算术方法与代数方法漫谈

2014-10-31 06:02杨国智
数学教学通讯·小学版 2014年9期

杨国智

[摘 要] 字母的引入,代数式和方程的出现,是数及其运算的进一步抽象,从小学起就引入等式的基本性质,并以此为基础导出解方程的方法,不仅有利于加强中小学数学教学的衔接,而且有利于学生逻辑思维能力的发展.

[关键词] 算术方法;代数方法;中小衔接

■ 问题的提出

本学年七年级数学期末检测数学评卷时,遇到了如下一个有趣的问题.

列方程解应用题:小明和小丽住在同一小区. 一天,他们同时出门去上学,小明每分钟走90米,小丽每分钟走60米. 小明到校门口时发现自己忘带了《数学》课本,立即沿原路返回家中去取,行至距校门252米处与小丽相遇. 他们家距学校多远?

某同学是这样解的:相遇时小明比小丽多走了252×2米,这是因为小明比小丽每分钟多走(90-60)米,所以相遇时间是252×2÷(90-60)=16.8分. 他们距学校的距离是60×16.8+252=1260米.

综合算式:252×2÷(90-60)×60+252=1260米.

针对这个问题,评卷老师们提出了两种不同意见:一是题目要求列方程解应用题,所以不列方程解应用题不得分. 二是这个同学用算术方法解这道应用题思路清晰,算法合理,应该适当给分.

我的思考:姑且不说该不该得分,这道题目的数量关系相对复杂,按常规思维难以下手,如果选择方程,则较为简单. 七年级的同学已经再次学习了一元一次方程,为什么会选择较为复杂的算术解法而不选择较为简单的方程呢?

■ 算术方法与代数方法(方程)之

比较

例1?摇 “舒心”水果店新进苹果500千克,比梨子重量的2倍还多40千克. 梨子有多少千克?

算术方法?摇 因为苹果比梨子的2倍还多40千克,假设从苹果中减去40千克,那剩下的重量正好是梨子重量的2倍. “已知一个数的2倍是500-40,求这个数”用除法,所以算式是(500-40)÷2=230(千克).

方程解法?摇 数量关系是“苹果的重量=梨子的重量×2+40”,设梨子有x千克,根据题意可列出方程2x+40=500.

例2?摇 中国古代数学问题:鸡兔49,100只爪子地上走. 问鸡几只?兔几只?

算术解法?摇 假设49只全部为鸡,则这49只鸡的爪子是98只,而鸡兔爪子共100只,少了2只爪子,这是因为把兔看成了鸡. 每只兔比每只鸡多(4-2)只爪子,2÷2=1,所以兔有1只,鸡有48只.

方程解法一?摇 主要的数量关系是“鸡爪数+兔爪数=100”,设鸡有x只,则兔为(49-x)只. 根据题意可列出方程2x+4×(49-x)=100.

方程解法二?摇 题中的数量关系有“鸡只数+兔只数=49”“鸡爪数+兔爪数=100”,设鸡有x只,兔有y只,根据题意可列方程组x+y=49,2x+4y=100.

用算术方法和代数方法(方程)解应用题的不同之处:

用算术方法和代数方法(方程)解应用题的相同之处:

它们都必须建立在分析题意、找准题目中的数量关系的基础之上,列算术式的依据是四则运算的意义,列方程解应用题的依据也是四则运算的意义.

如果题目中的数量关系较简单,且思维方式是常规思维,则用算术方法较合适. 如果题目中未知量较多,数量关系较复杂,且思维方式是逆向思维,则用方程方法较合适.

例3?摇 一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶. 在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间,过了10分钟,小轿车追上了货车;又过了5分钟,小轿车追上了客车;再过几分钟,货车追上了客车.

分析?摇 本题是行程问题中的追及问题,但三种车辆的速度未知,车与车之间的间隔距离也未知. 涉及的量多,关系复杂,若用算术方法解答困难较大,故建议用代数方法解答. 解题时要注意由题中货车在中、客车在前、小轿车在后,且货车与客车、小轿车之间路程相等,提炼出其中的等量关系. 设货车、客车、小轿车的速度分别是a,b,c,货车与客车、小轿车之间的路程是s,则可得s=10×(c-a),2s=(10+5)×(c-b). 货车追上客车的时间t=s÷(a-b)-10-5. 这样可以设而不解,巧妙转换求出时间.

■ 中小学数学教学中应注意的

几点

1. 把“符号意识”贯穿数学教学始终. 新修订的《数学课程标准》将“符号感”更名为“符号意识”,更加强调学生主动理解和运用符号的心理倾向. 因为用数进行的所有运算都是个案,而数学要研究一般问题,一般问题需要通过符号来表示、运算和推理,因此,一方面,符号可以像数一样进行运算和推理,另一方面,通过符号运算和推理得到的结论具有一般性. 在教学中,“应根据学生的年龄特征与知识积累,在遵循科学性的前提下,采用逐级递进、螺旋上升的原则. 螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化,即体现出明显的阶段性要求”. 第一学段以数的认识和数的运算为主,第二学段逐步渗入式与方程,第三学段则把重点放在代数式、整式与分式、方程与不等式、函数等相关知识上.

2. 在第二学段的教学中,要加强代数思想的培养. 《数学课程标准》在该学段的要求是“经历从现实生活中抽象出数及简单数量关系的过程……会用方程表示简单的数量关系,会解简单的方程”. 小学生在开始学习用代数法解应用题时,可能不大习惯,会受到算术法解题思路的干扰,在解题过程中可能会出现一些错误,为了顺利地学好用代数法解应用题,应注意以下几个问题:

(1)切实理解题意. 通过读题,弄明白题中讲的是什么意思,有哪些已知条件,未知条件是什么,已知条件与未知条件之间是什么关系.

(2)在切实理解题意的基础上,用字母表示(设)题中的未知数. 通常用字母x表示未知数,题目问什么就用x表示什么. 小学数学教材中,用列方程解答的应用题绝大多数都是这样的.

3. 第三学段的教学中要注意代数知识的衔接. 在七年级数学教学中,列方程解应用题是代数教学联系实际的重要课题,它对于培养学生分析问题、解决问题的能力具有重要的意义. 初学列方程时,学生常常觉得应用题的算术解法已经会了,仍习惯于用算术解法,对用代数方法来分析和解决应用题不适应. 因此,在实际教学中,教师可首先通过选择典型例题分别用算术法和代数法进行分析解答,然后指出两种方法的特点,让学生进行比较,在对比中让学生自己认识到代数解法的优越性. 学生经过一段时间的训练,便可克服由算术法形成的思维定式的影响,逐渐体会到代数解法的优越性,从而促进学生迅速适应并能掌握代数解法,顺利地实现从算术到代数的飞跃.

“代数的抽象、运算与建模”是数学教学的重要内容,也是解决许多数学实际问题的有效工具,尤其是方程模型,体现了数学建模思想. 它既是数学学习的出发点,也是数学学习的落脚点,因此,在数学教学中,要让学生体会“代数”的价值,提高学生学习数学的兴趣,增强他们学好数学的信心,养成良好的学习习惯,具有初步的创新意识和实事求是的科学态度.