数学教学中实施逆向思维训练

汪玲

逆向思维是一种创造性思维.在数学学习中，适当运用逆向思维，往往能使许多问题简单化.在数学教学过程中，当学生理解了某个定理、概念后，如果加以适当的逆向思维训练，往往会引导学生跨进新的知识领域，提高学生的创新意识.

本文分析了阻碍学生逆向思维的原因，结合一些具体事例，阐述如何在数学学习中运用逆向思维解决问题.

一、阻碍学生逆向思维的因素

1.教学形式的原因

传统的数学教学模式，一般遵循“定理的建立——定理的证明——定理的运用”三个部分，学生习惯了教师引导的正向思维，不加以引导，很难将正向思维转向逆向思维.

2.思维过程的原因

由正向思维方式转变到逆向思维方式是思维方向的重建，没有正确引导，这种转变对学生来说有一定的困难.正向思维灵活并不代表逆向思维也好，逆向思维方式需要经过引导和锻炼.

3.思维能力的原因

对于中学生来说，其数学思维是从具体的形象思维向抽象的逻辑思维转换的一个渐进的过程.在解决问题时，其思维方式受到传统的教学方式的约束，思维往往会固定在既定的框框之内，容易形成正向思维的思维定式.

二、逆向思维训练在数学教学中的具体实施

心理学研究结果表明，中小学学生在思维发展中最初只能是单向的，在学习的过程中才会逐渐形成思维的可逆性和反复性.一般来说，学习能力较强的学生，稍加点拨，就能顺利地建立逆向思维；对能力中等的学生，则需要进行适当的训练；对能力较差的学生，形成逆向思维的过程比较困难，需要经过教师长期的引导和特别训练，才能逐步形成逆向思维的习惯.

1.定义教学中逆向思维的训练.

作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的.因此，一个新定义或新概念的学习，从逆向思维的角度来进行说明，会使学生对概念理解的更透彻，同时能培养学生双向思考问题的良好习惯.

例1已知1a2+1a-1=0，b4+b2-1=0，且1a≠b2，求ab2+1a的值.

分析：由已知可得（1a）2+1a-1=0，（b2）2+b2-1=0，且1a≠b2.传统的思维方式是解出1a和b2的值，从而求出ab2+1a的值.利用逆向思维，可联想到方程x2+x-1=0，而1a和b2恰好是该方程的两个不相等的实数根，根据韦达定理得1a+b2=-1，即ab2+1a=1a+b2=-1.

2.公式教学中逆向思维的训练

数学中的公式一般都是双向的.受传统习惯的影响，很多学生只会机械地从左到右顺用公式，不习惯公式的逆用.若能够灵活地逆用公式，在解题时就能得心应手.

例2计算1-1221-132…1-120132

1-120142.

分析：直接相乘很难求得结果，根据各因式的特点，将乘法的平方差公式逆用就可容易地求出结果.

解：原式=1-121+12

1-131+13…

1-120131+12013

1-120141+12014=12×32×23×43×…×20122013×20142013×20132014×20152014=

12×20152014=20154028 .

3.运算法则教学中逆向思维的训练

在数学运算中，很多运算都有其逆运算，正逆运算中有某种变化中的数量关系，可以互相转化.比如，可以利用相反数的概念将减法转化为加法运算，利用倒数的概念可以将除法转化为乘法运算.

例3已知am=3，an=7，求a3m-2n的值.

分析：正向思维，需要求出a的值和3m-2n的值，才能求解.乍一看无从下手，但是利用逆向思维，在该题中将同底数幂除法法则逆用后得到结果.

解：原式=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2=33÷72=2749.

三、逆向思维的训练须量力而行

在数学教学中，加强逆向思维的训练，一方面能培养思维的灵活性和双向性，同时还能克服思维定式引起的解题方法的僵化.但需要说明的是：逆向思维的训练需要有扎实的基础知识为前提；必须量力而行，注意学生的可接受性；对中、下学生来说，让这些学生集中精力掌握好基本内容是根本.对学有余力的学生，加强逆向思维的训练，会增加其对知识的掌握及熟练程度.

