基于预测函数控制的无刷直流电机控制研究

郭 凯，张 艳

（上海海事大学物流工程学院，上海 201306）

0 引言

无刷直流电动机(BLDCM)因其自身的结构特点受到广泛关注，其最大特点是采用电子换向器。电子换向器具有电刷和机械换向器的功能，这种功能决定了无刷直流电动机在保留直流电动机优点的同时，还具有交流电动机的构架简易、工作稳定、便于维护等优点。这些优点也使无刷直流电机的应用得到快速发展，无刷直流电机在近20年的发展过程中，广泛应用于工业、农业、国防、航空航天、现代科技和日常生活的各个领域［1］。未来无刷直流电机的进一步研究在很大程度上是实现控制策略的优化。由于无刷直流电机非线性、多变量、参数时变等特点，在对控制精度与响应速度要求高的条件下，传统的PID控制方法较难满足这些条件［2］。所以，理想的控制策略在满足动态、静态性能的前提下，各种非线性因素对系统的影响还应该具有抑制作用，具有解耦能力和强鲁棒性，并且对模型的精度无过度需求等［3］。目前已有传统的 PID与神经网络、滑模变结构控制、模糊控制等控制方法相结合等多种先进控制方法在无刷直流电机控制系统中的应用方面的研究成果［4］。

在模型算法控制(Model Algorithm Control，MAC)方法的基础上Richalet提出了一种新的预测控制方法——预测函数控制(PFC)［5，6］，预测函数控制方法拥有跟踪速度快、带约束、控制量方程计算简单、可以处理不稳定、对过程的模型要求低、时滞、稳态控制精度高、鲁棒性好等系统的特点［7］。作为第三代预测函数控制算法，它具有预测控制算法的基本特征，但是克服了预测控制计算量大、实时性差等缺点，该算法与一般预测控制最大的区别是注重控制量的结构化，将控制量看成预先选定的基函数的线性组合。目前预测函数控制已经在电机控制方面有所应用，但主要是在永磁同步电机控制方向的使用，还很少涉及无刷直流电机控制领域。

本文设计了基于预测函数控制方法的无刷直流电机控制系统，并采用Matlab仿真验证。结果表明该方法提高和满足了无刷直流电机的控制特性，具有一定的应用价值。

1 无刷直流电机的数学模型

无刷直流电机由定子三相绕组、永磁转子、转子磁极位置检测器、逆变器等组成，对其进行特殊的磁路设计，气隙磁场呈梯形波分布，定子采用整距集中绕组，通过逆变器为它提供方波电流［8］。BLDCM相电流和气隙磁场感应的反电动势之间的关系如图1所示。由于BLDCM的感应电动势同其他感应电机不同，它的反电动势为梯形波，其中有很多高次谐波，同时BLDCM的电感又为非线性［9］，故在分析与仿真BLDCM控制系统时直接使用相变量法，根据转子位置，采用分段线性表示感应电动势［9］。

图1 反电动势与电流波形

忽略电机在工作过程中的磁路不饱和、涡流与磁滞损耗，假设三相绕组完全对称，则电压平衡方程式为［10］:

其中:uA、uB、uC为定子相绕组电压(V);iA、iB、iC为定子相绕组电流(A);eA、eB、eC为定子相绕组电动势(V);R为电机相电阻;L为每相绕组的自感(H);M为每两相绕组间的互感(H);p为微分算子，p=d/dt。

由于三相绕组为星形连接且没有中线引出，则有

故式(1)可简化为:

无刷直流电机的定子绕组输入功率与产生的电磁转矩关系为［4］:

故无刷直流电机的电磁转矩为:

式中，ωr为电机的机械角速度(rad/s)。

无刷直流电机的运动方程为:

式中，TL为负载转矩;J为转动惯量;B为粘滞系数;KT为电机转矩系数;i为稳态时绕组相电流。

2 基于PFC的无刷直流电机控制系统

无刷直流电机的PFC控制系统采用速度和电流双闭环控制，速度环采用预测函数控制，电流环采用传统的PI调节，速度环的输出作为电流环的输入，电流环后跟逆变单元驱动无刷直流电机。无刷直流电机PFC控制系统结构框图如图2所示。

图2 无刷直流电机PFC控制系统结构框图

2.1 预测函数控制原理

预测函数控制是基于预测控制的原理发展而来，故它具有预测控制的基本特征:预测模型、滚动优化和反馈校正［11］。其结构如图3所示。

图3 预测函数控制原理框图

PFC同一般的预测控制一样都是基于预测模型的，而且同样是基于反馈校正，但是这种校正是在线校正，此外PFC还继承了预测控制传统的滚动优化原则。但是它更注重控制量的结构化，将控制量视为许多基函数的线性组合，求控制量的过程就转化为线性组合加权系数的过程，获得这些系数的方法是通过在预测时域上选择若干拟合点，使得需要预测的系统输出在这些点上接近参考轨迹的相应值。

