高山滑雪动力学模型的建立与分析

万佳　范丽君

摘 要：针对高山滑雪中的建模问题，通过对影响滑雪运动员成绩的各种因素的分析，得到滑雪者在不同环境下运动过程的动力学模型。再在问题给出的条件及一定的合理假设下，通过MATLAB对模型的求解得到运动员到达终点时的速度及滑行时间。

关键词：高山滑雪；动力学模型；MATLAB

中图分类号：O29

现今高山滑雪运动在世界范围内广泛兴起，并且是作为冬季奥运会比赛中的一项热点项目[1]。而确定影响运动员滑行速度的因素是一项较为重要的工作[2-3]。为此，为了简明扼要抓住本質，本文不考虑滑雪的技术动作。假设运动员下山时都是直线滑行，并且为滚落线方向。坡长度600米，坡面与水平面夹角15度。本文建模分析在下列三种情形下哪位运动员先到达终点：（1）不同体重，例如60公斤和80公斤，相同的滑雪板，硬雪道。（2）相同体重，腰宽一样长度不同的滑雪板，例如长度分别为165厘米、185厘米，硬雪道。（3）相同体重，分别使用竞技滑雪板、全地域滑雪板，长度都为180厘米，宣雪道。

1 模型建立与求解

1.1 问题①的模型建立与求解。运动员在滑雪时，直滑降[4]过程中假设雪地较平而滑雪板没有离开地面，可以用平面铰接来近似描述滑雪板与雪地的关系。首先把滑雪板和滑雪者作为一个整体，人对滑雪板的作用力以及雪地对滑雪板的作用力都简化为一集中力和力偶，相当于一个滑块在雪地上运动为单自由度系统。如图1所示：

对运动员的滑行受力情况进行分析可知：

取g=9.8m/s2，ρa=1.2kg/m3，Cd=0.45，A=0.3m2，u=0.03，m分别为60kg、70kg、80kg，通过MATAB编程对式（4）（5）进行求解。可得到体重为80kg运动员滑行速度为26.88m/s，用时最短首先到达终点。

1.2 问题②的模型建立与求解。本问题定义载荷函数 ，该函数用于反映作用在滑雪板上各个点的摩擦系数，实际上各个点的阶段摩擦力是不同的，且偏离直接作用面越远的地方所受摩擦力越小。x为单位面积元。

单位长度上的摩擦力微元为：

根据牛顿第二定律有：ma=mgsinα-（fr+fa）

将式（6）代入上式，积分整理后得：

取g=9.8m/s2，u=0.03，ρa=1.2kg/m3，Cd=0.45，A=0.3 m2，L分别为165cm，185cm时，通过MATAB编程对式（7）（8）进行求解。可得到选用长度为185cm滑雪板的运动员滑行速度为25.13m/s，用时最短首先到达终点。

1.3 问题③的模型建立与求解

宣雪道较松软，运动员滑行过程中会产生压痕。此时，滑雪板除受重力、雪道与滑雪板间的摩擦力外还受到雪对滑雪板的阻力，此阻力与运动员滑行时产生的压痕深浅度有关。在此同样引入载荷函数 来反映滑板上各个点的摩擦系数。

用乘以负载分布函数的力近似于发生形变后的力：

F1=μ（x）·fs（fs是正压力）

单位宽度上的摩擦力微元为：

对运动员下滑过程受力分析可知：

当人静止站立在雪道上时，雪的深度与fs有关，滑行时深度与重量成正比，与速度成反比，即：

深度越大fn越大，有：fn=kh

将fr，fn代入式（9），积分整理后得：

取L=180cm，g=9.8m/s2，u=0.03，W分别为70mm，100mm时，通过MATLAB编程对式（10）（11）求解。可得到选用腰款为100mm全地域滑雪板的运动员滑行速度分别为25.08m/s，用时最短首先到达终点。

2 模型的评价

针对模型一，本文考虑了空气阻力对运动员滑雪的影响，并巧妙的运用了微积分的思想建立滑雪过程中时间分别与路程、速度的关系。该模型可对不同体重的人到达终点的时间，具有实际意义。针对模型二和三，本文定义了负载函数，建立了摩擦系数与滑雪板长和宽的关系，利用这个关系得到问题结论，具有较好的借鉴价值。

参考文献：

[1]斯万德·福兰德森.冬奥会滑雪项目的历史演变[J].体育文化导刊，2006：74.

[2]陈曦炜.高山滑雪科研现状研究综述[J].黑龙江科技信息，2011（22）：247.

[3]郑伟涛，张子华，韩久瑞.高山滑雪科研现状综述[C].第十一届全国冬季运动会科学大会论文集，2008.

[4]王旭东，崔英波，安林彬.大众滑雪基本技术探析[J].冰雪运动，2003（05）.

[5]张德丰.MATLAB数值计算方法[M].北京：机械工业出版社，2010.

作者简介：万佳（1989-），女，江西抚州人，研究生，研究方向：数学建模。

作者单位：江西理工大学 理学院，江西赣州 341000

基金项目：本文为江西省教育厅青年基金项目（项目编号：GJJ13377）阶段性研究成果。