集合典型题型归类解析

王庆和+崔小军

集合是高中的基础性、工具性知识，高考中不仅以小题的形式单纯考查集合知识，还会以集合语言表述数学试题，并使用集合语言表述解题过程，因此在备考时要掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合之间的关系，能判断两个集合之间是否相等；要掌握集合的“交”“并”“补”的运算和性质，会用图形表示集合与集合之间的关系；会用分类讨论和数形结合的数学思想研究集合的运算问题.在解题时对于集合问题首先要确定属于哪一类集合（数集、点集或图形的集合），再确定处理此类问题的方法；对于集合的运算，大多根据集合中元素的互异性处理，有时需要用到分类讨论和数形结合的数学思想；集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯通.

一、元素与集合之间的关系问题

例1已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是.

分析：因为x∈A，y∈A，所以可对x，y赋值，从而求出集合B中的元素的个数.

解析：因为x，y∈A，所以x=0

y=0或x=0

y=1或x=0

y=2或x=1

y=0或x=1

y=1或x=1

y=2或x=2

y=0或x=2

y=1或x=2

y=2，所以B={0，-1，-2，1，2}，所以集合B中有5个元素.

点评：求解集合中的元素个数题目的关键，一是要准确判断元素是否属于该集合，判断的依据就是能否将该元素化成集合的代表元素的形式；二要准确计算此集合中的元素的总个数.本题易混淆数集与点集的区别，如数集B={x-y|x∈A，y∈A}误当成点集.

二、集合间的基本关系

例2设集合A={a，1，b}，B={a，a2，ab}，且A=B，求实数a，b的值.

分析：两个集合相等时，这两个集合中的元素完全相同，题目中的两个集合含有一个相同的元素a，只要另外两个元素相等即可.

解析一：∵A=B，∴{a，1，b}={a，a2，ab}，即{1，b}={a2，ab}，所以1=a2

b=ab或1=ab

b=a2，解得a=-1

b=0或a=1

b∈R或a=1

b=1，根据集合元素的互异性知只有a=-1

b=0适合，∴a=-1

b=0.

解析二：由于两个数和另外两个数相等的充要条件是这两个数的和与积分别等于另外两个数的和与积，故{1，b}={a2，ab}的充要条件是1·b=a2·ab

1+b=a2+ab，由元素的互异性知a≠1且b≠1，∴b=0，a=-1.经检验，符合题意.∴a=-1

b=0.

点评：两个有限集合相等，可以从两个集合中的元素相同求解，如果是两个无限集合相等，从两个集合中元素相同的角度进行求解就不方便，这时就可以根据两个集合相等的定义求解，即如果AB，BA，则A=B.在解决集合的元素问题时一定要注意集合元素的互异性、无序性、确定性，这可以通过把求得的结果代入原来的集合来进行检验.

三、集合运算中的技巧与方法

例3已知全集U=R，集合A={x||x|<3}，B={x|x-2≥0}，则A∪UB；最后利用并集的定义，求出A∪UB.

解析：因为A={x||x|<3}=（-3，3），B={x|x-2≥0}=[2，+∞），所以UB=（-∞，2），所以A∪UB=（-∞，3）.

点评：破解集合运算需掌握双招：第一招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第二招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用韦恩图（或直接计算），与函数的图像有关的点集之间的运算常借助坐标系等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算.

四、集合的考查热点——新定义问题

例4已知集合A={a1，a2，…ak}（k≥2），其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：

S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}.

其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n.

若对于任意的a∈A，总有-aA，则称集合A具有性质P.

（I）检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；

（II）对任何具有性质P的集合A，证明：n≤k（k-1）2；

（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论.

分析：本题关键是对性质P的理解，能否将性质P应用到解题中去.

解析：（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性质P.

集合{-1，2，3}具有性质P，其相应的集合S和T是S={（-1，3），（3，-1）}，

T={（2，-1），（2，3）}.

（II）证明：首先，由A中元素构成的有序数对（ai，aj）共有k2个.

因为0A，所以（ai，ai）T（i=1，2，…，k）；

又因为当a∈A时，-aA时，所以当（ai，aj）∈T时，（aj，ai）T（i，j=1，2，…，k）.

从而，集合T中元素的个数最多为12（k2-k）=k（k-1）2，

即n≤k（k-1）2.

