点击中考中的一元二次方程

张启

一元二次方程是初中数学的一个重要内容，也是以后学习数学的一个基础，作为解决问题的一种常用手段，它在中考试题中扮演着很重要的角色，现就中考中所出现的几种常见形式加以说明.

形式一：求解方程的根

例1 （2014·江苏泰州）2x2-4x-1=0.

【分析】观察方程的特点，寻找解决问题的方法，本题没有较为简单的方法，所以选择用公式法，在用公式法时要注意把方程首先转化为一般式以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解.

解：∵a=2，b=-4，c=-1，

∴b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=24>0，

∴x==，

x1=，x2=.

【点评】求一元二次方程的解作为初中数学的一种基本技能是中考中常考的知识点之一，初中阶段求一元二次方程解的方法有四种，分别是直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，希望同学们加以掌握.

形式二：判断方程是否有根

例2 （2014·江苏苏州）下列关于x的方程有实数根的是（ ）.

A. x2-x+1=0 B. x2+x+1=0

C. （x-1）（x+2）=0 D. （x-1）2+1=0

【分析】关于x的方程有实数根一般情况下是把方程转化为一般形式，然后计算判别式b2-4ac的值.当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac<0时，方程无实数根. 而方程有实数根只需验证b2-4ac≥0即可.

解：对于A、B选项，方程是一般形式，只需直接判断b2-4ac即可，很明显都不符合要求；对于C，它左边是两个一次因式的积的形式，右边为0，可以直接得出方程的两根为x1=1，x2=-2，满足要求；D选项移项后左边是完全平方，右边是-1，很明显无实数根.

例3 （2014·江苏扬州）已知关于x的方程（k-1）x2-（k-1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值.

【分析】因为关于x的方程有两个相等的实数根，说明方程是一元二次方程，首先要满足二次项系数k-1≠0，其次要满足b2-4ac=0，这里要特别注意k-1≠0这个条件.

解：∵方程有两个相等的实数根，

∴b2-4ac=（k-1）2-4××（k-1）

=k2-3k+2=0.

∴k1=1，k2=2. 又k-1≠0，∴k≠1，故k=2.

【点评】已知方程根的情况求参数的值是中考中常出的习题，要特别注意，应用根的判别式的前提是方程为一元二次方程，这就要求二次项系数不能为0.

形式三：一元二次方程解应用题

例4 （2014·江苏南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第一年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x.

（1） 用含x的代数式表示第3年的可变成本为______万元；

（2） 如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年的增长百分率.

【分析】对于增长率的关系式，后来数=原数×（1+增长率）n.

（1） 如果平均每年增长的百分率为x，连续增长2年后为：增长前的量×（1+x）2.

（2） 第三年的养殖成本=不变成本+可变成本，可变成本=2.6（1+x）2.

解：（1） 2.6（1+x）2.

（2） 根据题意可得：4+2.6（1+x）2=7.146.

解这个方程，得x1=0.1，x2=-2.1（不合题意，舍去）.

符合题目要求的是x=0.1=10%.

答：可变成本平均每年的增长百分率为10%.

【点评】关于增长率的问题，一般有三个常用量：原产量，增长率（降低率），增长后的产量（降低后的产量）.如果把原产量叫做基数（也叫做始数）用A表示，把增长后的产量叫做末数用B表示，增长率（下降率）用x表示，时间间隔用n表示，则增长率问题的数量关系为A（1±x）n=B，在初中阶段，n通常取2.

例5 （2014·贵州毕节）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元. 每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件.

（1） 若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；

（2） 若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元，求该产品的质量档次.

【分析】本题属于经营预算型问题：销售利润=每件的利润×销售量. 第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元. 每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件，所以，第x档次，提高的档次是（x-1），每件的利润可以表示为6+2（x-1），销售量为95-5（x-1），所以销售利润y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]，由“若生产第x档次的产品一天的总利润为1 120元”，可得出方程.

解：（1） 由题意可知：

第x档次，提高的档次是（x-1）.

∴y=[6+2（x-1）][95-5（x-1）]=-10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）.

（2） 由题意可得：-10x2+180x+400=1 120，

整理得：x2-18x+72=0，

解得：x1=6，x2=12（舍去）.

答：该产品的质量档次为第6档.

【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程在实际生活中的应用. 最大销售利润的问题是生活中常遇到的问题，也是和一元二次方程联系较密切的一类问题，要解决这类问题我们首先要吃透题意，确定变量，建立方程，然后结合实际选择最优方案.

一元二次方程应用题的常见题型有平均增长率型、方案设计型、经营预算型、动点运动型、分类讨论型等，但列方程解应用题的本质就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决. 应用题是中考试卷中的一种题型，而一元二次方程应用题又是常见的题型，希望同学们加以重视.

从上面的三种类型中我们可以看出一元二次方程在中考中的重要性，而作为中考考题它主要以这样三种形式出现，同学们需要逐一加以练习加强.

（作者单位：江苏省丰县初级中学）