逆向思维是一种创造性思维.在数学学习中，适当运用逆向思维，往往能使许多问题简单化.在数学教学过程中，当学生理解了某个定理、概念后，如果加以适当的逆向思维训练，往往会引导学生跨进新的知识领域，提高学生的创新意识.

本文分析了阻碍学生逆向思维的原因，结合一些具体事例，阐述如何在数学学习中运用逆向思维解决问题.

一、阻碍学生逆向思维的因素

1.教学形式的原因

传统的数学教学模式，一般遵循“定理的建立——定理的证明——定理的运用”三个部分，学生习惯了教师引导的正向思维，不加以引导，很难将正向思维转向逆向思维.

2.思维过程的原因

由正向思维方式转变到逆向思维方式是思维方向的重建，没有正确引导，这种转变对学生来说有一定的困难.正向思维灵活并不代表逆向思维也好，逆向思维方式需要经过引导和锻炼.

3.思维能力的原因

对于中学生来说，其数学思维是从具体的形象思维向抽象的逻辑思维转换的一个渐进的过程.在解决问题时，其思维方式受到传统的教学方式的约束，思维往往会固定在既定的框框之内，容易形成正向思维的思维定式.

二、逆向思维训练在数学教学中的具体实施

心理学研究结果表明，中小学学生在思维发展中最初只能是单向的，在学习的过程中才会逐渐形成思维的可逆性和反复性.一般来说，学习能力较强的学生，稍加点拨，就能顺利地建立逆向思维；对能力中等的学生，则需要进行适当的训练；对能力较差的学生，形成逆向思维的过程比较困难，需要经过教师长期的引导和特别训练，才能逐步形成逆向思维的习惯.

1.定义教学中逆向思维的训练.

作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的.因此，一个新定义或新概念的学习，从逆向思维的角度来进行说明，会使学生对概念理解的更透彻，同时能培养学生双向思考问题的良好习惯.

例1已知1a2+1a-1=0，b4+b2-1=0，且1a≠b2，求ab2+1a的值.

分析：由已知可得（1a）2+1a-1=0，（b2）2+b2-1=0，且1a≠b2.传统的思维方式是解出1a和b2的值，从而求出ab2+1a的值.利用逆向思维，可联想到方程x2+x-1=0，而1a和b2恰好是该方程的两个不相等的实数根，根据韦达定理得1a+b2=-1，即ab2+1a=1a+b2=-1.

2.公式教学中逆向思维的训练

数学中的公式一般都是双向的.受传统习惯的影响，很多学生只会机械地从左到右顺用公式，不习惯公式的逆用.若能够灵活地逆用公式，在解题时就能得心应手.

例2计算1-1221-132…1-120132

1-120142.

分析：直接相乘很难求得结果，根据各因式的特点，将乘法的平方差公式逆用就可容易地求出结果.

解：原式=1-121+12

1-131+13…

1-120131+12013

1-120141+12014=12×32×23×43×…×20122013×20142013×20132014×20152014=

12×20152014=20154028 .

3.运算法则教学中逆向思维的训练

在数学运算中，很多运算都有其逆运算，正逆运算中有某种变化中的数量关系，可以互相转化.比如，可以利用相反数的概念将减法转化为加法运算，利用倒数的概念可以将除法转化为乘法运算.

例3已知am=3，an=7，求a3m-2n的值.

分析：正向思维，需要求出a的值和3m-2n的值，才能求解.乍一看无从下手，但是利用逆向思维，在该题中将同底数幂除法法则逆用后得到结果.

解：原式=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2=33÷72=2749.

三、逆向思维的训练须量力而行

在数学教学中，加强逆向思维的训练，一方面能培养思维的灵活性和双向性，同时还能克服思维定式引起的解题方法的僵化.但需要说明的是：逆向思维的训练需要有扎实的基础知识为前提；必须量力而行，注意学生的可接受性；对中、下学生来说，让这些学生集中精力掌握好基本内容是根本.对学有余力的学生，加强逆向思维的训练，会增加其对知识的掌握及熟练程度.

