基于拱形函数的优化洛伦兹曲线

李华栋

【摘 要】洛伦兹曲线模型是当今研究收入及分配方面十分热门的研究方向之一。本文利用拱形函数对比，通过数学推导给出了洛伦兹曲线的新模型。并采用当前通用数据，将本文中的模型应用效果与文献中采取方法的应用效果进行比较，通过均方误差、平均绝对误差、最大绝对误差三个标准的比较，说明新模型对现有模型有较大的优化效果。从而证明本文提出的洛伦兹曲线模型有着非常重要的应用价值，适用于我国收入分配的研究。

【关键词】洛伦兹曲线；拱形曲线；收入分配

0 引言

洛伦兹曲线模型是研究收入及分配的理论与应用中十分重要的模型，它的作用是从分组数据出发构建收入及分配所形成的统计分布。世界上一些发达国家已创立收入及分配的抽样数据库，所以可以使用例如Kernel法生成收入及分配的统计分布。Kernel法的有点为可以体现大样本的收敛性，也就是说当样本量趋向于无穷时，所对应的统计分布依据概率可以收敛于总体的统计分布。但是对于大部分国家来说，可以使用的收入分配数据只是分组数据，这类数据中只能给出洛伦兹曲线上一些个别的点（ 一般只有十个左右）。经济学界对此的研究已经进行多年，大家试图寻找更加合适的模型可以更加接近这种分组数据，从而可以得到相应的统计分布，进一步能使用经济理论中已经得到证明的理论和方法进行收入及分配的分析。国内有关洛伦兹曲线模型的研究还十分稀少，本文在直接求解洛伦兹曲线比较困难的情况下，本文根据45°直线与洛伦兹曲线的差值图像形似拱形的特征，首先构造拱形曲线方程，进而构造了新的洛伦兹曲线模型

通过与其它10种模型比较得到在均方误差、平均绝对误差、最大绝对误差三种评价标准下，新的洛伦兹曲线模型均优于其它10种模型。

1 洛伦兹曲线的研究现状及进展

早期的洛伦兹曲线模型研究始于1970年代，至今已有40余年的历史，其中较为有名的是帕累托分布对应洛伦兹曲线：

该模型的推出推动了美国的收入及分配的领域研究，相关研究可见于Basmann 等（1991）[4]。Kiwani（1986）提出了一种新型的多参数洛伦兹曲线模型：

通过实证发现（5）、（6）两式的模型精度十分高，这增加了相关领域学者寻找更优化模型的信心，但是（5）、（6）两式有十分明显的缺点，即它们显然不满足洛伦兹曲线的适用条件，无法将其直接用于经济领域。上文提到的（1）、（2）、（3）可以适用洛伦兹曲线的条件，但其缺点是精度极差，找到优化的洛伦兹曲线模型已经成为该领域工作者的当务之急Chotikapanich（1993）[6]给出新模型：

上述各公式均适用洛伦兹曲线的相关条件，这对有收入及分配的研究分析有重要的意义，洛伦兹曲线模型在各国的收入分配中有着广泛的应用，其表达形式多种多样，模型有简有繁，精度不尽相同。

国内洛伦兹曲线模型相关领域研究少之又少。本文在直接求解洛伦兹曲线比较困难的情况下，本文根据45°直线与洛伦兹曲线的差值图像形似拱形的特征，首先构造拱形曲线方程，进而构造了新的洛伦兹曲线模型

通过三种比较标准：均方误差、平均绝对误差、最大绝对误差的比较，通过模拟分析的形式将其与具有代表性的10种洛伦兹曲线进行比较，说明其优化程度较好，从而构造一种洛伦兹曲线模型，并以实际数据说明模型的精度，以期此模型可以对我国收入分配的研究有所帮助。

2 基于拱形模型的优化洛伦兹曲线

由文献[12]可知，如果Lp（p∈0，1）同时满足以下四个条件：

L0=0；L1=1；LP′≥0；LP″≥0（13）

那么该方程对应的曲线为洛伦兹曲线。下面我们构造符合要求的新的洛伦兹曲线方程。

2.1 构造新的洛伦兹曲线

图1 收入分配的洛伦兹曲线示意图

图1中横轴表示人口比例p，纵轴表示总收入比例L（p）。上图中，曲线L（p）（曲线OBA）位置越高，代表的收入分配就越平等。其中45°曲线（直线OA）可以为平等收入线，即是完全平等的收入分配。此时满足

然后将题目表一所给的收入分配分组数据代入上述公式中，应用最小二乘法进行曲线的拟合，如图2、图3所示，曲线ODC和拱形曲线近乎重合，构造出的Lp曲线和期望得到的Lp也几乎重合。最后将代入数据得出的Lp代入文献[4]给的4个条件，发现是符合要求的。由此说明新构造的曲线方程（17）是合理的。

图2 拱形拟合曲线

注：红色曲线是原数据所得拱形曲线，黑色曲线为拟合拱形方程曲线.