（III）解：m=n，证明如下：

（1）对于（a，b）∈S，根据定义，a∈A，b∈A，且a+b∈A，从而（a+b，b）∈T.

如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立.

故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素.

可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，

（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S.如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立，

故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素.

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，

由（1）（2）可知，m=n.

点评：处理这种新定义题目的关键就是抓住新定义的本质，紧扣新定义进行推理论证，本题的特点是题目设计一个陌生的数学情境（或在一个熟悉的数学情景中），定义一个新性质，解答此题的关键是对新性质的理解和应用新性质的能力.

五、破解集合中参数问题

例5设U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}，若（UA）∩B=，求m的值.

分析：集合A、B是方程的解集，根据（UA）∩B=可得BA，利用子集的性质分类求解.

解析：解法一：A={-2，-1}，由（UA）∩B=可得BA，∵方程x2+（m+1）x+m=0的判别式Δ=（m+1）2-4m=（m-1）2≥0，∴B≠，∴B={-1}或{-2}或{-1，-2}.①若B={-1}时，则m=1；②若B={-2}时，则应有-（m+1）=（-2）+（-2）=-4且m=（-2）·（-2）=4，这两式不能同时成立.∴B≠{-2}；③若B={-1，-2}，则应有-（m+1）=（-1）+（-2）=-3且m=（-1）·（-2）=2，由这两式得m=2.经检验知m=1得m=2符合条件，∴m=1或2.

解法二：本题集合B中方程的根是x1=-1，x2=-m，当-m≠-1时，集合B={-1，-m}，此时只能A=B，即m=2，当-m=-1时集合B={-1}，此时集合B是集合A的真子集，也符合要求，∴m=1或2.

点评：在方程的解组成的集合中，要善于根据方程的知识考察集合中的问题，如根据一元二次方程中的根与系数关系、方程的判别式等进行分析，并尽可能求出方程的根，使集合具体化，更有助于问题的解决.当已知集合之间的关系比较复杂时，要从这些复杂的关系中把本质关系找出来，如本题中（UA）∩B=，结合韦恩图，可知这个关系实际上等价于BA，这样问题就容易解决了，解决复杂集合问题要有这种等价转化的意识.另外方程中的两个相等的根，可以认为是这个方程的两个根，但集合元素是互异的，当用集合表示方程的解集时，相等的两个根只能算作一个元素，故在解答这类试题时一定要注意这个特点，注意对所得到的结论进行检验，防止出现错误.

六、突破集合综合性运算问题中的难点

例6已知集合A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为.

分析：两个集合表示的都是点集，故先作出两个集合表示的平面图形，然后根据两个图形的特征确定参数所满足的条件.显然B表示的是圆面，所以应该利用圆的有关知识解决.

解析：集合A，B表示的是两个点集，如图所示，作出不等式

A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}及B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}所表示的平面区域，由图，可知集合A表示中心为M（a，1），边长为2的正方形CDEF的内部（包括边界）；而集合B是圆心为N（1，1），半径为1的圆的内部（包括边界）.显然，在正方形CDEF中，|CE|=2|CD|=2，|MC|=12|CE|=1，由图，可知当|MN|≤1+1=2时，A∩B≠，即|a-1|≤2，解得-1≤a≤3，故实数a的取值范围为[-1，3].

点评：集合的综合问题多与函数、方程、解析几何等问题相联系，解决此类问题多利用数形结合的方法，即借助函数和图像以及解析几何中的相关图形，根据函数图像的特点以及图形的直观性进行求解.如本题把两个集合交集非空转化为两个平面区域有公共部分，根据正方形和圆的结构特征，利用正方形的中心到圆心的距离来确定参数所满足的条件.利用数形结合的方法求解集合的综合性问题的关键在于准确表示集合所对应的图形，尤其是应注意不等式中是否带有等号，函数解析式中的自变量是否有取值范围限制等.如本题中，若两个集合中的不等式都不含等号，则这两个图形就不包括它们的边界，则|a-1|<2；同理若集合A，B中的不等式中有一个不含等号，则参数a所满足的条件也应变为|a-1|<2.如果不注意这些细节，就会出现增解或漏解而导致失误.

（作者：王庆和、崔小军，江苏省阜宁中学）

如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立.

故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素.

可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，

（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S.如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立，

故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素.

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，

由（1）（2）可知，m=n.