基函数可以表示为

式中:u(n+i)为n+i时刻的控制量，μj为权系数。

PFC的预测函数模型采用离散状态方程式的参数模型以便能较容易实现算法，方程可表示为

为了避免出现剧烈变化和超调，可引入逐渐趋近于设定值的指数曲线作为参考轨迹，可表示为

式中:yr(n+i)为参考轨迹值，C(n+i)为设定值，α为反应趋近速度的快慢。

预测函数控制的优化目标函数是使得在选定的预测时域H的拟合点上预测过程输出与参考轨迹值差值的平方和最小。

式中，yp(n+hi)为过程实际输出，hi为拟合点数值，应该提前选取，个数应多于基函数个数。

计算优化函数可以得到最优控制量，控制量可以表示为

跟踪设定值的多项式可表示为

式中，cj(n)为多项式系数，各个系数的计算公式为:

2.2 无刷直流电机PFC调速器设计

由无刷直流电机的运动方程:

令TL=0，对上式进行拉氏变换，并将式(8)代入得到无刷直流电机的模型传递函数为:

由于无刷直流电机模型的传递函数为一阶，故在基函数选择时选用阶跃信号，可以满足跟踪要求。

该系统可视为电流与速度之间的单输入单输出系统，它的PFC算法的预测模型采用式(9)形式。

对G(s)传递函数按照所采用的采样周期离散化后再转化为离散状态空间模型，就可得到上式中的Am、Bm和Cm，通过上式计算状态的更新值。

电机的设定转速可以理解为阶跃值c0(k)，其对应的PFC控制量计算表达式为:

式中有两个关键系数k0、km，它们也是PFC控制调试的关键，后期做拟合点、采样周期和闭环响应时间选择的最终目的就是得到合适的k0、km值。

下面简单介绍这两个参数的求法:

首先，取基函数f(0)=1，然后计算基函数的过程响应函数:

式中，h为拟合点。

计算 D=g(h)－1和衰减系数 α =e－3T/Tr，然后即可k0、km的值。

3 仿真研究

通过上面的理论分析，为验证预测函数控制器对无刷直流电机的控制效果，采用MATLAB/Simulink软件对系统进行仿真分析。BLDCM的参数设定如下:给定转速为2000 rpm，额定转矩1 Nm，定子绕组电阻R=0.5 Ω，自感 L=0.025 H，互感 M=0.007 H，转动 J=0.0025 kg·m2，阻尼系数 b=0.00025 Nms/rad，极对数p=4，200 V 供电，采样时间取 T=0.0001 s，参考轨迹的期望闭环响应时间T=0.0005 s，拟合点h=5。计算可得 k0=3.7023，km=0.0344。仿真时间设定为1s，空载启动，设定转速为1000rap，0.4 s后参考转速设为2000 rap，并在0.7 s时加1 Nm负载。BLDCM的预测函数控制系统simulink仿真如图4所示。

其中，速度控制模块的仿真图如5所示。

图5 转速控制模块

图中S函数用来计算状态变量的更新值，此处使用到式(9)的离散状态方程，Am、Bm和Cm已离线计算得到。图5中的PFC模块为计算控制量的仿真图，结构如图6所示。

其中系数k0和km也可离线计算得到。

仿真模型运行后得到仿真结果如图7～图10。

图4 BLDCM仿真系统

图6 PFC模块内的具体结构

图7为转速响应波形，在此图中将转速分别在PFC控制与PID控制下的响应情况做了对比，可以看出设定转速为1000 rpm与2000 rpm两个转速时预测函数控制相对于PID来说效果更好，它的响应速度更快，并且超调量也很小。

图7 转速响应曲线

图8为转矩响应波形，可以看出转矩在转速设定值变化时有波动，但都会归于零，在0.7 s时加负载时会变为负载值。

图8 转矩响应波形

图9为相电流响应波形，它的变化趋势基本与转矩同步，只在有负载时波形为梯形波，在启动时参考电流限幅作用很有限。

图9 相电流响应波形

图10为相反电动势响应波形，在转速恒定时反电动势保持恒定，它紧密跟随转速变化而变化。

图10 相反电动势响应波形

4 结论

本文在分析无刷直流电机原理的基础上，将预测函数控制算法应用于它的控制中，设计了基于PFC的无刷直流电机控制系统，在速度环中采用PFC控制，并用simulink仿真分析，结果显示:用预测函数控制方法控制的无刷直流电机能得到理想的控制效果，速度跟随设定值效果较好，响应时间与超调量都比较合理。

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