基于时间满意的应急物资运输模型与算法

胡利明，陆朝荣，冯 丹

（1.中国矿业大学 安全工程学院，江苏 徐州 221000；2.空军勤务学院 航空油料物资系，江苏 徐州 221000）

1 引言

近年来，我国自然灾害事件等大规模突发事件发生率较高，其危害越来越严重。为减少这些事件产生的危害，国家和相关部门投入了大量的人力、财力和物力，建立了不同层级应急抢险组织与机构，各地都储备了一定数量的应急物资以便急用。因此，在应急抢险救灾行动中，所需物资可以先利用自身储备；如果物资不够，应按照要求，在规定时间内，对所需要的物资进行及时补充，即补充的物资应在一定时间区间内运到目的地。

在抢险救灾应急行动或战时状态下，不仅要求所需要的后勤物资能够适量供应，而且对供应的时效性提出了很高要求。目前，国内外学者对突发事件应急物资运输问题进行了较为深入的研究，已有很多重要研究成果，比如白国仲[1]建立了各需求点的物资都能在最短的时间内到达的运输问题数学模型，并提出了用改进的表上作业法进行求解。刘春林等[2]针对应急系统多出救点问题的特点，引入了连续可行方案，给出了使得应急开始时间不迟于限制期的可能度最大方案求解算法。程桦等[3-5]也对此类问题进行了研究，建立了问题的数学模型，提出了相应算法。这些文献研究的问题都有一个严格的要求，即运输的物资应在要求时限内到达。随着我国应急抢险救灾机制的不断完善，在抢险救灾中，可先用自身存储的物资，这样就有了一个缓冲过渡期。针对这类实际问题，本文构建了时间满意度函数，在时间满意的条件下，研究制定科学的应急物资运输方案。

2 问题分析及基本假设

2.1 问题描述与基本假设

定义决策变量xij为第i个物资仓库到第 j个需求点的运输量。

与一般的运输问题不同的是，这里对运输时间有比较严格的要求，即有硬时间窗要求，不同的物资需求点由于自身存储的物资数量不同，第 j个需求点所需要的物资，最好在Lj内到达；如果运输困难，所需要的物资最迟应在时间Uj内到达。

2.2 时间满意度函数引入

在应急物资运输问题中，物资运输不仅要保质保量，时间要求更是不容忽视，超过了规定时间，往往很难达到救灾效果。时间因素的影响，增加了应急物资运输问题的复杂性。为解决此问题引入时间满意度函数，以反映需求地点对物资供应的满意程度。

根据本文假设，Lj为需求点j感到非常满意时所能接受的等待时间，Uj为需求点j感到非常不满意时的等待时间，其中Lj≤Uj。

将时间满意度函数 f(tij)定义为需求点j对供应点i响应时间的满意度水平，它是时间或距离的非增函数。马云峰等[6]介绍了线性时间满意度函数、凹凸分布曲线、岭型分布曲线、降对数Sigmoid函数和降半哥西分布函数5种曲线。为方便计算，本文采用了线性时间满意度函数 f(tij)：

需要注意的是，这里的线性时间满意度函数 f(tij)仅仅从时间角度进行了研究，并没有考虑需求量的满足情况。

要完整描述应急物资时间满意度，必须考虑运输量这一因素。因为第i物资仓库到第j需求点的运输量xij与第 j个需求点的需求量bj间关系为：xij≤bj。因此，考虑物资运输量的点到点的综合时间满意度函数定义应为：

3 基于时间满意的应急运输问题数学模型建立及求解

3.1 数学模型

根据上述分析建立基于时间满意的应急物资运输问题的数学模型。

目标函数首先是总的时间满意度最大，其次为运输总费用最小。

约束条件：（1）供应点供应量不大于其物资总量；（2）保证向第 j个需求点供应的物资量等于该点的需求量。即：

对该模型进行分析，可见其是多目标线性规划问题。由于在应急运输中，强调按照时间要求及时将所需要的物资运到，因此，将时间满意作为第一级目标，运输总费用最小作为第二级目标。第一级目标要比第二级目标优先级别高。

3.2 数学模型的求解算法

由于基于时间满意的应急物资运输问题数学模型是一个多目标规划问题，因此，在求解模型时采用序贯式算法进行计算。步骤如下：

第一步：根据式（1），计算不考虑运输量的各物资供应点到需求点时间满意度值。如果某一需求点的所有 f(tij)均为0，说明现有的运输条件不满足应急物资供需要求，应该增加供应点，或者对该需求点的运输采用更为快捷的方式。

第二步，不考虑目标函数Z2，对数学模型进行求解。如果问题无解，则结束。否则，转入第三步。

第三步：将第二步所得到的结果，加入到约束条件中，以Z2为目标函数，求解新的线性规划问题，最后得到优化的运输方案。

4 实例分析

在应急保障中，有4个物资供应点，向8个物资需求点紧急供应物资，其仓库容量、各需求点的需求量及单位运费关系见表1（容量及需求量单位为t，运输费用单位为元）。

表1 供应点到需求点的单位运费表

各供应点到需求点的运输时间，各需求点的时间要求见表2，表中为tij(Lj,Uj)。求解最优运输方案。

表2 供应点到需求点物资运输时间和时间要求

求解过程如下：

首先，根据表2需求点 j的时间参数Lj和Uj，按照给出的不考虑运输量的时间满意度函数式（1），可以求出供应点到需求点的时间满意值，见表3。

表3 供应点到需求点的时间满意值

为减少计算量，令表3中时间满意值等于0所对应的运量xij=0。

第二步，不考虑运输费用目标函数Z2，应用Lingo软件进行求解目标函数Z1，得最大时间满意为Z1=7.665，运输方案A见表6，运输费用为8100元。

第三步，以运输费用Z2为目标函数，将Z1=7.665的结果作为新的约束条件加入模型中。重新建立模型进行求解，得运输方案B见表5，此时运输费用降为7900元。运输方案B就是多目标情况下的最优方案。

表4 运输方案A

表5 运输方案B

5 结论

与一般的运输问题不同，在应急抢险救灾等行动中，对时间因素有特殊的要求，这一实际要求大大增加了问题的复杂性。本文在已有的时间满意度函数基础上，构建了含运输量的综合时间满意度的概念和相应的表达式，大大简化了对时间处理的难度，同时建立了基于时间满意的多目标线性规划数学模型。采用序贯式算法，并利用Lingo软件实现了模型快速求解。通过一定规模的实例计算，表明了本文提出方法的正确性。在应急抢险救灾行动中，科学确定运输量只是应急运输问题的一个重要方面，另外一个重要方面是科学配置和合理调度不同种类运输工具进行运输。因此应急运输计划编制完成后，还需要对运输工具的编配与调度问题进一步深入研究。

[1]白国仲.求解多目标运输问题的表上作业法[J].信阳师范学院学报(自然科学版),2007,(4):403-408.

[2]刘春林,等.基于连续消耗应急系统的多出救点选择问题[J].管理工程学报,1999,13(3):13-16.

[3]程桦,宋执环.受时间约束的运输问题求解的一种算法[J].运筹与管理,2003,12(6):67-70.

[4]谢友才.运输最短时限问题的网络解法及讨论[J].运筹与管理,2003,(12):62-66.

[5]董丽,林琳,汤京永.最短时限运输问题的推广[J].大学数学,2007,23(5):139-142.

[6]马云峰,杨超,张敏,等.基于时间满意的最大覆盖选址问题[J].中国管理科学,2006,(4):45-51.