排列组合问题常用解题思路

张爱宁

摘 要：解排列组合题时常犯的错误是“重复和遗漏”，必须从解题方法上解决。

关键词：重复和遗漏；有效避免；相邻；不相邻；约束条件

排列组合问题是高中数学的重要内容之一，它是学习概率的基础，解题思路与做题方法都自成一格，解题时常犯的错误是“重复和遗漏”，但由于运算结果较大，错误不易发现，所以必须从解题方法上解决这个问题，针对不同类型采用不同的方法，有效地避免这些错误。

1.对于有特殊要求或有限制条件的元素（或位置）的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素（或位置），再考虑其他元素，即在解题时采用特殊元素（或位置））优先安排的方法。

2.对于一道“既选又排”的排列组合综合问题，可采用先选出元素，后进行排列的方法，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则。

3.对于某几个元素要求相邻的排列问题，可采用“捆绑法”来解决，先将相邻的元素“捆绑”起来看做一个“大元素”与其他元素排列，然后再对相邻元素之间进行排列。所谓“捆绑法”，就是对元素进行整体处理的形象化表述，体现数学中的整体思想。

4.对于某几个元素要求不相邻的排列问题，可采用“插空法”来解决，先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在这些排好的元素之间及两端的空隙中插入。“插”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段。

5.对于把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可将各排看成一排进行排列，即采用分派问题直排处理的方法。

6.对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其他元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。

7.对于某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转换为一个较简单的问题来解决。

8.对某些较复杂的排列问题，可通过构造一个相应的模型来处理。

另外，解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

由于排列组合问题题型多样，思路灵活，既有一般的规律，又有较多解题技巧，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。实践证明，它要求我们认真地审题，对题目中的信息进行加工处理，解决问题的有效方法是总结解题规律，掌握若干技巧，最终达到灵活运用。同时，排列组合问题本身有较强的趣味性，能够锻炼我们的逻辑推理能力和思维的缜密性。

编辑 马燕萍