点评：处理这种新定义题目的关键就是抓住新定义的本质，紧扣新定义进行推理论证，本题的特点是题目设计一个陌生的数学情境（或在一个熟悉的数学情景中），定义一个新性质，解答此题的关键是对新性质的理解和应用新性质的能力.

五、破解集合中参数问题

例5设U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}，若（UA）∩B=，求m的值.

分析：集合A、B是方程的解集，根据（UA）∩B=可得BA，利用子集的性质分类求解.

解析：解法一：A={-2，-1}，由（UA）∩B=可得BA，∵方程x2+（m+1）x+m=0的判别式Δ=（m+1）2-4m=（m-1）2≥0，∴B≠，∴B={-1}或{-2}或{-1，-2}.①若B={-1}时，则m=1；②若B={-2}时，则应有-（m+1）=（-2）+（-2）=-4且m=（-2）·（-2）=4，这两式不能同时成立.∴B≠{-2}；③若B={-1，-2}，则应有-（m+1）=（-1）+（-2）=-3且m=（-1）·（-2）=2，由这两式得m=2.经检验知m=1得m=2符合条件，∴m=1或2.

解法二：本题集合B中方程的根是x1=-1，x2=-m，当-m≠-1时，集合B={-1，-m}，此时只能A=B，即m=2，当-m=-1时集合B={-1}，此时集合B是集合A的真子集，也符合要求，∴m=1或2.

点评：在方程的解组成的集合中，要善于根据方程的知识考察集合中的问题，如根据一元二次方程中的根与系数关系、方程的判别式等进行分析，并尽可能求出方程的根，使集合具体化，更有助于问题的解决.当已知集合之间的关系比较复杂时，要从这些复杂的关系中把本质关系找出来，如本题中（UA）∩B=，结合韦恩图，可知这个关系实际上等价于BA，这样问题就容易解决了，解决复杂集合问题要有这种等价转化的意识.另外方程中的两个相等的根，可以认为是这个方程的两个根，但集合元素是互异的，当用集合表示方程的解集时，相等的两个根只能算作一个元素，故在解答这类试题时一定要注意这个特点，注意对所得到的结论进行检验，防止出现错误.

六、突破集合综合性运算问题中的难点

例6已知集合A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为.

分析：两个集合表示的都是点集，故先作出两个集合表示的平面图形，然后根据两个图形的特征确定参数所满足的条件.显然B表示的是圆面，所以应该利用圆的有关知识解决.

解析：集合A，B表示的是两个点集，如图所示，作出不等式

A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}及B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}所表示的平面区域，由图，可知集合A表示中心为M（a，1），边长为2的正方形CDEF的内部（包括边界）；而集合B是圆心为N（1，1），半径为1的圆的内部（包括边界）.显然，在正方形CDEF中，|CE|=2|CD|=2，|MC|=12|CE|=1，由图，可知当|MN|≤1+1=2时，A∩B≠，即|a-1|≤2，解得-1≤a≤3，故实数a的取值范围为[-1，3].

点评：集合的综合问题多与函数、方程、解析几何等问题相联系，解决此类问题多利用数形结合的方法，即借助函数和图像以及解析几何中的相关图形，根据函数图像的特点以及图形的直观性进行求解.如本题把两个集合交集非空转化为两个平面区域有公共部分，根据正方形和圆的结构特征，利用正方形的中心到圆心的距离来确定参数所满足的条件.利用数形结合的方法求解集合的综合性问题的关键在于准确表示集合所对应的图形，尤其是应注意不等式中是否带有等号，函数解析式中的自变量是否有取值范围限制等.如本题中，若两个集合中的不等式都不含等号，则这两个图形就不包括它们的边界，则|a-1|<2；同理若集合A，B中的不等式中有一个不含等号，则参数a所满足的条件也应变为|a-1|<2.如果不注意这些细节，就会出现增解或漏解而导致失误.

（作者：王庆和、崔小军，江苏省阜宁中学）

如果（a，b）与（c，d）是S的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a+b=c+d与b=d中也至少有一个不成立.

故（a+b，b）与（c+d，d）也是T的不同元素.

可见，S中元素的个数不多于T中元素的个数，即m≤n，

（2）对于（a，b）∈T，根据定义，a∈A，b∈A，且a-b∈A，从而（a-b，b）∈S.如果（a，b）与（c，d）是T的不同元素，那么a=c与b=d中至少有一个不成立，从而a-b=c-d与b=d中也至少有一个不成立，

故（a-b，b）与（c-d，d）也是S的不同元素.

