夏—王定理在考研题中的应用

【摘 要】设X是一个连续型随机变量，其密度函数为pX（x），g（x）是一个连续函数， 文献[1]给出了用积分变换法求连续型随机变量X的函数g（X）的密度函数的一个定理，文献中称为夏-王定理（见文献[2]）， 本文用考研题说明了夏-王定理的应用.

【关键词】夏-王定理；连续型随机变量；密度函数；用积分变换法求连续型随机变量函数的密度函数；硕士研究生考试

0 引言

设X是一个连续型随机变量，其密度函数为pX（x），g（x）是一个连续函数. 如何求X的函数g（X）的密度函数是一个常见的问题. 经典的方法有两种， 即 “分布函数法”和公式法，具体的细节见文献[1-3].

2013年，夏天和王学仁（见文献[4]）给出了一个定理，文献中称为夏-王定理（见文献[5]），根据此定理，可以用积分变换法来求g（X）的概率密度函数.该方法比经典的两种方法更简捷.本文将用夏-王定理对考研数学中的试题来进行分析求解.

为了后面叙述的方便， 我们作一些规定：用〈α，β〉表示区间（可以是开区间，可以是闭区间，也可以是半开半闭区间）；由于定积分的值与被积函数在个别点上的值无关，故Y=g（X）的概率密度的表达式在某些点处的值可以不唯一.下面陈述夏-王定理[文献4].

夏-王定理：设X是连续型随机变量，其概率密度函数pX（x）仅在 （a，b）上有非零值（这里a可以取-∞，b可以取+∞.如果可将（ii）由（1）式， 可令

方法被称为为“积分变换法”.

1 用夏-王定理来求解考研试题

下面，举例来说明用夏-王定理在考研试题中的应用.所有的试题见文献[6].

例2 （1988年数学一试题）假设随机变量X的概率密度函数

【參考文献】

[1]夏乐天.应用概率统计[M].北京：机械工业出版社，2008：95.

[2]苏淳.概率论[M].2版.北京：科学出版社，2010.

[3]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].4版.北京：高等教育出版社，2008.

[4]夏天，王学仁.用积分变换法求连续型随机变量函数的密度函数[M].数学的的实践与认识，2013，43（16）：262-270.

[5]夏天.关于用积分变换法求连续性随机变量函数的密度函数的注记[J].科教文汇，2013，11（下旬）： 2013-11-30：51-52.

[6]全国硕士研究生入学统一考试数学试题[OL].中国教育在线www.edu.cn.

[责任编辑：杨玉洁]