题目注重分析与板书师范，并由此引导学生解决类似问题. 例2题目本身不难，学生在理解“过圆心向弦作垂线段，即弦心距的辅助线添加方法”后，本题可能会有多种证明方法的出现，教学中可以让学生尽情发挥，一题多解.

5. 课堂小结

引导学生回顾这节课的经历，让学生在反思与回顾中体会这节课经历的动手操作、实践探索、自我证明等过程，便于学生在解几何问题时掌握“动手画图、观察分析、归纳论证”的解题方法，这样的课堂是有深度和长度的课堂. 教师根据学生的反馈，补充、归纳这节课的主要内容：

（1）垂径定理及其应用.

（2）将垂径定理与勾股定理有机结合，寻找“半径、半弦、弦心距”构成的直角三角形.

（3）圆中经常添加的辅助线.

设计说明？摇 教学中，本节课的主要内容都在黑板左侧部分体现，学生基本已经养成总结时找黑板的习惯，因此基本都能说出本节课的主要内容，教师则根据学生的回答情况，提醒、强调注意点即可.

6. 作业布置

完成学案上剩余的习题.

7. 板书设计（如图14所示）

■ 教学设计及反思

1. 每种教学模式都有优劣，若一味地按照一种教学模式贯穿整个教学过程，并不能达到最好的效果. 对于教师来说，可以根据不同的教学内容，选择不同的教学模式来教学，因此，本节课笔者选择让学生自己动手折一折的方法，让学生自己操作、发现问题，给学生一个自我探索的过程，学生经历这样的过程后应该更有利于他们发现结论.

2. 教学中，充分尊重学生、关注学生的发展动态. 在这节课中，笔者注重肯定学生的点滴发现，多次给予学生展示自己的机会，锻炼学生的胆量，培养学生的语言表达能力及逻辑推理能力，并给予适当的鼓励与表扬，使学生有成功感，增强学生学好数学的兴趣.

3. 在知识发生、发展与应用的过程中，应注重思想方法的渗透，如本节课从特殊到一般的数学思想，不仅教给了学生解决问题的办法，更让学生学会了学习.endprint

生（齐）：听懂了.

（3）如图8所示，在半径为10的⊙O中，弦AB=16，OC⊥AB于点C，则OC=______.

■

生4： OC=6，因为OC⊥AB于点C，所以AC是AB的一半，等于8，在Rt△AOC中应用勾股定理可求得OC=6.

师：回答得很好，本题继续使用了垂径定理，并结合勾股定理进行求解.

（4）如图9所示，⊙O的直径AB=50，弦CD⊥AB于点P，OP=7，那么弦CD的长为________.

■

生5： CD=48，因为CD⊥AB于点P，所以PC是CD的一半. 连结OC，在Rt△OCP中用勾股定理可求得PC=24，从而得出CD=48.

师：回答得很好，这位同学的方法给我们的启示是：要求弦长CD，可以先求出半弦长PC，这种解题方法在今后会时常遇到，请同学们记住.

归纳？摇 构造半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，结合勾股定理解题.

设计说明 ？摇基础练习中的第（1）题，巩固学生对垂径定理基本图形的认识，通过对第（2）～（4）题的分别求解，了解求半径、弦心距、弦长（先求半弦长）的过程，总结垂径定理中常用到的直角三角形的构成，即半径、半弦、弦心距. 经过这样的过程，让学生在解决问题时有方向，知道每次都去找这样的直角三角形，缺哪一条线段，就添加相应的辅助线，解决学生困惑的如何添加辅助线问题.

师：接下来让我们运用垂径定理解决典型例题，请生6和生7来板演例1与变式1.

例1 如图10所示，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，AE = 1 cm，OE = 2 cm，求弦CD的长.

■

变式1？摇 如图11所示，⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，AE=1 cm，CD=4 cm，求圆O的半径.

■

师：这两位同学的解题书写（板演内容略）都很好，在变式1中我们学会了巧设未知数，利用勾股定理建立方程求解的方法.

变式2？摇 如图12所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1 cm，BE=5 cm，∠DEB=60°，求弦CD的长.

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师：对于直径和弦垂直，我们已经练习了很多题，这里，直径和弦不垂直，应怎么办呢？

生（七嘴八舌）：那就添个垂直啊.

师：怎么添垂直？请一位同学来说说看.

生6：过点O作OF⊥CD于点F.

师：我来作图，你接着分析.

生6：因为OF⊥CD于点F，所以CD的长就是DF的2倍，连结OD，分别在Rt△OEF和Rt△ODF中求出OF和DF.

师：很好！听懂的同学请举手. 请大家在学案上自己完成本题的书写.

例2？摇 如图13所示，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C和点D，AC与BD相等吗？为什么？

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有了变式2“作垂直”添加辅助线的方法，学生很快能上手做例2. 教师先让学生思考，然后停笔，请学生来回答如何做，教师则板书本题的全部解题过程.

设计说明？摇 本节课预设了两个例题，例1较为基础，主要考查学生对辅助线添加方法的理解，从基础习题过渡到学生自己添线，思路上比较顺. 教学中采用学生先在学案上自我探究，教师让一名学生板演过程的方式. 变式1在例1的基础上，要设未知数解题. 教学中，先给予学生探索的时间，教师则根据学生的情况适当引导，根据学生的反馈，让一名学生板演过程，教师则点评解题过程并归纳设未知数解题的方法. 变式2进一步深化内容，在变式1的基础上将弦和直径由垂直的关系引申到相交锐角为60°的情形，题目注重分析与板书师范，并由此引导学生解决类似问题. 例2题目本身不难，学生在理解“过圆心向弦作垂线段，即弦心距的辅助线添加方法”后，本题可能会有多种证明方法的出现，教学中可以让学生尽情发挥，一题多解.

5. 课堂小结

引导学生回顾这节课的经历，让学生在反思与回顾中体会这节课经历的动手操作、实践探索、自我证明等过程，便于学生在解几何问题时掌握“动手画图、观察分析、归纳论证”的解题方法，这样的课堂是有深度和长度的课堂. 教师根据学生的反馈，补充、归纳这节课的主要内容：

（1）垂径定理及其应用.

（2）将垂径定理与勾股定理有机结合，寻找“半径、半弦、弦心距”构成的直角三角形.

（3）圆中经常添加的辅助线.

设计说明？摇 教学中，本节课的主要内容都在黑板左侧部分体现，学生基本已经养成总结时找黑板的习惯，因此基本都能说出本节课的主要内容，教师则根据学生的回答情况，提醒、强调注意点即可.

6. 作业布置

完成学案上剩余的习题.

7. 板书设计（如图14所示）

■ 教学设计及反思

1. 每种教学模式都有优劣，若一味地按照一种教学模式贯穿整个教学过程，并不能达到最好的效果. 对于教师来说，可以根据不同的教学内容，选择不同的教学模式来教学，因此，本节课笔者选择让学生自己动手折一折的方法，让学生自己操作、发现问题，给学生一个自我探索的过程，学生经历这样的过程后应该更有利于他们发现结论.

2. 教学中，充分尊重学生、关注学生的发展动态. 在这节课中，笔者注重肯定学生的点滴发现，多次给予学生展示自己的机会，锻炼学生的胆量，培养学生的语言表达能力及逻辑推理能力，并给予适当的鼓励与表扬，使学生有成功感，增强学生学好数学的兴趣.

3. 在知识发生、发展与应用的过程中，应注重思想方法的渗透，如本节课从特殊到一般的数学思想，不仅教给了学生解决问题的办法，更让学生学会了学习.endprint