可见，T中元素的个数不多于S中元素的个数，即n≤m，

由（1）（2）可知，m=n.

点评：处理这种新定义题目的关键就是抓住新定义的本质，紧扣新定义进行推理论证，本题的特点是题目设计一个陌生的数学情境（或在一个熟悉的数学情景中），定义一个新性质，解答此题的关键是对新性质的理解和应用新性质的能力.

五、破解集合中参数问题

例5设U=R，集合A={x|x2+3x+2=0}，B={x|x2+（m+1）x+m=0}，若（UA）∩B=，求m的值.

分析：集合A、B是方程的解集，根据（UA）∩B=可得BA，利用子集的性质分类求解.

解析：解法一：A={-2，-1}，由（UA）∩B=可得BA，∵方程x2+（m+1）x+m=0的判别式Δ=（m+1）2-4m=（m-1）2≥0，∴B≠，∴B={-1}或{-2}或{-1，-2}.①若B={-1}时，则m=1；②若B={-2}时，则应有-（m+1）=（-2）+（-2）=-4且m=（-2）·（-2）=4，这两式不能同时成立.∴B≠{-2}；③若B={-1，-2}，则应有-（m+1）=（-1）+（-2）=-3且m=（-1）·（-2）=2，由这两式得m=2.经检验知m=1得m=2符合条件，∴m=1或2.

解法二：本题集合B中方程的根是x1=-1，x2=-m，当-m≠-1时，集合B={-1，-m}，此时只能A=B，即m=2，当-m=-1时集合B={-1}，此时集合B是集合A的真子集，也符合要求，∴m=1或2.

点评：在方程的解组成的集合中，要善于根据方程的知识考察集合中的问题，如根据一元二次方程中的根与系数关系、方程的判别式等进行分析，并尽可能求出方程的根，使集合具体化，更有助于问题的解决.当已知集合之间的关系比较复杂时，要从这些复杂的关系中把本质关系找出来，如本题中（UA）∩B=，结合韦恩图，可知这个关系实际上等价于BA，这样问题就容易解决了，解决复杂集合问题要有这种等价转化的意识.另外方程中的两个相等的根，可以认为是这个方程的两个根，但集合元素是互异的，当用集合表示方程的解集时，相等的两个根只能算作一个元素，故在解答这类试题时一定要注意这个特点，注意对所得到的结论进行检验，防止出现错误.

六、突破集合综合性运算问题中的难点

例6已知集合A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，若A∩B≠，则实数a的取值范围为.

分析：两个集合表示的都是点集，故先作出两个集合表示的平面图形，然后根据两个图形的特征确定参数所满足的条件.显然B表示的是圆面，所以应该利用圆的有关知识解决.

解析：集合A，B表示的是两个点集，如图所示，作出不等式

A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}及B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}所表示的平面区域，由图，可知集合A表示中心为M（a，1），边长为2的正方形CDEF的内部（包括边界）；而集合B是圆心为N（1，1），半径为1的圆的内部（包括边界）.显然，在正方形CDEF中，|CE|=2|CD|=2，|MC|=12|CE|=1，由图，可知当|MN|≤1+1=2时，A∩B≠，即|a-1|≤2，解得-1≤a≤3，故实数a的取值范围为[-1，3].

点评：集合的综合问题多与函数、方程、解析几何等问题相联系，解决此类问题多利用数形结合的方法，即借助函数和图像以及解析几何中的相关图形，根据函数图像的特点以及图形的直观性进行求解.如本题把两个集合交集非空转化为两个平面区域有公共部分，根据正方形和圆的结构特征，利用正方形的中心到圆心的距离来确定参数所满足的条件.利用数形结合的方法求解集合的综合性问题的关键在于准确表示集合所对应的图形，尤其是应注意不等式中是否带有等号，函数解析式中的自变量是否有取值范围限制等.如本题中，若两个集合中的不等式都不含等号，则这两个图形就不包括它们的边界，则|a-1|<2；同理若集合A，B中的不等式中有一个不含等号，则参数a所满足的条件也应变为|a-1|<2.如果不注意这些细节，就会出现增解或漏解而导致失误.

（作者：王庆和、崔小军，江苏省阜宁中学）