解决一元二次方程问题时常用的四种数学思想

渠英

数学思想和方法是数学知识的精髓，而掌握数学思想和方法是解决数学问题的关键，是对数学内容的一种本质认识，它在学习和运用数学知识的过程中，起着关键性的指导作用. 下面举例说明四种重要的数学思想和方法在解决一元二次方程问题中的应用.

一、 转化思想

转化也称化归，它是指将未知的、陌生的、复杂的问题，根据知识间内在的联系，从一种形式转化为另一种形式，问题就可能比较顺利地得到解决，这就是转化的思想方法. 它能够帮助我们打开思路，把一个较复杂或陌生的问题转化成一个已经解决过的比较简单或熟悉的问题.

例1 （2013·山东菏泽）解方程：（x+1）·（x-1）+2（x+3）=8.

【解析】观察本题的特点，可以看出解方程的几种方法均不能处理此题，因而应利用整式的乘法及加、减把一元二次方程化成一般形式，然后再利用因式分解法.

解：原方程可化为x2+2x-3=0，即（x-1）·（x+3）=0， 解之，得x1=1，x2=-3.

【点评】在解一元二次方程时，一般情况下先观察其特点，判断是否能直接应用开平方法、因式分解法，当二次项系数为“+1”且一次项系数为偶数时，利用配方法，最后才考虑公式法. 这四种方法都不能直接应用时，注意把方程变为一般形式去求解.

二、 整体思想

整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征. 对本章的学习来说，就是要善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理. 采用整体处理的方法，不仅可避免复杂的计算，而且还达到了解决问题的目的.

例2 （1） （2013·黑龙江绥化）设a，b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根，则a2+2a+b的值______.

（2） （2013·荆州）设x1，x2是方程x2-x-2013=0的两个实数根，则x3 1+2014x2-2013的值______.

【解析】若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，由根的定义得ax2 1+bx1+c=0，ax2 2+bx2+c=0，以及x1+x2=-，x1·x2=等结论. 结合所求代数式的特点，再利用这些结论中的某些结论，进行整体代入，往往可使所求问题变得简单.

解：（1） 因为a，b是方程x2+x-2013=0的两个不相等的实数根，所以，由根的定义，得a2+a-2013=0，即a2+a=2013，由根与系数的关系可知：a+b=-1，所以，a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2013+（-1）=2012.

（2） x1，x2是方程x2-x-2013=0的两个实数根，所以，x2 1-x1-2013=0，即x2 1=x1+2013，x1+x2=1，所以x3 1+2014x2-2013=x2 1·x1+2014x2-2013=（x1+2013）·x1+2014x2-2013=x2 1+2013x1+2014x2-2013=x1+2013+2013x1+2014x2-2013=2014（x1+x2）=2014.

【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及整体思想，解决此类题型的关键是熟悉相关的知识点. 如第（1）小题，将a2+a=2013及a+b=-1作为整体进行代入计算. 第（2）小题利用x2 1=x1+2013进行降幂，再利用x1+x2=1求出代数式的值.

三、 分类讨论思想

所谓分类讨论思想，就是在研究解决数学问题时，若问题所给对象不能进行统一研究，我们就要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为能用不同形式来解决的小问题，将这些小问题逐一解决，从而使整个问题得到解决，这种处理问题的思想方法称为分类思想. 它既是一种数学思想方法，又是一种重要的解题策略.

例3 （2013·四川内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q. 请根据以上结论，解决下列问题：

（1） 已知关于x的方程x2+mx+n=0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；

（2） 已知a、b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求+的值；

（3） 已知a、b、c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值.

【解析】可综合应用上面的三种解题方法求解本题. （1） 抓住两方程的根互为倒数利用转化思想构造方程即可. （2） 应考虑a，b相等与a、b不相等两种情况分类讨论. 当它们相等时，，的值都等于1；当它们不相等时，a，b可以理解为是关于x的方程x2-15x-5=0的两个不相等的实根，然后对+通分，利用完全平方公式变形，再整体代入求解. （3） 由a+b+c=0，abc=16，得a+b=-c，ab=，构造以a，b为根的一元二次方程，然后利用根的判别式b2-4ac≥0构造不等关系求解.

解：（1） 设x2+mx+n=0（n≠0）的根为x， 所求方程根为y，则y=，即x=，把x=代入x2+mx+n=0，得

2+m·+n=0. 即ny2+my+1=0.

（2） ①当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2-15x-5=0的两实根，

∴a+b=15，ab=-5.

∴+==

==-47.

②当a=b时，+=1+1=2.

∴+=-47或2.

（3） ∵a+b+c=0，abc=16，

∴a+b=-c，ab=.

∴a，b是方程x2+cx+=0的两实根.

∴c2-≥0.

∵c>0，∴c3≥64. ∴c≥4.

∴c的最小值为4.

【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，难度较大. 数学新课程标准对一元二次方程的根与系数的关系并不作高的要求，此题在这种情况下以阅读题的形式命制，为大家铺设好解决问题所需要的知识和方法，可以有效考查同学们的自学能力，灵活应用能力，具有一定的区分度.

四、 建模思想

建模思想其实质是从实际问题中提取出关键性的基本量，将其转化为数学问题来表达.

例4 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格. 某种药品经过连续2次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？

【解析】 对于降价问题，一般是降价后的量=降价前的量×（1-下调的百分率），设出平均每次下调的百分率，根据从200元下调到128元，列出一元二次方程求解即可；

解： 设平均每次下调的百分率为x，

由题意，得200×（1-x）2=128.

解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8.

因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，故舍去.

符合题目要求的是x1=0.2=20%.

答：平均每次下调的百分率是20%.

【点评】关于两次增长（或降低）率问题，要注意其固定的等量关系. 一般形式为：a（1+x）2=b，a（1-x）2=b. 其中x为增长（或降低）百分率，a表示为增长（或降低）前的数据，b表示经过两次增长（或降低）后得到的数据，“+”表示增长，“-”表示降低.

小试身手

1. 设x1，x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则x2 1+3x1x2+x2 2的值为______.

2. 已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为______.

3. 关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，则a满足（ ）.

A. a≥1 B. a>1且a≠5

C. a>1 D. a≠5

4. 已知关于x的方程x2=（2m+2）x-（m2+4m-3）中的m为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m的值，并解方程.

5. 长沙市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.

（1） 求平均每次下调的百分率；

（2） 某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元. 请问哪种方案更优惠？