求阴影部分面积的常用方法

仇金祥

求阴影部分面积是圆中的重要题型之一，也是中考中的常见题型. 下面以中考题为例，举例说明解决这类问题的常用方法与技巧，供同学们学习时参考.

一、 和差法

阴影部分的面积可以看成是几个规则图形面积的和或差.

例1 （2014·湖北荆门）如图1，在?ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与☉A相交于点F. 若的长为，则图中阴影部分的面积为______.

【解析】图中阴影部分的面积可以看作是△ACD的面积与扇形ACE的面积之差. 如图1，连接AC，∵DC是☉A的切线，∴AC⊥CD. 又∵AB=AC=CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°. 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB=45°. 又∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∴∠FAD=45°. ∵的长为，∴=，解得：r=2，∴S阴影=S△ACD-S扇形ACE=×2×2-=2-.

二、 分割法

把不规则的图形的面积分割成几个规则图形的面积来计算，进而得到问题的答案.

例2 （2014·四川广安）如图2，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD为，以对角线BD为直径的☉O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°. 则图中阴影部分的面积为______. （结果保留π）

【解析】连接OE，过点O作OF⊥BE于点F. ∵∠ABC=90°，AD=，∠ABD=30°，∴BD=2，AB=3，∠DBC=60°.

∵OB=OE，∴△OBE是等边三角形，∵BO=OD=，∴BE=，OF=. ∵CD为☉O的切线，∴∠BDC=90°，∴∠C=30°，∴BC=4，S阴影=

S梯形ABCD-S△ABD-S△OBE-S扇形ODE=---π=-π.

三、 割补法

将不规则图形的面积进行割补转化为规则图形的面积来计算.

例3 （2009·四川凉山州）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4 cm，则图3中阴影部分面积为______cm2.

【解析】将△A′BC′中的阴影部分割下后补到△ABC上，则阴影部分的面积为两个扇形面积之差. 两个扇形的圆心角都是120°，半径分别为2 cm和4 cm，所以阴影部分面积=×16×π-×4×π=4π（cm2）.

四、 平移法

通过图形的平移，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来计算.

例4 如图4，两个半圆中，小圆的圆心O′在大☉O的直径CD上，长为4的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分面积等于______.

【解析】按照常规思路，图中阴影部分的面积等于两个半圆的面积之差，但两个半圆的半径都不知道，而在图4中很难发现两个半圆的半径与弦AB的关系，为此，将图4中的小圆“动”起来——沿直径CD将☉O′向右平移，使O′与O重合，从而得到图5，此时图中阴影部分的面积不变. 设弦AB与☉O′相切于点E，连接OE、OB，则OB2-OE2=

AB2，所以S阴影=π（OB2-OE2）=π×BE2=2π.

五、 等积法

将不规则图形的面积转化为与它等积的规则图形的面积来计算.

例5 （2014·四川绵阳）如图6，☉O的半径为1 cm，正六边形ABCDEF内接于☉O，则图中阴影部分面积为______cm2. （结果保留π）

【解析】图形中的阴影部分是不规则图形，面积较难计算. 连接BO、CO、AO，注意到六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形，☉O的半径为1 cm，∴AB=BC=CO=BO=AO= 1 cm，△ABO、△OBC都是等边三角形，∴AO∥BC，因此，图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积，即S阴影=S扇形OBC==（cm2）.

六、 方程法

通过构造方程（组）的方法来计算不规则图形的面积.

例6 如图7，正方形的对角线长为16，求以各边为直径的半圆所围成的叶形图案的总面积.

【解析】如图7，由正方形的对角线的长为16，可知正方形的边长=8，设一个叶子的面积为x，一个空白部分的面积为y，则有：4x+4y=128，

2x+y=16π.解得4x=64π-128，即叶形图案的总面积为64π-128.

求阴影部分的面积方法多，技巧性强，在解题时要因地制宜，灵活选用上述方法.

小试身手

1. （2014·重庆）如图8，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与☉O相切于点C，则图中阴影部分的面积为______.（结果保留π）

2. 如图9，PA，PB切☉O于A，B两点，若∠APB=60°，☉O的半径为3，则阴影部分的面积为______.

3. 如图10，半圆的直径AB=10，P为AB上一点，点C、D为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于_______.

4. （2014·山东泰安）如图11，半径为2 cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）.

A.

-1 cm2 B.

+1 cm2

C. 1 cm2 D. cm2

5. （2014·山东烟台）如图12，正六边形ABCDEF内接于☉O，若☉O的半径为4，则阴影部分的面积等于______.

6. （2014·浙江宁波）如图13，半径为6 cm的☉O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积之和为______cm2.