可畏的学生

孙陈飞

教学片段：

师：同学们喜欢打乒乓球吗？生（几乎异口同声回答）：喜欢。

师：你们了解乒乓球哪些方面的知识？（学生马上说出许多乒乓球明星，乒乓球规则等）

师：你们知道的真多呀！那有谁能够告诉我乒乓球的直径是多少？

生：我知道是40 mm。

另一个学生：大球是40 mm，小球是3.8 mm。

师：如果你是一位采购员，准备采购乒乓球。有两个厂家提供了各自的乒乓球若干，你测得甲厂的直径分别为 ；乙厂生产的乒乓球直径为 。你能够用所学的知识确定哪个厂家的质量比较好。（学生迫不及待地动手算平均数和极差，通过计算，很快发现他们的平均数和极差相同。许多学生就不由自主地讨论开了。）

师：难道他们的质量一样好吗？

生：不能确定。有的学生暗自讨论说甲厂的数据好像好点，却又无从下手。

师：我们能不能让数据更加直观地反映实际情况呢？

生：可以画出点的分布图。

学生匆忙绘图。展示部分学生的图，直观发现甲的数据点图比较接近平均水平线。

学生想到可以用各数据与平均值的差来表示。（学生再次计算，不一会就惊讶地发现：这个差确实能够反映出各组数据偏离平均水平的多少，可是一旦加起来又出现奇怪的现象，和为0。）

师：这是怎么回事？

部分学生马上反应过来：由于每个数据与平均数的偏差中有正负，正好出现正负抵消。所以，偏差的和为0。

师：看来是不好比较了？

生：可以不考虑正负，就不会抵消了。

师：怎样才能不会出现正负呢？

生：可以用绝对值呀。马上有学生补充：可以加平方。

师：对，我们可以把偏差求绝对值的和或平方和。为了计算方便我们就用平方和。（有学生小声嘀咕）

师：我们计算两组数据偏差的平方和？（学生计算后发现与直观的结论不符，小声讨论。）

师：有什么不妥吗？（有的学生马上看到数据的多少对结果的影响，提出要考虑数据的个数多少。讨论后，统一认为利用偏差平方和的平均数。）

师：这就是方差。

始终有学生在小声议论。

师：同学们有什么问题？一学生：老师计算明明是用绝对值要好算，为什么不用呢，反而说平方容易算？（是呀，在计算中确实绝对值得到的数据要小，为什么要用平方呢？我想到课本中有绝对差的概念。干脆让学生探究这两个概念的关系吧。）

师：如果我们用绝对值的和的平均数就是另一个概念，“绝对差”，下面同学们就通过计算比较一下这两个概念的异同。（学生独立计算，得出结果后交流）

师：谁能够介绍你的结论？点名（生：方差大的绝对差也大，它们的值越大，数据越不稳定，都能够反映数据的离散程度。可是方差的值的差距比绝对差要大，反映得更加明显。）

师：为什么不用绝对差，而用方差，这个问题课后我们共同查阅资料，探究原因。

第二节课上学生说出很多答案，大多数是说计算不方便，绝对值符号仍然无法消除，数学处理中，具有一些不便之处，故而在实际应用较少。（为什么不方便，没有解释，可能计算机的编程有难度吧？）同学还进入凤凰数学网，引用一个例子解释了：甲：9，9，10，11，11。乙：8，10，10，10，12。这两组的绝对差都是0.8，而甲的方差为0.8，乙的方差为：1.4。也就是说方差比绝对差反映一组数据的离散程度更加明显。这样的解释学生都能够接受。

编辑 谢尾合