探析几种常见的三角函数最值问题

郭敏姣

摘要： 在高中数学教学中，三角函数的最值问题是一个十分重要的内容，也是高中数学教学的一个难点，学生学习三角函数最值时，经常会遇到各种各样的问题，因此，对求解三角函数最值的几种类型进行归纳总结有十分重要的意义。

关键词：三角函数 最值 类型

前言

三角函数最值是高中数学教学的重要内容，也是高中数学教学的一个难点，由于三角函数的题型种类多，经常在考试中出现，为提高学生的学习能力，加深学生对三角函数的认识，对三角函数最值进行归纳总结是十分重要的，下面就三角函数最值的几种类型进行分析。

1.三角函数最值问题的概述

三角函数的最值问题是指利用代数换元、三角变化等方式，将三角函数转换成基本代数函数或者三角函数，然后利用常用的函数最值求法或者三角函数的有界性，得出三角函数的最值。三角函数最值问题考察的是学生对三角函数知识的综合应用情况，三角函数问题在考试中频繁出现，涉及到的数学知识十分广泛，因此，提高学生对三角函数最值问题的解题效率有十分重要的意义。

2.求三角函数最值问题的几种类型

2.1 利用三角函数有界性解最值问题

对于y=（a·cosx+b）/（c·cox+d）或者y=（a·sinx+b）/（c·sinx+d）這一类三角函数，在求解最值时，需要先求出cosx（或sinx）的值，然后利用|cosx≤1|（或|sinx≤1|）得出原函数的最值。在解题过程中，需要注意的是“a”的正负号对函数最值的影响。

例如：求函数y=（2cosx+1）/（2cos-1）的值域。

对于该题，属于典型的y=（a·cosx+b）/（c·cox+d）三角函数最值问题，在解题过程中，可以先将函数转换成部分分式，然后利用三角函数的有界性进行求解。在该问题中，函数y=（2cosx+1）/（2cos-1）可以转换成y=1+2/（2cosx-1），由于|cosx≤1|，因此，可以得出：y≥3或者y≤1/3。

2.2 利用辅助角求解三角函数最值

对于y=a·sinx+b·cosx类型的三角函数，在求解最值时，可以引入辅助角β，将原函数转换为的形式，然后利用|sin（x+β）|≤1进行最值求解。

例如：函数y=（a·cosx+b·sinx）cosx的最小值为-1，最大值为2，则，a、b分别是多少。

在本题中，函数y=（a·cosx+b·sinx）cosx可以转为y=a·cos2x+b·sinx·cosx的形式，进而可以转换为（其中tanβ=b/a）的形式，当sin（2x+β）=1时，ymax=2，当sin（2x+β）=-1时，ymin=-1，也就是，，从而得出。

2.3 利用配方法求三角函数最值

对于y=a·sin2x+b·cosx+c这一类三角函数，在求最值时，可以利用角的变换，“合二为一”，从而将三角函数最值问题转换为闭区间的二次函数值域问题进行求解。

例如：求函数y=2cos2x+5sinx-2的最值。

在本题中，可以将函数y=2cos2x+5sinx-2转换为y=-sin2x+5sinx-2的形式，然后对函数y=-sin2x+5sinx-2进行配方，得到y=-2（sinx-5/4）2+9/8，当sinx=-1时，ymin=-9;当sinx=1，ymax=1。

2.4 利用换元法求三角函数最值

对于含有sinx·cosx，sinx±cosx形式的函数，在求其最值时，可以利用换元法，设sinx±cosx=n，，然后将sinx·cosx转换成含n的函数式，从而将三角函数最值问题转换成二次函数最值问题。

例如：求函数y=sinx·cosx+sinx-cosx的最小值及最大值。

在函数中，sinβ·cosβ和sinβ-cosβ有很大的联系，在求解这类函数的最值时，可以设sinβ-cosβ=n，经过换元后，利用重要不等式、配方法、函数单调性等方法进行最值求解。在本题中，设，由于，sinx·cosx=（1-n2）/2，则y=n+（1-n2）/2=-1/2×（n-1）2+1，因此，当n=1时，ymax=1，当时，。

2.5 利用向量法求三角函数最值

对于三角函数最值与向量运算问题，可以利用向量数量积预算法则，将相应的函数基本关系式求出，然后利用三角函数的基本公式，将得出的代数式转换成函数y=a·sin（αx+β）+k的形式，最后利用三角函数的有界性得出三角函数的最值。

例如：，向量，函数y=f（x）的图像经过点（π/4，2），求m的值及函数y=f（x）最小值时x值的集合。

对于本题，f（x）=m（1+sin2x）+cos2x，由于f（π/4）=m[1+sin（π/2）]+cos（π/2）=2，从而得出m=1，因此，，由此可见，当时，函数y=f（x）的最小值是，此时x值的集合为。

1.总结

三角函数最值问题是高中数学最常见的问题之一，在进行三角函数最值求解时，可以采用三角函数有界性、辅助角、配方法、换元法、向量法等方法进行求解，从而有效地提高三角函数最值问题的解题正确率。

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