孟凡敏
有关动点问题是各地中考中的热点问题,而利用一元二次方程解决动点问题又是常见的题型之一,本文从教材中的一道例题出发加以拓展,说明此类问题的解决思路,供同学们学习参考.
原题呈现:
苏科版《数学》九年级上册第28页有这样一道例题:
问题:如图1,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动,同时,点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动. 几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2?
本题的分析及解答过程见教材九年级上册第28页,在此不再赘述.
拓展一:有关函数关系式问题
(1) 设△BPQ的面积为S1,运动时间为t,求S1与t之间的函数关系式,并且指出t的取值范围;
(2) 设△DPQ的面积为S2,运动时间为t,求S2与t之间的函数关系式,并且指出t的取值范围.
【分析】用含有t的式子分别表示PB,BQ的长,再根据三角形的面积公式表示△BPQ的面积即可,对于(2)中S2的求法我们可以采取“割补”的方法,用矩形ABCD的面积减去△APD、△BPQ、△CDQ的面积,由于点P、Q在边AB、BC运动时间都为6 s,故t的范围不能超过6 s.
解:(1) 由于AP=t,所以BP=6-t,QB=2t,
S1=BP·BQ=(6-t)·2t=-t2+6t,t的取值范围是:0 (2) S2=SABCD-S△APD-S△BPQ-S△DCQ=6×12-×12·t-·(6-t)·2t-×6·(12-2t)=t2-6t+36,t的取值范围是:0≤t≤6. 【点评】此类求函数关系式的问题是中考中最常见的题型,解决此类问题的关键是用自变量表示相关线段的长,用面积计算公式建立关系,再进行化简得到函数关系式,并注意自变量的取值范围. 拓展二:有关图形面积问题 (1) 通过计算试说明在P、Q运动过程中,四边形PBQD的面积保持不变; (2) 在运动过程中,求△DPQ面积的最小值. 【分析】可以将四边形PBQD的面积用含有t的式子表示出来,化简后若式子中不含有字母t,则说明在P、Q运动过程中四边形PBQD的面积保持不变. 对于(2)中△DPQ面积的最大值问题,由拓展一我们已经求出△DPQ面积与t的函数关系式,我们可以采取配方的方法求出其最小值. 解:(1) 由拓展一可知: S四边形PBQD=S1+S2=-t2+6t+t2-6t+36=36. 故在P、Q运动过程中四边形PBQD的面积保持不变. (2) 由拓展一可知: S△DPQ=t2-6t+36=(t-3)2+27≥27. 故当t=3时,△DPQ面积有最小值,最小值为27. 【点评】解决图形面积的最值问题,往往是对表示面积的式子进行配方,求出其最值问题;若表示面积的式子中不含有字母,则说明图形的面积是一个常量,与点的运动无关. 拓展三:有关三角形问题 (1) 当t为何值时,△DPQ是等腰三角形; (2) 当t为何值时,△DPQ是以DP为斜边的直角三角形. 【分析】(1) 题中没有指明哪个边与哪边相等,故应该分三种情况,分别是①DP=DQ,②DP=PQ,③PQ=DQ,从而求得所需的时间. (2) 可以通过勾股定理的逆定理建立方程,求出t的值. 解:(1) ①当DP=DQ时,DP2=DQ2,由勾股定理可得:122+t2=62+(12-2t)2. 解之得,t1=8+2>6(舍去), t2=8-2. ②当DP=PQ时,DP2=PQ2,由勾股定理可得: 122+t2=(6-t)2+(2t)2. 解之得,t1=<0(舍去), t2=>6(舍去). ③当DQ=PQ时,DQ2=PQ2,由勾股定理可得: 62+(12-2t)2=(6-t)2+(2t)2. 解之得:t1=-18-6<0(舍去), t2=-18+6. 综上所述:当t=8-2、t=-18+6时,△DPQ是等腰三角形. (2) 由勾股定理的逆定理可知: 当DP2=PQ2+DQ2时,△DPQ是以DP为斜边的直角三角形, 则:122+t2=(6-t)2+(2t)2+62+(12-2t)2 . 解之得:t1=6,t2=. 所以,当t=6或时,△DPQ是以DP为斜边的直角三角形. 【点评】此题主要考查等腰三角形判定、勾股定理逆定理的运用及分类讨论思想. 综上所述,解决动点问题,关键是化动为静,根据具体问题把运动的点转化为静止的点. 求“动点的运动时间”往往可以转化为求“动点的运动路程”,也就是求线段的长度,再由图形的面积、勾股定理等建立方程求解,因此,学会把动的问题转化为静的问题是解决此类问题的关键. 小试身手 如图2,矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P、Q分别是从A、B同时出发,求几秒时,五边形APQCD的面积最小?最小值是多少?