图 3 最终所得的Lp拟合曲线

注：红色曲线是原数据所得Lp曲线，黑色曲线是拟合Lp方程曲线.

所以，我们可定义收入分配的新洛伦兹模型为

2.2 模型比较

为说明上述模型的可行性和优越性，我们从上文提到的参考文献中找出了10种模型

下面给出一组我国收入分配接近实际的一组模拟数据：

表1中[xj，xj+1]是收入区间，单位为元，fj是该区间内的人口比例，pj是[0，xj+1]中人口比例，是中人口拥有的总收入比例，因此（pj，Lj）是洛倫兹曲线上的点，其中25000以上人口比例为1%。总平均收入μ=6603元。将上表所给出分配数据代入新模型L（p）和上述10个模型（下转第38页）（上接第10页）中，用最小二乘法拟合模型的参数，然后分别就均方误差、平均绝对误差和最大绝对误差三个方面，对这11个模型进行比较，结果如表2所示。

分析表2可以看出，我们构造出的新模型L（p）的MSE、MAE和MAS较其它10种模型取值都小，由此可以说明我们的新模型优于其它10种模型。

3 结语

根据上文描述，洛伦兹曲线在收入及分配领域的研究是有非常重要的使用价值。对于洛伦兹曲线的优化在经济领域有着不可替代的重要作用。回顾对于洛伦兹曲线研究过程，经历了函数形式的由简到繁，参数的由少到多。但是无论如何变化，其基本的要求是满足洛伦兹条件，这是其模型发展的基本所在。本文所给出的基于拱形函数的洛伦兹曲线模型优化了现有模型的，对其结果做了充分的实证分析，令其满足洛伦兹条件的严格条件。给此领域的研究者提供了一种新颖的研究思路。但是，由于数据的选择范围略显有限，新模型的优化程度有待于后续研究者给出充分的实证研究，总体来说，关于洛伦兹曲线的研究有着广阔的研究空间，有待于相关研究人士的进一步研究。

【参考文献】

[1]Kakwani.N.C.Functional Forms for Estimating the Lorentz Curve： A Reply[J].Econometrica，1980，48（4）：1063-1064.

[2]Kakwani.N.Cand N.Podder.Efficient Estimation of Lorenz Curve and Associated Inequality Measuresfrom Grouped Observations[J].Econometrica，1973，44（1）：137-148.

[3]Basmann，R.L.Hayes，andD.J.Slottje.AGeneralFunctionalFormforApproximating the LorenzCurve[J].Journal of Econometrics，1990，43（1-2）：77-90.

[4]Basmann，R.L. Hayes，and D.J. Slottje.The Lorenz Curve and the Mobility Function[J].EconomicsLetters，1991，36（1）：105-111.

[5]Schader，M.， and F.Schmid.Fitting Parametric Lorenz Curves to Grouped Income Distribution： A CriticalNote[J].Empirical Economics，1994，19：361-370.

[6]Chotikapanich，D.A Comparison of Alternative Functional Forms for the Lorenz Curve[J].Economics Letters，1993，4（12）：187-192.

[7]Rasche，R.H.Gaffney，A.Y.C. Koo，and N.Obst.Functional Form for Estimating the Lorenz Curve[J].Econometrica，1984，52（5）：1341-1342.

[8]Rohde，N.An Alternative Functional Form for Estimating the Lorenz Curve.[J].Economics Letters，2009，105（1）：61- 63.

[9]Ortega，P.，G. Martin，A. Fernandez，M.Ladoux，and A.Garcia.A New Functional Form for EstimatingLorenz Curves[J].Review of Income and Wealth，1991，37（4）：447- 452.

[10]Sarabia，J.，E，Castillo，and D.J. Slottje.An Ordered Family of Lorenz Curves[J].Journal of Econometrics，1999，91（1）：43- 60.

[11]張奎，王原君.Sarabia洛伦兹曲线模型的推广[J].应用数学，2010，3.

[12]Wang， Z.X. and R. Smyth，A hybrid method for creating Lorenz curves with an application to measuring world income inequality[J].2013，91（1）：43- 60.

[责任编辑：薛俊歌]