逆向思维是一种创造性思维.在数学学习中，适当运用逆向思维，往往能使许多问题简单化.在数学教学过程中，当学生理解了某个定理、概念后，如果加以适当的逆向思维训练，往往会引导学生跨进新的知识领域，提高学生的创新意识.

本文分析了阻碍学生逆向思维的原因，结合一些具体事例，阐述如何在数学学习中运用逆向思维解决问题.

一、阻碍学生逆向思维的因素

1.教学形式的原因

传统的数学教学模式，一般遵循“定理的建立——定理的证明——定理的运用”三个部分，学生习惯了教师引导的正向思维，不加以引导，很难将正向思维转向逆向思维.

2.思维过程的原因

由正向思维方式转变到逆向思维方式是思维方向的重建，没有正确引导，这种转变对学生来说有一定的困难.正向思维灵活并不代表逆向思维也好，逆向思维方式需要经过引导和锻炼.

3.思维能力的原因

对于中学生来说，其数学思维是从具体的形象思维向抽象的逻辑思维转换的一个渐进的过程.在解决问题时，其思维方式受到传统的教学方式的约束，思维往往会固定在既定的框框之内，容易形成正向思维的思维定式.

二、逆向思维训练在数学教学中的具体实施

心理学研究结果表明，中小学学生在思维发展中最初只能是单向的，在学习的过程中才会逐渐形成思维的可逆性和反复性.一般来说，学习能力较强的学生，稍加点拨，就能顺利地建立逆向思维；对能力中等的学生，则需要进行适当的训练；对能力较差的学生，形成逆向思维的过程比较困难，需要经过教师长期的引导和特别训练，才能逐步形成逆向思维的习惯.

1.定义教学中逆向思维的训练.

作为定义的数学命题，其逆命题总是存在，并且是成立的.因此，一个新定义或新概念的学习，从逆向思维的角度来进行说明，会使学生对概念理解的更透彻，同时能培养学生双向思考问题的良好习惯.

例1已知1a2+1a-1=0，b4+b2-1=0，且1a≠b2，求ab2+1a的值.

分析：由已知可得（1a）2+1a-1=0，（b2）2+b2-1=0，且1a≠b2.传统的思维方式是解出1a和b2的值，从而求出ab2+1a的值.利用逆向思维，可联想到方程x2+x-1=0，而1a和b2恰好是该方程的两个不相等的实数根，根据韦达定理得1a+b2=-1，即ab2+1a=1a+b2=-1.

2.公式教学中逆向思维的训练

数学中的公式一般都是双向的.受传统习惯的影响，很多学生只会机械地从左到右顺用公式，不习惯公式的逆用.若能够灵活地逆用公式，在解题时就能得心应手.

例2计算1-1221-132…1-120132

1-120142.

分析：直接相乘很难求得结果，根据各因式的特点，将乘法的平方差公式逆用就可容易地求出结果.

解：原式=1-121+12

1-131+13…

1-120131+12013

1-120141+12014=12×32×23×43×…×20122013×20142013×20132014×20152014=

12×20152014=20154028 .

3.运算法则教学中逆向思维的训练

在数学运算中，很多运算都有其逆运算，正逆运算中有某种变化中的数量关系，可以互相转化.比如，可以利用相反数的概念将减法转化为加法运算，利用倒数的概念可以将除法转化为乘法运算.

例3已知am=3，an=7，求a3m-2n的值.

分析：正向思维，需要求出a的值和3m-2n的值，才能求解.乍一看无从下手，但是利用逆向思维，在该题中将同底数幂除法法则逆用后得到结果.

解：原式=a3m÷a2n=（am）3÷（an）2=33÷72=2749.

三、逆向思维的训练须量力而行

在数学教学中，加强逆向思维的训练，一方面能培养思维的灵活性和双向性，同时还能克服思维定式引起的解题方法的僵化.但需要说明的是：逆向思维的训练需要有扎实的基础知识为前提；必须量力而行，注意学生的可接受性；对中、下学生来说，让这些学生集中精力掌握好基本内容是根本.对学有余力的学生，加强逆向思维的训练，会增加其对知识的掌握及熟练程度.